基本不等式案例的研究

1、 “基本不等式”案例的研究 早上我們一塊聽了“許高”王瑞敏老師、“二高”苗付雨老師關于“基本不等式”的兩節(jié)“同課異構”課，與昨天也恰好是一個女老師、一個男老師，一個是熱情型的、一個是沉穩(wěn)型的.我還是首先向兩位老師的精心準備和辛勤勞動表示感謝與尊敬今天的交流方式與昨天一樣：我、授課教師、聽課教師三方互動，希望大家多發(fā)言；昨天談過的今天我盡量不重復我發(fā)言的內(nèi)容分為四部分： （1）案例研究的認識（2）不等式的教學分析 （3）案例分析的實施 （4）數(shù)形結合 1 案例研究的認識 1-1 什么叫案例 “案例”一詞源于法學，就是一個案件，哈佛法學院將案例應用于法律人才的培養(yǎng)，產(chǎn)生案例教學；哈佛工商學院將其應

2、用于工商管理人才的教學，取得顯著成效；之后，人們把“病例”用于醫(yī)生培養(yǎng)，把“戰(zhàn)例”用于軍官培養(yǎng)，把“課例”用于教師培養(yǎng)，都叫做案例教學教師教育中的案例教學始于20世紀70年代，伴隨案例教學而進行的分析、反思、提煉又促進了“案例研究”的發(fā)展這里有三個詞：案例、案例教學、案例研究案例是一個教學實例，案例教學是一種教學方法，案例研究是一類研究方法三者既有聯(lián)系又有區(qū)別 （1）案例（課例）的界定：數(shù)學教育上的案例是具有典型意義的教學過程的描述對于數(shù)學教學上的案例，我們更習慣叫做課例（或個案），在形式上，可以是體現(xiàn)教育理論與教學技能的課堂實錄，可以是學生學數(shù)學的生動故事，可以是教師教數(shù)學的有趣設計，還可以

3、是教學實踐中遇到的意外與困惑的事件為了教學研究的需要，課例的敘述可以對課堂信息的攝取有所側重，對課堂之外的情況（如教師、學生的背景）及心理活動有所描述（動機、態(tài)度、思想、意圖、需要等），這就使得用于教學分析的課例與記錄教學實驗的課例略有區(qū)別創(chuàng)作課例可以是一種“教育敘事”，用記敘文的體裁表示出來 （2）案例的作用：教學課例包含有充分多的信息（可以代表一類事物），蘊含一定程度的理論原理，反映了教學實踐的經(jīng)驗與方法，滲透著對特定教學問題的深刻反思，可以幫助數(shù)學教師樹立一種觀念，明白一個道理，理解一個概念，學到一種方法；案例是了解教學的窗口，是問題解決的源泉，是教學理論的故鄉(xiāng)，是教師發(fā)展的階梯 （3）

4、案例的特征：典型性、研究性、啟發(fā)性1-2 什么叫案例研究 （1）案例研究的界定：在對典型教育事件進行具體描述的基礎上，通過分析、歸納和解釋，概括出具有普遍性結論的研究方法，叫做案例研究 （2）案例研究的意義：在案例研究中，作為研究素材的一個或多個案例本身是研究的一部分，對案例的收集、整理和敘述本身體現(xiàn)著研究者的研究旨趣和研究立場，但是，案例素材本身并不是理論，需要研究者對案例素材進行分析、解釋、判斷和評價，形成特定的理論從這個意義上說，案例研究是從具體經(jīng)驗事實走向一般理論的一種研究工具（相當于生物學研究中的標本）案例研究突破了理論脫離實踐的困境，建構了與實際問題緊密相連的知識體系，便于教師結合

