隱函數(shù)及其參變量函數(shù)的求導(dǎo)方法

1、隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)張世濤張世濤相關(guān)變化率相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). )( 0) ,f( 稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyx .)(形形式式的的函函數(shù)數(shù)稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的隱函數(shù)的顯化顯化31xy 例如：例如：013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù)03275 xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化但此隱函數(shù)不能

2、顯化 .例如例如：問題問題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法注意：注意： 視視 y=y(x) , 應(yīng)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法直接直接對(duì)對(duì)方程方程 f(x, y)=0 兩邊求導(dǎo)，然后解出兩邊求導(dǎo)，然后解出 y 即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).0),(dd yxfx兩邊兩邊對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y 若若 確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù) ，怎樣求，怎樣求y ？0),( yxf)(xyy 例例1 1. , )( 0 0 xyxdxdydxdyxyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方

3、方程程解解得得求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)視視 , , )( xxyy y解得解得,yxexyedxdy , 0 , 0 yx時(shí)時(shí)由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyx xe ye 0 dxdy例例2 2.)23,23( ,3 33的的切切線線方方程程及及法法線線方方程程上上點(diǎn)點(diǎn)求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線cxyyxc 解解得得求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)視視 , , )( xxyy ,333322yxyyyx )23,23(22)23,23(xyxyy . 1 于是，所求切線方程為于是，所求切線方程為, )23(23 xy. 03 yx即即, 232

4、3 xy法法線線方方程程為為. xy 即即.)(0ln2dxdyxyyxeyxy導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程 練習(xí)練習(xí)例例3 3. )1 , 0( )( , 1 44處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)xyyxyx 解解得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) , x)1(04433 yyyxyx代代入入，得得、將將10 yx; 4110 yxy得得求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊再再對(duì)對(duì)將將方方程程，、視視 , )1( )( )( xxyyxyy , 04)(122123222 yyyyyxyx得得 4110 yxy及及、代代入入 10 yx.16110 yxy設(shè)設(shè))(xyy 由方程由方程eyx

5、ey確定確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得0yxyyey再求導(dǎo)再求導(dǎo), 得得2yey yxey)(02 y當(dāng)0 x時(shí)時(shí), 1y故由故由 得得ey1)0(，再代入，再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y 練習(xí)練習(xí)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 先對(duì)先對(duì) y=f(x)（0）兩邊取對(duì)數(shù)）兩邊取對(duì)數(shù)(或加絕對(duì)值后兩或加絕對(duì)值后兩邊取對(duì)數(shù)邊取對(duì)數(shù)), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)實(shí)際上，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一種方法。導(dǎo)數(shù)的一種方法。適用范圍適用范圍: :, )( )

6、1()( xvxu冪冪指指函函數(shù)數(shù)方方、開開方方運(yùn)運(yùn)算算的的函函數(shù)數(shù)。含含有有較較多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(例例4 4解解. , )0( sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)等式兩邊取對(duì)數(shù), 得得, lnsinlnxxy 得得求求導(dǎo)導(dǎo)上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? )( sin xx能能否否用用顯顯式式求求導(dǎo)導(dǎo)法法求求出出問問：例例5 5解解. )142)1(3111()4(1)1( 23 xxxexxxyx, |4|ln2|1|ln31|1|ln|lnxxxxy

7、得得求導(dǎo)求導(dǎo)上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) , x, 142)1(3111 xxxyy. , )4(1)1( 23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)，得等式兩邊取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)，得)()()(ln(xuxuxu 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)1,0,0( babaaxxbbaybax練習(xí)練習(xí)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)., )()( 程程確確定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此函函數(shù)數(shù)為為由由此此參參數(shù)數(shù)方方間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與可可確確定定若若xytytx 例如例如: : ,22tytx2xt , )2(22xty 此此參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定的的函函數(shù)數(shù).4)( 2x

