34函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性92299

1、 第三章第三章 二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性三、曲線的拐點(diǎn)及求法三、曲線的拐點(diǎn)及求法一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性第四節(jié)第四節(jié)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性性四、漸近線四、漸近線一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xf0)( xfabba機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 。上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在，那么函數(shù)，那么函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那么函數(shù)，那么函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（。內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)，在上連續(xù)，在

2、在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(0)(),()2(,)(0)(),(1),(,)(baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 定理定理1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉格朗日中值定理，得應(yīng)用拉格朗日中值定理，得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxf

3、y 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注意注意: : 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(:d又又機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 xey1 xeyx說(shuō)明

4、：說(shuō)明：1.1.此定理只給出了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)的充此定理只給出了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)的充分條件，而不是必要條件。分條件，而不是必要條件。2. 2. 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在, ,不影響不影響區(qū)間的單調(diào)性區(qū)間的單調(diào)性. .只需用導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)只需用導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分定義區(qū)間，就能保證函數(shù)的各個(gè)部分區(qū)間來(lái)劃分定義區(qū)間，就能保證函數(shù)的各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào)，從而使函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào)，從而使函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。上單調(diào)。又例又例, 00 xy.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加但在但在,3xy 不存在不存在03|, x

5、yxy例如例如.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加但在但在機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義: : 若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間調(diào)的，則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)方法方法: :.,)()(0)(數(shù)的符號(hào)數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來(lái)劃分函數(shù)來(lái)劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2

6、 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例3 3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:d)0(

7、,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例4 4證證.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf , 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1

8、ln(xx 即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例5 5證證xxxxxxf 11ln)1ln(11)11ln()(設(shè)設(shè).11)11ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx 22)1(1)1(1111)(xxxxxxf 0 單減單減)(xf0)(lim xfx又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)(0 xfx時(shí)，時(shí)，則則.11)11ln(xx 即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例6 6證證)10(21sin2 xxxex試證試證)21(sin)(2xxexfx 設(shè)設(shè)0)0()( fxf則則上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在 1 , 0)(xf , 0)0( fx

9、xexfx cos)(, 0)0( f1sin)( xexfx)10(0 x上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在1 , 0)(xf0)0()( fxf則則)10(21sin2 xxxex即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(xf 可以再求可以再求例例 7 7 證證明明：當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，有有xx132 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明xxxf132)( 設(shè)設(shè)211)(xxxf 則則)1(12 xxx,), 1)(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在因因xf, 0)(), 1( xf內(nèi)內(nèi)在在,), 1)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在所以所以xf,1時(shí)時(shí)從而當(dāng)從而當(dāng)

10、x0)1()( fxfxx132 即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明1 利用單調(diào)性證：利用單調(diào)性證：,2sin)(xxxf 設(shè)設(shè), )2, 0( x,2cos)( xxf,0 )2, 0(,sin2 xxx即即xxfsin)( 021)0()( fxf則則,2, 0)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在 xf ,2, 0)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在 xf0)0()( fxf則則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明2 利用單調(diào)性證利用單調(diào)性證,sin2)(xxxf 設(shè)設(shè), 0(時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)2x )sincos(2)(2xxxxxf )t

11、an(cos22xxxx 0 , 0(時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)2x 1)2()( fxf)2, 0(,sin2 xxx即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明3利用中值定理證利用中值定理證,sin2)(xxxf 設(shè)設(shè), ), 0(2x 任取任取,2,上用中值定理上用中值定理在在 x使得使得存在存在, )2,( x )2( )()2()( xffxf 0)2)(tan(cos21sin22 xxx即即)2, 0(,sin2 xxx即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明1利用單調(diào)性證利用單調(diào)性證,1)(xexfx 設(shè)設(shè)，則則1)( xexf,0

12、0)( xxf的點(diǎn)只有的點(diǎn)只有使使列表列表x0_0+0)0 ,(), 0()(xf)(xf ，的最小值的最小值是是則則)(0)0(xff ，時(shí)時(shí)且當(dāng)且當(dāng)0 x，0)0()( fxfxex 1即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明2利用中值定理證利用中值定理證，設(shè)設(shè)xexf )(，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x由中值定理知由中值定理知 ，使使之間的點(diǎn)之間的點(diǎn)存在存在, 0 x，xxx e)0(eee0 xx e1e 即即,0,0)1(xx 則則若若,0ee ,xxe xxx e1e故故xx 1e即即,0,0)2(xx 則則若若,0ee ,xxe xxx e1e故故xx 1e即即