5、自己的教學實際開展研究1-3 案例研究的視角 怎樣開展案例研究呢？我們建議抓住三個主要視角 主要看數(shù)學功底與本質洞察.（1）數(shù)學的視角（主要看數(shù)學功底與本質洞察） 內(nèi)容結構：數(shù)學內(nèi)容充實、完整，邏輯線路明晰 知識構建：原有知識經(jīng)驗明確，有構建新知識的合理過程 數(shù)學概念：清晰、準確，有發(fā)生過程 數(shù)學論證：科學、正確，有思維揭示 數(shù)學思想：有數(shù)學思想方法的滲透、提煉或闡明 （2）教學的視角（主要看教學能力與風格特點） 教學目標：體現(xiàn)三維目標，定位準確，教學性質清楚 教學要求：恰當、適合學生的最近發(fā)展區(qū) 教學方法：創(chuàng)設發(fā)現(xiàn)情景，鼓勵探索質疑，多向交流溝通，促成意義建構 教學過程：有序、完整，思路清晰

6、，使用多媒體，激勵性評價 教學效果：突出了重點、突破了難點，實現(xiàn)了教學目標（3）觀念的視角（主要看與時俱進的數(shù)學教育中國道路）已經(jīng)進行了十幾年的數(shù)學新課改課堂，我們的眼光不要停留在十幾年前，觀察課堂、尋找特色，應該與時俱進，有新的認識： 新課改所倡導的教學理念經(jīng)過十幾年的貫徹，必然會與數(shù)學學科特征有機結合，產(chǎn)生出既區(qū)別于其他學科、又區(qū)別于傳統(tǒng)的數(shù)學教學新特色其實質是創(chuàng)新新輸入的課改理念經(jīng)過十幾年的貫徹，必然會與數(shù)學教育的中國道路相互作用，促進中國數(shù)學教育在新課程背景下的現(xiàn)代發(fā)展其實質還是創(chuàng)新如今的數(shù)學教學大體上都是：以問題情景作為課堂教學的平臺，以“數(shù)學化”作為課堂教學的目標，以學生通過自己努

7、力得到結論（或發(fā)現(xiàn)）作為課堂教學內(nèi)容的重要構成，以“師生互動”作為課堂學習的基本方式就是說，數(shù)學現(xiàn)實、數(shù)學化、再創(chuàng)造、師生互動是四個關鍵詞最重要的是能從這些視角里看清基本事實，并用這些事實去分析相關的數(shù)學處理、解釋相關的教學行為當然，課例分析的共識有的只能作為教師的營養(yǎng)，間接進入課堂，而有的則可以直接進入課堂，這兩方面都將促進教學的發(fā)展課例分析不應是“空對空”的“紙上談兵”，而應該是“實對實”的“行動研究”2 不等式的教學分析2-1 不等式的定義關于不等式的定義，通常有兩種提法定義1 表示不等關系的式子，叫做不等式這個定義采用了“否定等式”的方法，沒有正面指出“不等關系”的具體含義隨著學習的深

8、入會表現(xiàn)出它的局限性當然，在實數(shù)范圍內(nèi)，任意兩個實數(shù)有且只有三種關系，因而，否定，即當然是指或從教材所出現(xiàn)的內(nèi)容看，定義1 的“不等關系”包含：，等關系 現(xiàn)在問：是不是不等式？在求函數(shù)的定義域時，確實遇到過這樣的式子：定義域為（否定形式） 且 正面肯定形式是 也就是說，我們可以把：看成是不等式，即 或； 或或 但是，學習復數(shù)之后，并不表明或同樣 一匹馬一頭牛，奇數(shù)偶數(shù)，能是數(shù)學上的不等式嗎？事實上，不等關系并非永遠等價于大小關系，對相等關系的否定，并不一定是對大小關系的肯定，而不等式的本質不僅是對相等關系的否定，而且是對大小關系的肯定因此，不等式的如下定義比較好：定義2 用不等號“”“”連接起

9、來的式子叫做不等式這里說的“式子”可以隨著學習的深入而逐步擴展外延（用數(shù)學運算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結而成，這里所說的“數(shù)學運算符號”是指初等運算初等運算包含有限次的加、減、乘、除、正整數(shù)次乘方、開方(或有理數(shù)次乘方)這些運算都叫做代數(shù)運算;此外，還包括無理數(shù)次乘方、對數(shù)、三角和反三角等運算這些運算都叫做初等超越運算）與定義1相比，這個定義的優(yōu)點是：（1）直接指出不等的本質是大小關系，至于，則作為，與的邏輯“或”（2）采取了肯定的敘述方式，更適合中學下定義的習慣（3）直接指出概念的外延，更易于學生掌握例如，是或的意思（不小于），在的關系中用了不等號 ，故稱為不等關式又如，雖然表示了兩個