8、xyy 即即消去參數(shù)消去參數(shù) t 得得問題問題: : 消參數(shù)困難或無法消去參數(shù)時(shí)如何求導(dǎo)消參數(shù)困難或無法消去參數(shù)時(shí)如何求導(dǎo)? ),(),(tytx .,為參數(shù)為參數(shù) t . 0)()()()(22 tttytx 都可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，且與與這里這里平面曲線參數(shù)方程的一般形式平面曲線參數(shù)方程的一般形式).()(1xtty ，即即復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)可可表表示示為為：的的為為存存在在，則則存存在在，則則反反函函數(shù)數(shù)又又)()()(11xyxyxttx , 0)()()( ttt 妨設(shè)妨設(shè)至少有一個(gè)不為零，不至少有一個(gè)不為零，不與與由于由于求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則，有有由由復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)與與反反函函數(shù)數(shù)的的 .)

9、()()(ttytx 示示式式為為：從從而而導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的參參數(shù)數(shù)式式表表.)()(0000ttdxdyttt 給定時(shí)，則給定時(shí)，則當(dāng)當(dāng).函函數(shù)數(shù)的的求求導(dǎo)導(dǎo)法法這這即即是是參參數(shù)數(shù)方方程程所所表表示示)()(tt 0)( t 若若時(shí)時(shí), 有有 yxddyttxdddd tytxdd1dd (此時(shí)看成此時(shí)看成 x 是是 y 的函數(shù)的函數(shù) ) ),(),(tytx .,為參數(shù)為參數(shù) t . 0)()()()(22 tttytx 都可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，且與與這里這里平面曲線參數(shù)方程的一般形式平面曲線參數(shù)方程的一般形式若上述參數(shù)方程中若上述參數(shù)方程中)(, )(tt 二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 22ddxy)

10、dd(ddxyx)(2t )()(tt )()(tt )(t )()()()()(3ttttt )dd(ddxyt txdd)()(ddttxy )(tx 且且,0)( t 則由它確定的函數(shù)則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程利用新的參數(shù)方程,可得可得例例6. 設(shè)設(shè))(tfx , 且且,0)( tf求求.dd22xy dd xy)(tft )(tf , t dd22 xy1)(tf 解解:)()(tftfty )(tfx tdxdy 例例7. 設(shè)由方程設(shè)由方程)10(1sin 222 yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩

11、邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的變化率稱為兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率。當(dāng)已。當(dāng)已知兩個(gè)變量的關(guān)系后，可從其中一個(gè)變化率求出另知兩個(gè)變量的關(guān)系后，可從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率。一個(gè)變化率。解法解法: : 通過建立兩者之間的關(guān)系通過建立兩者之間的關(guān)系, , 用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解. .例例8 8解解? , 500 . /140 , 500 仰角增加率是多少仰角增加率是多少觀

12、察員視線的觀察員視線的米時(shí)米時(shí)當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為分分米米率為率為其速其速米處離地面鉛直上升米處離地面鉛直上升一汽球從離開觀察員一汽球從離開觀察員則則視視線線的的仰仰角角為為觀觀察察員員其其高高度度為為分分后后設(shè)設(shè)氣氣球球上上升升 , , , ht. 500tanh 得得求求導(dǎo)導(dǎo)上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) , tdtdhdtd 5001sec2 , /140 分分米米 dtdh, 2sec,5002 米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) h. )/(14. 0 分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500h米米試求當(dāng)容器內(nèi)水試求當(dāng)容器內(nèi)水rhxhr例例9. 有一底半徑為有一底半徑為 r cm , 高

13、為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以今以 自頂部向容器內(nèi)注水自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.解解: 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 容器內(nèi)水面高度為容器內(nèi)水面高度為 x ,水的水的vhr231)(231xhrxrh)(33322xhhhr兩邊對(duì)兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)tvdd22hr2)(xh,ddtx而而,)(25222xhrh,2時(shí)當(dāng)hx hxhrr故故txdd) scm(25dd3tv) scm(100dd2rtx體積為體積為 v , 則則r1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)連