13、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明3利用泰勒公式證利用泰勒公式證).10(! 212 xexexx，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 xxex 1二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性問(wèn)題問(wèn)題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方abc機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 （或凸?。ɑ蛲够。┑牡纳系膱D形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那么稱(chēng)那么稱(chēng)如果恒有如果恒有（或凹

14、弧）（或凹?。┑牡纳系膱D形是（向上）凹上的圖形是（向上）凹在在那么稱(chēng)那么稱(chēng)恒有恒有意兩點(diǎn)意兩點(diǎn)上任上任如果對(duì)如果對(duì)上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)ixfxfxfxxfixfxfxfxxfxxiixf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 定義定義機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyo)()()1(21xfxf 1x2x 21)1(xx )1(21xxf xyo1x2x21)1(xx )1(21xxf )()()1(21xfxf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

15、結(jié)束結(jié)束 xyo)(xfy xyo)(xfy abababba機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1x)(,(11xfx1x)(,(11xfx2x)(,(22xfx2x)(,(22xfx處處則在點(diǎn)則在點(diǎn)2x）（1）（2，對(duì)圖對(duì)圖)1()()()(12112xxxfxfxf ，對(duì)圖對(duì)圖)2()()()(12112xxxfxfxf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyo)(xfy xyo)(xfy abab遞增遞增)(xf abba0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理2 2.)(,0)()2(;)(,0)()1()(內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的

16、在在則則內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的在在則則都有都有，任意的任意的若對(duì)若對(duì)。內(nèi)具二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具二階導(dǎo)數(shù)區(qū)間區(qū)間在在設(shè)設(shè)ixfxfixfxfixixf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 由由微微分分中中值值定定理理，有有 01101)()()(xxfxfxf )(011xx ， 02202)()()(xxfxfxf )(210 xx ， 則則 )()()1(21xfxf )()()(1)()(0220110 xxfxxfxf 。 由由210)1(xxx ，可可推推出出 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 代代入入上上式式得得 )()()1(21xf

17、xf )()()(1()(12120 ffxxxf 。 )(1201xxxx )(1(1202xxxx 由于由于201 x ，)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加)0)( xf，故，故 0)()(12 ff，又，又0)1( ，012 xx，則，則 )1()()()()1(21021xxfxfxfxf ， 由由 的任意性，證明了（的任意性，證明了（1 1） 。） 。 同同理理可可以以證證明明（2 2） 。 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21111! 2)()()()(xxfxxxfxfxf 21212112! 2)(

18、)()()(xxfxxxfxfxf 于是于是現(xiàn)令現(xiàn)令,2xx ,0)( xf,0)( f,0)(! 2)(212 xxf ,)()()(12112xxxfxfxf 由定義由定義2，(1)成立。成立。同理可以證明同理可以證明(2)。例例1010.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到, ,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 推論：推論：則下列

19、條件等價(jià)：則下列條件等價(jià)：。內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)區(qū)間區(qū)間在在設(shè)設(shè)ixf)(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 。）（，除個(gè)別點(diǎn)外，除個(gè)別點(diǎn)外內(nèi)內(nèi)在在0)(0)()5( xfxfi;)(1內(nèi)的圖形是凹（凸）的內(nèi)的圖形是凹（凸）的在在）（ixf;)(2的上方（下方）的上方（下方）內(nèi)的任一條弦位于曲線內(nèi)的任一條弦位于曲線在在）（ixf;)(3的下方（上方）的下方（上方）曲線曲線內(nèi)的任一點(diǎn)的切線位于內(nèi)的任一點(diǎn)的切線位于在在）（ixf;)(4單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）內(nèi)內(nèi)在在）（xfi 例例1111解：解：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)

20、束 (1),1xy ,012 xy，的圖形是凸的的圖形是凸的xyln (2)有有對(duì)任意的對(duì)任意的，由定義由定義,0,1baba )1ln(lnln)1(baba ，即即baba )1(1，等號(hào)成立等號(hào)成立，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba 有有所以對(duì)任意的所以對(duì)任意的,0, ba，baba )1(1，等號(hào)成立等號(hào)成立，時(shí)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba 三、曲線的拐點(diǎn)及其求法三、曲線的拐點(diǎn)及其求法連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹凸凸的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn). . 1 1、定義、定義注意注意: : 拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線。拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線。2 2、拐點(diǎn)的求法、拐點(diǎn)的求法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上