10、量的不等關系，但不能寫成或，因而不是用“”，“”連結起來的式子，就不是不等式那么，“”，“”又是什么意思呢？證明一個不等式證到什么程度算是證出來了呢？ 1-2 不等關系的基本出發(fā)點 （1）充要條件：這個充要條件把實數(shù)的大小關系轉化為實數(shù)的符號（正、負號）這是不等式證明或求解的基本出發(fā)點（作差比較法）那么，“實數(shù)的符號（正、負號）”又是怎么規(guī)定的呢？ （2）符號法則“充要條件”把實數(shù)的大小關系轉化為實數(shù)的符號，因而正負數(shù)的大小性質，也是不等性質的基礎，整理如下： 在數(shù)軸上（水平放置），位于右側點表示的實數(shù)大于位于左側點表示的實數(shù)，位于左側點表示的實數(shù)小于位于右側點表示的實數(shù)，同一點表示的兩個實數(shù)

11、相等 正數(shù)大于0，也大于負數(shù)；負數(shù)小于0，也小于一切正數(shù) 正數(shù)中，絕對值大的較大，負數(shù)中，絕對值大的較小 正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，零的相反數(shù)是零 兩個正數(shù)之和必是正數(shù)，兩個負數(shù)之和仍是負數(shù) 同號相乘得正，異號相乘得負；反之，兩個數(shù)的積為正，則該兩數(shù)同號；兩個數(shù)的積為負，則該兩數(shù)異號 一個數(shù)的倒數(shù)與其本身同號 一個數(shù)乘（除）以一個正數(shù)，不改變符號 任何實數(shù)的平方都不小于0，（）（非負數(shù)）由，有，繼續(xù)有諸多變形 （）（非負數(shù)） 全量大于任一部分如 等號成立當且僅當又由 得 ，等號成立當且僅當這些性質是不等式性質和證明的基礎 1-3 不等式的性質不等式性質（定理和推論）基本上都是用“

12、充要條件”來證的，（也即作差比較法），而推理則用多用綜合法 （1）學生的心理是，一方面認為性質“顯然”，另一方面又是第一次做不等式證明，不知道怎么證“顯然”的心理是可以理解的第一，定理確實很簡單，像是常識第二，有的性質以前學過，當時沒有證明第三，有的性質以前已不自覺用過了 正因為這些性質比較簡單，所以可以使用的原理就比較少，難下手，想不到就利用實數(shù)的一些正負性質另外，第一次證明，用什么方法證也不知道（2）這是培養(yǎng)邏輯推理能力的重要機會 許多同學在這些證明中想當然，最好能像平面幾何證明的開頭一樣，要求步步有據(jù) 同時加強正反對比，反例說明很有作用如（學生的錯誤） ； ; ; ，; ，； ，（3）這

13、些不等式的性質雖然簡單，但學生往往記不住，原因是零碎，性質之間缺乏邏輯關系，可作這樣的分類 1-4 基本不等式 （1）幾何背景1 由數(shù)到形的過程： 轉化1： 構造圖形：將與線段長度（距離）互化，將 （）與面積互化，將（）與體積互化，將與勾股定理溝通. 轉化2：正方形的面積4個直角三角形的面積 （全量大于它的任一部分）于是，由形到數(shù)的過程或代數(shù)變形，有 但 （基本不等式的一個根源，并與配方法溝通）所以 （放縮法的推理） (2)基本不等式的幾何背景2.構造圖形：將與線段長度（距離）互化， 將轉化為線段， 將轉化為線段，構造是關鍵，可以理解為直角三角形斜邊不小于直角邊.進一步，對，有 ， 在變換（）

