第4節(jié)定積分的應(yīng)用

1、第四節(jié) 定積分的應(yīng)用一、平面圖形的面積三、平行截面面積為已知的幾何體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積 )( , , , 為面積元素則微分元素任取baxxxxxxadxxgxfad| )()(| d , 所求面積為于是baxxgxfa d | )()(| oxy)(xfy )(xgy ax bx ab 積的計(jì)算公式為所圍成的平面圖形的面bxaxxgyxfy , )( ),( 及求由連續(xù)曲線)( . d | )()(| baxxgxfabadycyyxyx , )( ),( 及求由連續(xù)曲線 積的計(jì)算公式為所圍成的平面圖形的面)( . d | )()(| dcyyyadc ,類似地例1解解 . 2 2積所圍成

2、的平面圖形的面與直線求曲線yxxyoxy2xy 2 yx21ab ) 1 (求積分區(qū)間 聯(lián)立方程組 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :ba 求得交點(diǎn) . d)2(d )2(2xxxa微分元素 )3(計(jì)算面積 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxa . 1 , 2 x積分區(qū)間例1解解 . 2 2積所圍成的平面圖形的面與直線求曲線yxxyoxy2xy 2 yx21ab ) 1 (求積分區(qū)間 聯(lián)立方程組 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :ba 求得交點(diǎn) . d)2(d )2(2xxxa微分元素 )3(計(jì)算面積 . 2 1

3、4 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxa例1解解 . 2 2積所圍成的平面圖形的面與直線求曲線yxxyoxy2xy 2 yx21ab ) 1 (求積分區(qū)間 聯(lián)立方程組 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :ba 求得交點(diǎn) . d)2(d )2(2xxxa微分元素 )3(計(jì)算面積 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxa例2解解 . 2 , , 2所圍平面圖形的面積直線求曲線xyxyxyoxyxy2xy 2xy : ) 1 (求積分區(qū)間 )2(微分元素 )3(計(jì)算面積 聯(lián)立方程組 2xy xy 2xy 2xy xy 2xy . )0 ,

4、0( ),4 , 2( ), 1 , 1 ( oba求得交點(diǎn)為ab12 . 2 0,2 1,1 0, 積分區(qū)間為 ; dd)2(d , 1 , 0 xxxxxa中在 . d)2(d , 2 , 1 2xxxa中在 . 6 7d)2(d)2(2 1 21 0 xxxxxxa21yx及及1 xy平面圖形的面積平面圖形的面積. . 112xyyx圍成圍成yx1 xy) 1 , 0(o1)2, 3(21yx例3由方程組由方程組 解得曲線交點(diǎn)為（解得曲線交點(diǎn)為（0 0，1 1）與（）與（-3-3，-2-2）. . .214)2()1()1(122122dyyydyyys 一軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的將平面圖形繞

5、平面上某 . , 該軸稱為旋轉(zhuǎn)軸幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體 . , 間的可加性旋轉(zhuǎn)體的體積具有對區(qū)上在區(qū)間i :旋轉(zhuǎn)體的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體的特點(diǎn) , 截旋轉(zhuǎn)體所得的的平面任何一個(gè)垂直于旋轉(zhuǎn)軸 . 圖形均為圓截口oxy1abab)(xfy xxx )(在區(qū)間計(jì)算連續(xù)曲線xfy 軸所圍成的平面圖形以及 xbx 轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋繞 x .體積 , ,axabba與直線上的一段弧 . ,bax . 0 , , xbax , 得到如圖所示的軸的平面分別作垂直于和點(diǎn)過點(diǎn)xxxx , ).( )( ,可以用很小時(shí)當(dāng)和其半徑分別為兩個(gè)圓xxxfxf , )( 似旋轉(zhuǎn)為高的圓柱體的體積近以為半徑的圓為底以xxf .)(

6、 : , 22xxfxyvxxx上的體積體在 :積分區(qū)間 :微分元素oxy1abab)(xfy xxx )(在區(qū)間計(jì)算連續(xù)曲線xfy 軸所圍成的平面圖形以及 xbx 轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋繞 x .體積 , ,axabba與直線上的一段弧 . ,bax :積分區(qū)間 :微分元素 .dd2xyv .d)(d2xxfv :計(jì)算體積 d bavv .d 2baxy2 , )( 上的一段弧在區(qū)間計(jì)算連續(xù)曲線dcyx . 轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋繞 x , 軸所圍成的平面圖形以及與直線ydycyab :類似于上面的作法可得 . ,dcy :積分區(qū)間 :微分元素 .dd2yxv .d)(d2yyv

7、 :計(jì)算體積 d bavv .d 2baxy例4解解 , 1 2222軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的繞軸繞求橢圓yxbyax .旋轉(zhuǎn)體的體積oxyaabb )( ) 1 (只需用上半橢圓軸旋轉(zhuǎn)繞 x . ,aax :積分區(qū)間 :微分元素 dd2xyv . 3 4d)( d2 2222 abxxaabvvaaaa .d)(2222xxaab :計(jì)算體積 )( )2(只需用右半橢圓軸旋轉(zhuǎn)繞 y . ,aax :積分區(qū)間 :微分元素 dd2yxv . 3 4d)( d2 2222 bayybbavvbbbb .d)(2222yybba :計(jì)算體積oxyaabboxy22xyxy 11mx例5解解 2 2軸所以及

8、與拋物線求圓弧yxyxy , 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋繞軸圍成的平面圖形繞yx .轉(zhuǎn)體的體積 ) 1 (軸旋轉(zhuǎn)繞 x :積分區(qū)間 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyv .67d)2( d 21 0 aaxxxvv :計(jì)算體積 .之差可視為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積xy 22xy) 1 , 1 ( m交點(diǎn) .1 , 0 xoxy22xyxy 11m ) 2 (軸旋轉(zhuǎn)繞 y :積分區(qū)間 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyxv d d2 1 21 0 121vvvvv :計(jì)算體積 . 2 , 1 1 , 0y , 1 0, 上在區(qū)間 .d)2(dd222yyyxv , 2 1, 上在區(qū)間 .

9、15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy ).( xsxa軸的平面所截得的面積被垂直于設(shè)幾何體oxyabx )(xs , ), ,()( 上的體積為位于區(qū)間則幾何體若baabacxs .d)( baxxsv例6解解 , ,的線段為頂以平行且等于該圓直徑求以圓為底 . 的正劈錐的體積高為 hoxyhxaayh| y| y . | ) |2(21)(22xahhyhyxs222ayx . |22xay解解 , ,的線段為頂以平行且等于該圓直徑求以圓為底 . 的正劈錐的體積高為 hoxyhxaay :積分區(qū)間 :微分元素 :計(jì)算體積 . ,aax .dd22xxahvaaxxahv 22d cos ax 令 .21dsin 2 0 22ahah2020222) 1(1 dxxdxyvx20432.1516)4