21、頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 , )()(0兩邊變號(hào)兩邊變號(hào)在在則則xxfxf ,)(,(00是拐點(diǎn)是拐點(diǎn)又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,條件條件由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的.0)(0 xf證證,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1212.14334凸的區(qū)間凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及凹、的拐點(diǎn)及凹、求曲線求曲線 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹

22、的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ).,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為.)()(,(,)(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例1313.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0

23、 , 0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)xy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 求函數(shù)求函數(shù) f (x) 的拐點(diǎn)的步驟：的拐點(diǎn)的步驟：注意：注意：例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲線線)(xf的的拐拐點(diǎn)點(diǎn). . .)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線那么那么而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 定理定理5 5證明：證明：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 所以所以不妨設(shè)

24、不妨設(shè),0)(0 xf000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 0 的某個(gè)鄰域內(nèi)，有的某個(gè)鄰域內(nèi)，有則在則在0 x0)(0 xxxf，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 xx ,0)( xf，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 xx .0)( xf。是曲線的拐點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，由定義由定義)(,(00 xfx例例1414.)2 , 0(cossin的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 拐拐點(diǎn)點(diǎn)為

25、為內(nèi)內(nèi)曲曲線線有有在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)(,)(的一條漸近線的一條漸近線線線就稱(chēng)為曲就稱(chēng)為曲那么直線那么直線的距離趨向于零的距離趨向于零定直線定直線到某到某如果點(diǎn)如果點(diǎn)離原點(diǎn)時(shí)離原點(diǎn)時(shí)的一條無(wú)窮分支無(wú)限遠(yuǎn)的一條無(wú)窮分支無(wú)限遠(yuǎn)沿著曲線沿著曲線上的一動(dòng)點(diǎn)上的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)曲線當(dāng)曲線xfyllppxfy 四、漸近線四、漸近線定義定義: :1.1.鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 x.)(,)(lim)(lim000的一條鉛直漸近線的一條鉛直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

26、結(jié)束結(jié)束 例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: :. 3, 2 xx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2.2.水平漸近線水平漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3.3.斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是

27、就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法: :,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲線就是曲線那么那么xfybaxy 顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明：證明：由漸近線的定義，有由漸近線的定義，有0)(lim baxxfx0)(lim xbaxxfxx則則要使此時(shí)成立，必須要使此時(shí)成立，必須0)(lim)(lim xbaxxfxbaxxfxxxxfax)(lim 即即)(limaxx

28、fbx 從從而而機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 或或不存在不存在如果如果;)(lim)1(xxfx 注意注意: :,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜漸近線不存在斜漸近線可以斷定可以斷定xfy 例例1515.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:d機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 21)3)

29、(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲線的一條斜漸近線是曲線的一條斜漸近線 xy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 五、小結(jié)五、小結(jié)1. . 單調(diào)性的判別（它是拉格朗日中值定理的單調(diào)性的判別（它是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用）重要應(yīng)用）. .3. . 應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式. .單調(diào)性單調(diào)性2. 單調(diào)區(qū)間

30、的求法單調(diào)區(qū)間的求法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性; ;改變彎曲方向的點(diǎn)改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn); ;1 1 凹凸性的判定凹凸性的判定. .2 2 拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法. .凹凸性及拐點(diǎn)凹凸性及拐點(diǎn)漸近線的求法漸近線的求法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 習(xí)題習(xí)題(3-4)p151 3 (2)(5) ; 4 (2)(3)(4) ; 8 (2)(4)(6) ; 9 (3) ; 11；12 ; 13 ; 作業(yè)作業(yè)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考題思考題1解答解答不能斷定不

31、能斷定. .例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考題思考題1 )212(1kx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0)212(41)( kxf kx21當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增都不單調(diào)遞增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考題思考題2解答解答故故,(0 x)(0 xf不一定是拐點(diǎn)不一定是拐點(diǎn). . 例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲線線)(xf的的拐拐點(diǎn)點(diǎn). . 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)