14、， ， ，由 與三角函數(shù)溝通 (3)不等式的有用變形. 變形1：（） 例1-1 柯西不等式證明 時顯然成立對，取，有 ，得 變形2 ： 除以例1-2 1984年高中數(shù)學聯(lián)賽 設 都是正數(shù)，求證證明 由（），求和 變形3： 除以 例1-3 （）已知，為兩兩各不相同的正整數(shù)，求證對任何正整數(shù)，下列不等式成立證明 由，求和 變形4：（）例1-4 （）設為正實數(shù)且滿足，試證 證明 由 ，同理 ， ，相加 左邊變形5：例1-5 證明不等式證明 記，由，求和 ，得 ，即 變形6：為參數(shù)例1-6 已知為實數(shù)且，試證 證明 由變形6有 相加 為使所求不等式成立，令 ，得變形7：或由變形7可解決許多無理不等式問

15、題 定理從兩個方面提供重要方法，證明定理的方法是經(jīng)典方法，用定理去證明結論的方法是重要方法（定理法）；要會定理的正用、逆用、連用、變用、巧用、活用，并且知道每種變形適用于哪種題型3 案例分析的實施31 研討1：怎么組織定理的教學過程的. 授課教師發(fā)言.我想補充的是：定理學習的三個階段學生是怎么學習定理的呢？我們說有三個階段，教師的設計要與這個學習過程相匹配第一階段是輸入階段即給學生提供新的學習內(nèi)容，創(chuàng)設符合學習內(nèi)容的情境，提示新舊知識之間聯(lián)系的線索使學生在心理上產(chǎn)生學習新知識的需要，這是輸入階段的關鍵 第二階段是新舊知識相互作用階段產(chǎn)生學習的需要之后，學生原有的知識與新的學習內(nèi)容就發(fā)生作用，這

16、種相互作用有兩個最基本的形式同化和順應同化是使新內(nèi)容納入原有數(shù)學認知結構，從而擴大原有認知結構的過程當原有認知結構不能同化新內(nèi)容時，就要改造原有的認知結構，以使新內(nèi)容能適應這種認知結構，這就是順應本課例學習，主要是同化，表現(xiàn)為從“實數(shù)平方的非負性不等式”，及從本課例中把定理的發(fā)現(xiàn)與定理的證明統(tǒng)一起來值得肯定第三階段是操作階段這里說的操作是指數(shù)學思維活動，主要有例題與練習等活動，這使剛產(chǎn)生的新的數(shù)學認知結構變得完善，其基本形式是學生解決數(shù)學問題，讓學生在定理證明的基礎上，進行問題解決的練習，從中得到體驗，并獲得經(jīng)驗這就使新知識與原有知識的聯(lián)系更加密切，使數(shù)學活動經(jīng)驗的積累更加豐富，從而起到了完善

17、新認知結構的作用基本結構：“圖形不等式證明應用”可見：能力：推理論證 思想：數(shù)形結合32 研討2：這節(jié)課的教學目標是什么？實現(xiàn)了沒有？ 王瑞敏一、教學目標把反思總結，整合新知的有關內(nèi)容放進教學目標；特別是，推理論證能力要放進去：1.理解重要不等式與基本不等式及其證明. 2.能對基本不等式進行靈活變形，并應用基本不等式解決簡單的最值問題. 3.切實把握好應用基本不等式求最值問題的前提條件.二、教學重點：利用基本不等式求最值問題.教學難點：如何湊成兩個數(shù)的和或積是定值.三、教學方法: 1.題組訓練法 2.學生展寫、展評，教師指導老師根據(jù)學生回答情況完善如下：一個不等式教學目標說兩個不等式：教學目標

18、：1.理解重要不等式與基本不等式及其證明.：當時，（當且僅當時，等號成立）兩種思想：數(shù)形結合思想、歸納類比思想應該有推理論證。三個注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”意圖在于通過反思、歸納，培養(yǎng)概括概括是指從某些具有若干相同屬性的事物中抽象出本質屬性，擴大到具有這些相同屬性的一切事物.能力；幫助學生總結經(jīng)驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平.苗付雨【教學目標】1知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等。2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來

