44有理函數(shù)積分等

1、4.34.3內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧分部積分公式分部積分公式ddu vuvv u1. 使用原則使用原則 :dvvu 易湊出易湊出,易積分易積分2. 使用經(jīng)驗使用經(jīng)驗 : “反對冪指弦反對冪指弦” , 前前 u 后后v3. 題目類型題目類型 :分部化簡分部化簡 ;循環(huán)解出循環(huán)解出;遞推公式遞推公式4. 補(bǔ)充多次分部積分的快速計算法補(bǔ)充多次分部積分的快速計算法 :(u是保留部分是保留部分, v是湊得部分是湊得部分)duv x11duvu vx12uvu v 2du vx123uvu vu v1(1)1( 1)dnnnuvx 多次分部積分多次分部積分123uvu vu v3du vx快速計算表格快速計算表格

2、:uuu )(nuv1v2vnvn) 1()1( nu1nv1) 1(n特別特別: 當(dāng)當(dāng) u 為為 n 次多項式時次多項式時,0)1(nu計算大為簡便計算大為簡便 . 注注:1iviv是是的原函數(shù)的原函數(shù)1duv( )1( 1)nnnuv 2duv3duv)1( nu1nvdx例例11. 求求.d)2(23xexxx解解: 取取,23xxu2xve23 xx132xx660 xe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx) 13(241xx681cxxxex)7264(232816161cxxaxaexpxkndcossin)(說明說明: 此法特別適用于此法特別

3、適用于如下類型的積分如下類型的積分: 例例12. 求xxid)ln(sin解解: 令,lnxt 則texexttdd,tteitdsinsintcosttsinte( sin )tt e dtsintetctteit)cos(sin21cxxx)cos(ln)sin(ln21costetitete=(前面已講過前面已講過)備用題備用題.求不定積分求不定積分解：解：.d1xexexx方法方法1(先分部先分部 , 再換元再換元)xexexxd1) 1(d1xxeexx2) 1(dxe12xexxexd12令令, 1xeu則則uuuxd12d2224d1uuu12xex112u12xexcuu)ar

4、ctan(44ceexx1arctan4141.方法方法2(先換元先換元,再分部再分部)令, 1xeu則, )1ln(2ux故故xexexxd1uuuuuud12)1ln()1 (222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(22uuu4cu arctan412xexceexx1arctan4141uuuxd12d2 基本積分法基本積分法 : 直接積分法直接積分法 ; 換元積分法換元積分法 ;分部積分法分部積分法一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例二、可化為有理函數(shù)的積分舉例4.4 有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: : 第四章第四章 一、一

5、、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分( )( )( )nmp xr xqx nnnaxaxa110mmmbxbxb1101.有理函數(shù)的定義有理函數(shù)的定義nm 時時,)(xr為假分式為假分式;nm 時時,)(xr為真分式為真分式有理函數(shù)有理函數(shù)相除相除多項式多項式 + 真分真分 式式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和函數(shù)函數(shù)稱為有理函數(shù)稱為有理函數(shù). 其中分子分母分別為其中分子分母分別為n次和次和m次多項式次多項式,且且總假定無公因式總假定無公因式.00( ,0,0)iia bab為為常常數(shù)數(shù)，且且221()()xaxa xa(其形式由分母的因子決定其形式由分母的因子決定)1112a xaxa

6、()()xaxa12a101( )mmmmqxb xb xb2.多項式分解定理多項式分解定理2211()()iaaxxxx11220111()() ()()klsskllb xxxxxp xqxp xq其中其中21140,2()iiklpqssm3.真分式分解成部分分式的和真分式分解成部分分式的和(nm)( )( )( )nmp xr xqx111()axx11222221111()()b xcb xcxp xqxp xq111211()sssb xcxp xq+1122222()()lllld xed xexp xqxp xq2()lllssslld xexp xq( )( )( )nmp

7、xr xqx4.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分有理函數(shù)有理函數(shù)的積分( )r x dx轉(zhuǎn)化為下列三種形式的積分轉(zhuǎn)化為下列三種形式的積分多項式的積分多項式的積分1()kdxxa2()nbxcdxxpxq2()ndxxpxq2b2bcp(容易容易)(容易容易)2221()()bnd xpxqxpxq221()()bncpdxxpxq(2)xp(容易容易)21()nnidxxpxq記記22224241()()() pnpq pd xx221nduua2424(,)pq puxa再利用遞推公式或三角替換再利用遞推公式或三角替換(p206例例27)1222121232(1)()2(1)nnnxniinax

