CH51不定積分的概念與性質

1、 indefinite integrall原函數與不定積分的定義原函數與不定積分的定義l不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義l不定積分的性質不定積分的性質第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念及性質不定積分的概念及性質（1 1） 從運算與逆運算看從運算與逆運算看 初等數學中加法與減法、乘法與除法、初等數學中加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、指數與對數等，都是互逆的運算。乘方與開方、指數與對數等，都是互逆的運算。 微分是一種運算：求一個函數的導函數。微分是一種運算：求一個函數的導函數。微分運算的逆運算是什么？微分運算的逆運算是什么？問題：問題：).()(),(),(xfxfxfxf的的導導函函數數正正是

2、是使使要要求求這這樣樣一一個個函函數數已已知知函函數數一、原函數的概念一、原函數的概念dxxfxdf)()( 或或( ),( )?( )( )ss tv tv ts t 已已知知運運動動規(guī)規(guī)律律要要求求瞬瞬時時速速度度求求導導數數：（2 2） 從物理問題看從物理問題看:( ),( )?:( ),( )( )v tss ts ts tv t 反反問問題題已已知知速速度度函函數數 要要求求運運動動規(guī)規(guī)律律求求原原函函數數使使（3 3） 從幾何問題看從幾何問題看00 ( )(,), ( )( ) kk xxykfxf x 已已知知曲曲線線斜斜率率及及曲曲線線上上一一點點求求曲曲線線？由由求求 原原函

3、函數數. .定義定義()f xf x 稱稱為為的的導導函函數數; ;dxxfxdf)()( 或或 原函數的定義原函數的定義例例 1. sincosxx 12. ln xx 10ln)(ln);xxxx 時時, ,( (110ln)ln();xxxxx 時時,(,( 1ln xx 0),ln(0,lnlnxxxxx122cos xdx 515dxx 515()xdx 61dxx 56115xx 是是的的原原函函數數。dxx15)5(51 1322. (cos)dx 1222 sinxdx 2sin xdx 514.5dx 122cosx l 什么樣的函數存在原函數呢？什么樣的函數存在原函數呢？l

4、 原函數是不是只有一個呢？原函數是不是只有一個呢？原函數存在定理：原函數存在定理：簡言之：簡言之：連續(xù)函數一定有原函數連續(xù)函數一定有原函數. .問題：問題： (1) (1) 原函數是否原函數是否唯一唯一？(2) (2) 若不唯一它們之間若不唯一它們之間有什么聯系有什么聯系？例例 1. sincosxx sincosxxc 12. ln xx 13222.cossindxxdxc（ 為任意常數）為任意常數） 1lncxx 1222cossindxdcx x 561145.ddxxx56115dxcdxx 關于原函數的說明：關于原函數的說明：（1 1）若）若 ，則對于任意常數，則對于任意常數 )(

5、)(xfxf c（2 2）若）若 和和 都是都是 的原函數，的原函數，)(xf)(xg)(xf則則( )( )f xg xc（ 為任意常數）為任意常數）c證證 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數）為任意常數）c同一函數的原函數不僅不唯一，而且有無窮多個。同一函數的原函數不僅不唯一，而且有無窮多個。問題：問題： 如何表示這種求原函數的運算？如何表示這種求原函數的運算？即如何表示即如何表示 ？ ( )f xc 注：注：求函數求函數 f（x）的原函數，的原函數，實質上就是問它是由什么函數求導得來的，實質上就是問它是由什么函數求導得來的，而若求得而

6、若求得f（x）得一個原函數得一個原函數f（x），其全體），其全體原函數應為原函數應為( )f xc 二、不定積分的定義：二、不定積分的定義：定義定義任意常數任意常數積分號積分號被積函數被積函數cxfdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量( )( )f xf xi若若是是在在區(qū)區(qū)間間 上上的的一一個個原原函函數數原函數原函數不不定定積積分分不定積分和原函數的關系：不定積分和原函數的關系：不定積分不定積分= =原函數原函數+ +任意常數任意常數原函數是不定積分其中之一。原函數是不定積分其中之一。 的原函數的圖形稱為的原函數的圖形稱為 的的積分曲線積分曲線。)(xf()f x dxf

7、 x 的的所所有有積積分分曲曲線線組組成成 的的平平的的圖圖形形行行曲曲線線族族)(xf三、不三、不 定定 積積 分分 的的 幾幾 何何 意意 義義0 xxy( )f x dx 0()kf x 例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例不定積分不定積分= =原函數原函數+ +任意常數任意常數例例cos xdx sincoscxx 1dxx sincx lncx不定積分不定積分= =原函數原函數+ +任意常數任意常數xcx1)(ln 例例3 3 求積分求積分.xdx 解解3

8、22.3xc 312232()xx 12()xdx xdx 312223()xx xdx 例例4 4 設曲線通過點設曲線通過點(1，2)，且其上任一點處的，且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程 解解 設所求的曲線方程為設所求的曲線方程為y f(x)，所以曲線方程為所以曲線方程為y x 2 c因所求曲線通過點因所求曲線通過點(1(1，2)2)，故，故2 1 c， c 1于是所求曲線方程為于是所求曲線方程為y x 2 1按題設按題設dxdy2x ，已知切線如何求函數的曲線？已知切線如何求函數的曲線？yxo)2, 1 (因為因為2x

