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1、輔助線專題常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種:1) 遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”,所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 特殊方法:在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái),利用三角形面積
2、的知識(shí)解答作輔助線的方法一:中點(diǎn)、中位線,延線,平行線。如遇條件中有中點(diǎn),中線、中位線等,那么過(guò)中點(diǎn),延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線,使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線;另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線,以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二:垂線、分角線,翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中,有垂線或角的平分線,可以把圖形按軸對(duì)稱的方法,并借助其他條件,而旋轉(zhuǎn)180度,得到全等形,這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。三:邊邊若相等,旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,有時(shí)邊角互相配合,然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度,就可以得到全等形,這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱
3、中心,因題而異,有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:面積找底高,多邊變?nèi)叀H缬銮竺娣e,(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積,仍可視為求面積),往往作底或高為輔助線,而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形,想法割補(bǔ)成三角形;反之,亦成立。五、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目構(gòu)造全等三角形幾種方法一、延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形例1. 如圖1,AD是ABC的中線,求證:ABAC2AD。二、沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形例2.
4、 如圖3,在ABC中,12,ABC2C。求證:ABBDAC。三、作平行線構(gòu)造全等三角形例3. 如圖5,ABC中,ABAC。E是AB上異于A、B的任意一點(diǎn),延長(zhǎng)AC到D,使CDBE,連接DE交BC于F。求證:EFFD。四、作垂線構(gòu)造全等三角形例4. 如圖7,在ABC中,BAC90°,ABAC。M是AC邊的中點(diǎn)。ADBM交BC于D,交BM于E。求證:AMBDMC。五、沿高線翻折構(gòu)造全等三角形例5. 如圖9,在ABC中,ADBC于D,BADCAD。求證:ABAC。六、繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例6. 如圖11,正方形ABCD中,12,Q在DC上,P在BC上。求證:PAPBDQ。例7. 如圖,四
5、邊形ABCD中,BAD=BCD=900,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長(zhǎng)是 cm. 8如圖,兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形ABCD和OEFG,若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°,兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積( )A不變 B先增大再減小 C先減小再增大 D不斷增大MADBCOEFGN七、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法, 例7:如圖甲,ADBC,點(diǎn)E在線段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB。求證:CD=AD+BC。練習(xí)12(4分)如圖,已知ABC中,ABC=90°,AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1,l2,l3上,且l1,l2之間的
6、距離為1,l2,l3之間的距離為3,則點(diǎn)B到AC的距離是()A5BCD考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計(jì)算題分析:過(guò)A作ADl3于D,過(guò)B作BFAC于F,過(guò)C作CEl3于E,則BF的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到AC的距離,根據(jù)AAS證DABEBC,求出BE=3,根據(jù)勾股定理求出BC、AB、AC,根據(jù)三角形的面積即可求出答案解答:解:過(guò)A作ADl3于D,過(guò)B作BFAC于F,過(guò)C作CEl3于E,則BF的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到AC的距離ADl3,CEl3,ADB=ABC=CEB=90°,DAB+ABD=90°,ABD+CBE=90°,DAB=CBE,在D
7、AB和EBC中,DABEBC,AD=BE=3,CE=3+1=4,在CEB中,由勾股定理得:AB=BC=5,AC=5,由三角形的面積公式得:SABC=AB×BC=AC×BF,即5×5=5BF,即BF=,故選C點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,等腰直角三角形,勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確作輔助線后能求出BE、AB、BC、AC的長(zhǎng),主要考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力18(4分)如圖,過(guò)邊長(zhǎng)為1的等邊ABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PEAC于E,Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),當(dāng)PA=CQ時(shí),連PQ交AC邊于D,則DE的長(zhǎng)為考點(diǎn):等邊三角形的判定與性質(zhì);全等三角
