第五章不定積分

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì) 一、一、 原函數(shù)原函數(shù)定義定義1 設(shè)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間i上的已知函數(shù)上的已知函數(shù),如果存在函如果存在函數(shù)數(shù)f(x),使對(duì)任意使對(duì)任意xi都有都有f (x)=f(x),或或df(x)=f(x)dx， 則稱則稱f(x)為為f(x)在區(qū)間在區(qū)間i上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)111ln(), 1(22 xxx內(nèi)內(nèi).), 1(111ln(22內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在是是 xxx一個(gè)函數(shù)具有原函數(shù)時(shí)一個(gè)函數(shù)具有原函數(shù)時(shí), ,它的原函數(shù)它的原函數(shù)不止一個(gè)不止一個(gè) . .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)定理定理1(

2、原函數(shù)存在性定理原函數(shù)存在性定理) 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間i上連上連續(xù)續(xù),則在區(qū)間則在區(qū)間i上存在可導(dǎo)函數(shù)上存在可導(dǎo)函數(shù)f(x),使對(duì)任意使對(duì)任意xi,都有都有 f (x)=f(x) 定理定理2 設(shè)設(shè)f(x)是是f(x)在區(qū)間在區(qū)間i上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù),則在區(qū)間則在區(qū)間i上上f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成形如的所有原函數(shù)都可以表示成形如f(x)+c(c為任為任意常數(shù)意常數(shù))的形式的形式 .證證 (1)已知已知f(x)是是f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),故故f (x)=f(x) 又又f(x)+c = f (x)= f(x), 所以所以f(x)+c是是f(x)的一個(gè)原函

3、數(shù)的一個(gè)原函數(shù) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)(2) 設(shè)設(shè)g(x)是是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù),即即g (x)= f(x),則有則有 g(x)-f(x) =g (x)-f (x)=f(x)-f(x)=0由拉格朗日中值定理的推論由拉格朗日中值定理的推論1知知,導(dǎo)數(shù)恒等于零的函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒等于零的函數(shù)是常數(shù)是常數(shù),故故 g(x)-f(x)=c,即即 g(x)=f(x)+c返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)二、二、 不定積分不定積分定義定義2 設(shè)設(shè)f(x)是是f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),則則f(x)的全體原函的全體原函數(shù)數(shù)f(x)+c(c為任意常數(shù)為任意常數(shù))稱為稱為f(x)的的不定積分不定積分,

4、記作記作 ,即即 其中其中, 稱為稱為積分號(hào)積分號(hào),f(x)稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù),f(x)dx稱為稱為被積被積表達(dá)式表達(dá)式,x稱為稱為積分變量積分變量,c稱為稱為積分常數(shù)積分常數(shù) xxfd)(cxfxxf )(d)(返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例解解.,)2 , 1( 求求此此曲曲線線的的方方程程兩兩倍倍斜斜率率等等于于這這點(diǎn)點(diǎn)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)的的線線且且其其上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切設(shè)設(shè)曲曲線線通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)曲線上任一點(diǎn)曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為處的切線斜率為 xxy2dd cxxx 2d2f(x)是是2x的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). 曲線通過(guò)點(diǎn)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),故故 2=1+

5、c, c=1 所求曲線方程為所求曲線方程為 12 xy返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì);, ,d)(d)(d)()()3(.,)(d)()2(;d)(d)(d)(d)(dd)1(為為常常數(shù)數(shù)其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)或或 xxgxxfxxgxfccxfxxfxxfxxfxfxxfx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)四、四、 基本積分表基本積分表,sindcos)6(,ln1d)5(,ede)4()0(|lnd1)3(),1(11d)2()(d) 1(1cxxxcaaxacxxcxxxcxxxkckxxkxxxx 為為常常數(shù)數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) cxxxcxxxcxx

6、xxcxxxxcxxxcxxxcxxxarctand11)13(arcsind11)12(cscdcotcsc)11(secdtansec)10(cotdcsc)9(tandsec)8(cosdsin)7(2222返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).d)1(23xxx 求求cxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1|ln332 dd3d3d d)133( d133d) 1(22222323例例解解返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).dtan2 xxcxxxxxxxxx tan ddsec d)1(secdtan222例例解解返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法一、一、 第一類換元法

7、第一類換元法)(d)()(d)()(xuuufcxfxxxff(u)是是f(u)的原函數(shù)的原函數(shù),則則 f(u)+c. u又是另一變量又是另一變量x的函數(shù)的函數(shù)u= (x),且且 (x)可微可微, 有有 f ( (x) f( (x) (x) 由不定積分的定義由不定積分的定義,得得 uufd)(返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè))(d)(d)()(xuuufxxxf 定理定理1 設(shè)設(shè)f(u)具有原函數(shù)具有原函數(shù),u= (x)可導(dǎo)可導(dǎo),則有換元公式則有換元公式 ceceuexuxexxexuuxx 2222121 d21d21d22令令.d2 xxex例例解解返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例解解 .0,122為