19、源于生活，提高學習數(shù)學的興趣【教學重點】應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學難點】基本不等式等號成立條件利用基本不等式.授課教師發(fā)言（略）。我想補充的是：（1）四個知識點不等式兩點定積求和的最小值，定和求積的最大值，兩點（2）能力：推理論證：分析法（由未知，找需知，靠攏已知），綜合法（由已知，找可知，靠攏未知），作差法，配方法、放縮法，構造法等（3）思想：數(shù)形結合（4）重點：四個知識點，推理能力的培養(yǎng)（5）難點：構造法（滲透數(shù)形結合），應用中“一正二定三相等”問了學生，是從定理上理解的，還可以從最大（?。┲档暮x上理解最大值首先是值，同時比所有的值都大 （定值

20、）且存在定義域的使 推理論證能力：根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題，論證某一數(shù)學命題真實性的初步的推理能力推理包括合情推理和演繹推理，論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法通常是運用合情推理進行猜想，再運用演繹推理進行證明網(wǎng)上流行這樣一道小學一年級的題目,據(jù)說難倒了很多人：每個漢字代表一個數(shù)碼，不同的漢字代表不同的數(shù)碼，已知“大白+大白=白胖胖”，求大、白、胖個代表什么數(shù)碼每個讀完一年級的人都具備了解這道題的知識，所以，成功解題的關鍵在思維能力和解題經(jīng)驗對比等式兩邊的差異可以看到，異同點1：左邊有“大”沒有 “胖”，右邊有“大”沒有 “胖”，能溝

21、通左右兩邊聯(lián)系的是“白”；異同點2：左邊是二位數(shù)，右邊是三位數(shù)，故相加必有進位由于最大的二位數(shù)相加（99+99）其百位才進位1，所以右邊百位數(shù)的“白”只能是1，進而，右邊的 “白”也是1，立即算出右邊的“胖=白+白=1+1=2”，即右邊的三位數(shù)是122，除以2得左邊的二位數(shù)是61所以，“大”是6、“白”是1、“胖”是2概括：是指從某些具有若干相同屬性的事物中抽象出本質屬性，擴大到具有這些相同屬性的一切事物.概括與抽象是相關的，概括的水平也就是抽象的水平.能略去同類事物的具體差異，而抽象其共同本質或特征加以反映.它不同于感覺或知覺，概括是認識的第二階段：理性認識.抽象概括能力：對具體的、生動的實

22、例，在抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質；從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能用其解決問題或作出新的判斷33 研討3：若干事項的處理 (1)學生6做例2 (1)設，則的最小值.時缺了驗證等號，可不可以讓本人反思？ (2) 學生9第二次發(fā)言，總結了三點，都是知識性的，可不可啟發(fā)他想“過程與方法” （3）板書出現(xiàn)筆誤，是公開還是不公開？例1已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)2； （4）圖形有局限性，認知基礎異化為認知障礙（苗老師很好） （5）投影解體過程不要太快（6）提問要具體：圖標有幾個圖形？學生不敢回答，不知是不是剖分圖形.（7）可否說明一下，不等式中的字母，可以是單個，也可以是代數(shù)式

23、（8）已知x、y都是正數(shù)，求證：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.涉及連用三次，可以根據(jù)學生水平?jīng)Q定.4 數(shù)形結合4-1 數(shù)形結合的認識 （1）基本含義：這是從數(shù)與形兩個方面來認識和處理數(shù)學問題的一種思想 （2）初步理解：數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的一門科學，數(shù)與形是中學數(shù)學中被研究得最多的兩個側面，數(shù)形結合是一種極富數(shù)學特點的信息轉換它把代數(shù)方法與幾何方法中的精華都集中了起來，既發(fā)揮代數(shù)方法的一般性、解題過程的程序化、機械化優(yōu)勢，又發(fā)揮幾何方法的形象直觀特征，形成一柄雙刃的解題利劍，數(shù)軸和坐標系，函數(shù)及其圖象，曲線及其方程，復數(shù)及其復平面，向量、以及坐標法、三角法、構造圖形法等都是數(shù)形結合的輝煌成果具體解題中的數(shù)形結合，是指對問題既進行幾何直觀的呈現(xiàn)