8、形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:壓軸題分析:過(guò)P作PFBC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE,證PFDQCD,推出FD=CD,推出DE=AC即可解答:解:過(guò)P作PFBC交AC于FPFBC,ABC是等邊三角形,PFD=QCD,APF是等邊三角形,AP=PF=AF,PEAC,AE=EF,AP=PF,AP=CQ,PF=CQ在PFD和QCD中,PFDQCD(AAS),F(xiàn)D=CD,AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=AC,AC=1,DE=故答案為:18如圖,在ABC中,BC=2,ABC=45°=2ECB,BDCD,則(2
9、BD)2=168【考點(diǎn)】勾股定理【分析】延長(zhǎng)BD至F,使得DF=BD,連結(jié)CF交AB于G根據(jù)中垂線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得到CF=2,BG=CG=2,根據(jù)線段的和差求得FG=22,在RtBGF中,根據(jù)勾股定理即可求解【解答】解:延長(zhǎng)BD至F,使得DF=BD,連結(jié)CF交AB于GBDCD,DF=BD,CF=CB=2,DCF=ECB,ABC=45°=2ECB,BCG=45°,BCG是等腰直角三角形,BC=2,BG=CG=BC=2,F(xiàn)G=22,在RtBGF中,(2BD)2=BF2=BG2+FG2=22+(22)2=168故答案為:168【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理,中垂線的性
10、質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),本題關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形,難度較大24正方形ABCD中,E點(diǎn)為BC中點(diǎn),連接AE,過(guò)B點(diǎn)作BFAE,交CD于F點(diǎn),交AE于G點(diǎn),連結(jié)GD,過(guò)A點(diǎn)作AHGD交GD于H點(diǎn).(1)求證:ABEBCF;(2)若正方形邊長(zhǎng)為4,AH=,求AGD的面積. 24. 證明:(1)正方形ABCD中,ABE=90°,1+2=90°, 又AEBF,3+2=90°,則1=3 (2分) 又四邊形ABCD為正方形,ABE=BCF=90°,AB=BC 在ABE和BCF中, ABEBCF(ASA) (5分)來(lái)源:z,zs,(2)延長(zhǎng)BF交AD延
11、長(zhǎng)線于M點(diǎn),MDF=90° (6分) 由(1)知ABEBCF,CF=BE E點(diǎn)是BC中點(diǎn),BE=BC,即CF=CD=FD,在BCF和MDF中, BCFMDF(ASA) BC=DM,即DM=AD,D是AM中點(diǎn) (8分) 又AGGM,即AGM為直角三角形, GD=AM=AD 又正方形邊長(zhǎng)為4,GD=4 SAGD=GD·AH=×4×= 1、在ABC中,AB=AC,D為射線BC上一點(diǎn),DB=DA,E為射線AD上一點(diǎn),且AE=CD,連接BE。(1)如圖2,若BE=2CD,連接CE并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)F,求證:CE=2EF.(2)如圖3,若BEAD,垂足為點(diǎn)E,求證:
12、24如圖1,ABC中,BEAC于點(diǎn)E,ADBC于點(diǎn)D,連接DE(1)若AB=BC,DE=1,BE=3,求ABC的周長(zhǎng);(2)如圖2,若AB=BC,AD=BD,ADB的角平分線DF交BE于點(diǎn)F,求證:BF=DE;(3)如圖3,若ABBC,AD=BD,將ADC沿著AC翻折得到AGC,連接DG、EG,請(qǐng)猜想線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論【分析】(1)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DE=AC=AE,AC=2DE=2,AE=1,由勾股定理求出AB,得出BC,即可得出結(jié)果;(2)連接AF,由等腰三角形的性質(zhì)得出3=4,證出ABD是等腰直角三角形,得出DAB=DBA=45°,
13、3=22.5°,由ASA證明ADFBDF,得出AF=BF,2=3=22.5°,證出AEF是等腰直角三角形,得出AF=AE,即可得出結(jié)論;(3)作DHDE交BE于H,先證明ADEBDH,得出DH=DE,AE=BH,證出DHE是等腰直角三角形,得出DEH=45°,3=45°,由翻折的性質(zhì)得出DE=GE,3=4=45°,證出DH=GE,DHGE,證出四邊形DHEG是平行四邊形,得出DG=EH,即可得出結(jié)論【解答】(1)解:如圖1所示:AB=BC,BEAC,AE=CE,AEB=90°,ADBC,ADC=90°,DE=AC=AE,AC
14、=2DE=2,AE=1,AB=,BC=,ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=2+2;(2)證明:連接AF,如圖2所示:AB=BC,BEAC,3=4,ADC=90°,AD=BD,ABD是等腰直角三角形,DAB=DBA=45°,3=22.5°,1+C=3+C=90°,1=3=22.5°,DF平分ABD,ADF=BDF,在ADF和BDF中,ADFBDF(SAS),AF=BF,2=3=22.5°,EAF=1+2=45°,AEF是等腰直角三角形,AF=AE,DE=AE,BF=DE;(3)解:BE=DG+AE;理由如下:作DHDE交BE于H,如圖3所示:BEAC,ADBC,1+ACD=2+ACD=90°,1=2,ADE=90°ADH=BDH,在ADE和BDH中,ADEBDH(ASA),DH=DE,AE=BH,DHE是等腰直角三角形,DEH=45°,3=90°DEH=45°,ACD翻折至ACG,DE=GE,3=
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