8、ana(已講但不需要記憶已講但不需要記憶)12211arctanuiducuaaa至此至此,理論上有理函數(shù)的積分就算解決了理論上有理函數(shù)的積分就算解決了,其原函數(shù)為初等函數(shù)其原函數(shù)為初等函數(shù).但有兩大難點(diǎn)但有兩大難點(diǎn): 1)部分分式中系數(shù)的確定部分分式中系數(shù)的確定2)分母的因式分解分母的因式分解, 且有時無法解決且有時無法解決.(有時很繁有時很繁)例例1. 將下列真分式分解為部分分式將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx221(3).xa解解: (1) 用拼湊法用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( x

9、x2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用賦值法用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xa3xb故故52x36x通分得通分得,6532xxx2(3)(2)56a xb xxx3(3)(2)xa xb x得得,令令3x 得得,6;b 令令2x 得得,5.a 6532xxx(2)ax原原式式2x 5 (3)bx原原式式3x 6.(3) 混合法混合法)1)(21 (12xx xa2121xcbx原式)21 (xa21x54代入等式兩端分別令1 ,0 xc541215461cb52b51c原式原式 =x214512112xx兩邊兩邊x，再取極限（再取極限（x）得）得, 20

10、225aabb 再令再令x=0得得,41,5c15c (4) 比較系數(shù)法比較系數(shù)法)1)(21 (12xx xa2121xcbx原式原式 =x214512112xx通分后的分子恒等通分后的分子恒等,21(1)()(12 )axbxcx2(2 )(2 )ab xbc xac比較系數(shù)得比較系數(shù)得,20ab解得解得,421,.555abc 20bc1ac例例2. 求21d .(1)xx x 解解: 已知已知21(1)x x 2d(1)xxd1xxdxx11x ln|1|xln |xc2) 1(1x11xx1例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd32212332)32d(2122x

11、xxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxcx21arctan23(22)xxxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxi3421410d254xxixxxxxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xcxarctan解解:說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法簡便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解:

12、原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxc例例6. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxcxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解按常規(guī)方法解:1d4xx第一步第一步 令令)(1224dxcxbxaxx比較

13、系數(shù)定比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得得) 12)(12(1224xxxxx第二步第二步 化為部分分式化為部分分式 . 即令即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxdxcxxbxa比較系數(shù)定比較系數(shù)定 a , b , c , d .第三步第三步 分項積分分項積分 .此解法較繁此解法較繁 !二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)設(shè))cos,(sinxxr表示三角函數(shù)有理式表示三角函數(shù)有理式 ,xxxrd)cos,(sin令令2tan ,xt 萬能代換法萬能代換法t 的有理函數(shù)的積分的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積

14、分則則22sin,1txt221cos1txt2arctan ,xt221dxdtt代入原積分得代入原積分得,轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 則sin x 2222tan1tanxx212ttcosx 22221tan1tanxx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd21211(2)d2ttt21221tt 2tlnc2tan412x2tanxcx2tanln21例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222ta

15、nbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabac說明說明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時的積分時,xttan往往更方便往往更方便 .的有理式的有理式用代換用代換例例9. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解:原式原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttctt3arctan311cxxsin3cosarctan312xsind2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分,d),(x

16、baxxrn令令nbxat,d),(xxrndxcbxa令令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分. 例如例如:,d),(xbaxbaxxrmn,pbxat令令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例10. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu則則,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnc3223)2( x323x321ln3xc例例11. 求求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指

17、數(shù)取根指數(shù) 2 , 3 的的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有則有原式原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnccxxxx)1(ln6632663令令例例12. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt則則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222222d1ttt t211lnttcxx12cxxx1122ln( 1)+11.112xxx 112.21xxxx 原式1112(1).2211xxxxx21xxx2,1xtx令例例132431(1) (1)xxxdp218 (24)1311(1)(1)xxxxxd內(nèi)容

18、小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項式及部分分式之和多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬能代換萬能代換簡單無理函數(shù)簡單無理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計算簡便計算 .簡便簡便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)如何求下列積分更簡便如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.33 23 21d3 ()()xxa 原原式式caxaxa33333ln612. 原式原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlncx2sin121作業(yè)作業(yè)p218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21三角函數(shù)的積分要重視三角函數(shù)的積分要重視1.sincosmnxxxsincos.mnxx xsincos.axbx xsinsin.