9、 dx x 2c ，l不定積分的求法：不定積分的求法：利用回憶微分法利用回憶微分法和函數的求導公式求不定積分和函數的求導公式求不定積分實例實例11x x dx (1) 四、基四、基 本本 積積 分分 公公 式式1 1(1)1x x 11.xc 逆逆運運算算啟示啟示能否根據求導公式得出積分公式？能否根據求導公式得出積分公式？結論結論既然積分運算和微分運算是既然積分運算和微分運算是互逆互逆的，的，因此可以根據求導公式得出積分公式因此可以根據求導公式得出積分公式. .積分積分回憶微分回憶微分(2)()xkkxdck 為為常常數數1(3)(1);1dxxxc l4)1(;ndxcxx (1)0()cd

10、xc 為為常常數數見書見書145-146145-146頁頁2(5)11xdx arctancotcarcxcx 基基本本積積分分表表8cos( )xdx sin;xc 2(6)11xdx arcsinarccoscxcx sin(7)xdx ;coscx 21sin(10)xdx 2csc xdx ;cotcx 21cos(9)xdx 2sec xdx tan;xc 基基本本積積分分表表sectan(11)xxdx sec;xc csccot(12)xxdx ;csccx (13)xe dx ;xec (14)xa dx .lnxaac 基基本本積積分分表表l利用積分基本公式求不定積分利用積分

11、基本公式求不定積分例例5 5 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據積分公式（根據積分公式（3 3）cxdxx 11 五、五、 不不 定定 積積 分分 的的 性性 質質( )( )f x dxf x 性性質質一一：( )( ),df x dxf x dx ( )( )fx dxf xc 性性質質二二：( )( ).df xf xc 性性質質三三：;)()( dxxgdxxf（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）不定積分的線性性質不定積分的線性性質 ( )( )f xg x dx ( )kf x dx

12、 .)( dxxfk性性質質四四：25xdx 521xdx dx 25xdx 521xdx7227x53223xc 72x 3x310 xxc23) 1(xx dx 223133xxxxdx(x 3 x3 21x)dx x dx 3dx 3x1dx 21xdx21x 23x 3 ln | x | x1 c 例例6 6 x(x25)dx (25x 521x )dx例例7 7 23) 1(xx dx e xdx 3cos x dx e x 3sin x c 2x ex dx (2e )x dx)2ln()2(eexc )2ln()2(eexc 2ln12xxe c24111xxdx22211) 1

13、)(1(xxxdx(x2 1 211x)dx x 2dx dx 211xdx31x 3x arctan x c 例例8 8(e x 3cos x)dx 例例9 92x ex dx 例例1010 241xxdxsec 2x dx dx tan x x c (1cos x)dx (1cos x)dx 21dx cos x dx 21(xsin x ) c 4csc 2dx 4cot x c 例例 11 11 tan 2 x dx (sec 2x1)dx例例 12 12 sin 22x dx 21(1cos x)dx例例 13 13 2cos2sin122xxdx 22sin1xdx例例14.14.

14、 求求.d)5(e2xxx解解: 原式原式 xxxd 25e)2(e)2ln(e)2(x2ln25xcxx2ln512lne2c說明：說明：1 1分項積分后，我們只寫一個分項積分后，我們只寫一個c 2. 2. 檢驗結果是否正確，只要將結果求檢驗結果是否正確，只要將結果求 導，看它的導數是否等于被積函數。導，看它的導數是否等于被積函數。 例例1515 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 例例1616 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1

15、(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 例例17 17 求積分求積分解：解：.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 例例18 18 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 說明：說明：以上幾例中的被積函數都需要以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本進行恒等變形，才能使用基本積分表積分表. .練練 習習11.xdxx 2.(1).xxeedxx 答答 案案11.xdxx 11

16、1122111122xxc 1()x dxx 原原式式1322223cxx 12xdxxdx 1xe dxdxx原原式式2xexc 2.(1)xxeedxx 112112xcxe 12xe dxx dx 221.1xdxx 4222.1xdxx 練練 習習21(1)1dxx 221xdxx 原原式式arctancxx 22111xdxx 221.1xdxx 答答 案案2211dxdxx dxx 42111xdxx 原原式式31arctan3xcxx 22221(1)(1)11xxdxxx 4222.1xdxx 答答 案案sin21.cosxdxx 2222sin2.sec1xxxdxx 練練

17、習習2sincoscosxxdxx 原原式式2coscx 2 sin xdx sin21.cosxdxx 答答 案案22221cos(1)cosxxdxxx 2222sin(1)cosxxdxxx 原原式式tanarccotxxc 222211sin(1)cosxxdxxx 2222sin2.sec1xxxdxx 2211cos1dxdxxx 答答 案案思思 考考 題題符號函數符號函數 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內是否存在原函數？為什么？內是否存在原函數？為什么？),( 思思 考考 題題 解解 答答不存在不存在. .假設有原函數假設有原函數)(xf 0,0,0,)(x

18、cxxcxcxxf故假設錯誤故假設錯誤所以所以 在在 內不存在原函數內不存在原函數. .),( )(xf結論結論每一個含有第一類間斷點的函數都每一個含有第一類間斷點的函數都沒有原函數沒有原函數. .內 容 小 結1. 不定積分的概念不定積分的概念 原函數與不定積分的定義原函數與不定積分的定義 不定積分的性質不定積分的性質 基本積分表基本積分表 2. 直接積分法直接積分法:利用恒等變形利用恒等變形, 及及 基本積分公式進行積分基本積分公式進行積分 .常用恒等變形方法常用恒等變形方法分項積分分項積分加項減項加項減項利用三角公式利用三角公式 , 代數公式代數公式 ,積分性質積分性質l對于規(guī)則的圖形（正方形、矩形、圓等）對于規(guī)則的圖形（正方形、矩形、圓等）的面積及規(guī)則形狀（正方體、圓柱、圓錐的面積及規(guī)則形狀（正方