8、為常常數(shù)數(shù)adxxacxaxaacxaxaaxaxaxaxaaxxaxaaxxa |ln21|ln|ln21)(d)(d(21d)11(21d122返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).dcsc xx求求cxxxdxxxdxxdxxdxxdx |2tan|ln2tan)2(tan2cos2tan)2(2cos2sin2sincsc2例例解解cxxxdxxxxxxxxxx |cotcsc|lncsc:.cotcscsincos1sin2sin22cos2sin2tan2表表為為所所以以上上述述不不定定積積分分又又可可因因?yàn)闉榉祷胤祷厣享?yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)二、第二類換元法二、第二類換元法定理定理2 設(shè)設(shè)x= (t)

9、是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且并且(t)0，又設(shè)又設(shè)f( (t)(t)具有原函數(shù)具有原函數(shù),則有換元公式則有換元公式 )(1d)()(d)(xttttfxxf證證 設(shè)設(shè)f( (t)(t)的原函數(shù)為的原函數(shù)為 (t),記記 ( -1(x)=f(x),利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得)()()(1)()( dddddddd)(xftftttftxtxttxf返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)即即f(x)是是f(x)的原函數(shù)的原函數(shù),所以有所以有)(11d)()( )()(d)(xttttfcxcxfxxf 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) ).

10、0(122adxax求求,),2, 0(,sec上上的的不不定定積積分分可可求求的的被被積積函函數(shù)數(shù)在在令令axttax ,tan,tansec22taaxtdttadx caxxcaaxaxctttdttdttatadxax |ln |ln ,|tansec|ln sectansectan11222222例例解解返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第三節(jié)第三節(jié) 分部積分法分部積分法 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u=u(x)及及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).那末那末,兩個(gè)函兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為 (uv) =u v+uv ,移項(xiàng)移項(xiàng),得得 uv =(uv) -u v 對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分對(duì)

11、這個(gè)等式兩邊求不定積分,得得 稱為分部積分公式稱為分部積分公式. vdxuuvdxuv常簡(jiǎn)寫成如下形式常簡(jiǎn)寫成如下形式: vduuvudv返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).dln xx求求,lnxvxu 取取例例解解cxxxxxxxxxxxx ln dln )(lndlndln返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).d xxex求求 )(d2121)21(dd,21,2222xxxxxexexxexxexveu則則取取例例解解.dd21)(d2122更更難難求求左左端端積積分分比比而而右右端端積積分分 xxexexexxxxcexexexeexxxeevxuxxxxxxx ddd,則則因因此此改改取取返回返回上頁(yè)上

12、頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)下面幾類不定積分都可以利用分部積分公式直接求出下面幾類不定積分都可以利用分部積分公式直接求出 .d)()1( xexpaxn.dln)()2( xxxpmn.dcos)(,dsin)()3( xxxpxxxpnn.darccos)(,darcsin)()4( xxxpxxxpnn.darctan)(,dcot)()5( xxxpxxarcxpnn返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).dcos xxeix求求cxxexxeiixxexexexexxexexexexxeixxxxxxxxxxx )cos(sin21dcos)cos(sin sindsincos dsincos cosdcosdcos

13、 故故例例解解返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第四節(jié)第四節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分 設(shè)設(shè)pm(x)和和qn(x)分別是分別是m次和次和n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,則則形如形如 的函數(shù)稱為的函數(shù)稱為有理函數(shù)有理函數(shù).當(dāng)當(dāng)mn時(shí)時(shí),稱為稱為真分式真分式,否則稱否則稱 為為假分式假分式. )()(xqxpnm返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè))04,1,()()4()04,()3();1()()2();() 1 (2222 qpkqpqpxxbaxqpqpqpxxbaxakaxaaaxank且且為為整整數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)且且為為常常數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)，為為常常數(shù)數(shù)最簡(jiǎn)真分式最簡(jiǎn)真分式

14、(其中其中a、b為常數(shù)為常數(shù))： 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).d3222 xxxx求求例例解解 2)1(d3)32(d32121d323)32(21d322222222xxxxxxxxxxxxxxx 22)21(1d23)32ln(21xxxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 22)21(1d23)32ln(21xxxx 222)21(1)21(d23)32ln(21xxxxcxxx 21arctan23)32ln(212返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)任何一個(gè)有理函數(shù)可以通過(guò)以下程序求出它的原函數(shù)任何一個(gè)有理函數(shù)可以通過(guò)以下程序求出它的原函數(shù) (1) 如果有理函數(shù)是假分式如果有理函數(shù)是假分式,則將其表示成一個(gè)

15、整式與則將其表示成一個(gè)整式與一個(gè)真分式之和一個(gè)真分式之和,然而分別求其原函數(shù)然而分別求其原函數(shù)(2) 如果有理函數(shù)已經(jīng)是一個(gè)真分式如果有理函數(shù)已經(jīng)是一個(gè)真分式,則可以將其分解則可以將其分解成若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和成若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和,分別求原函數(shù)分別求原函數(shù)(3) 將上述過(guò)程中分別求出的原函數(shù)相加將上述過(guò)程中分別求出的原函數(shù)相加,就得到有理就得到有理函數(shù)的原函數(shù)函數(shù)的原函數(shù) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)srxxsxrsrxxsxrsrxxsxrqpxxnxmqpxxnxmqpxxnxmbxbbxbbxbaxaaxaaxaxqxpnm 2122221121222211121121)()()()()()(

16、)()()()( 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式qn(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解成一次因在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解成一次因式和二次素因式的乘積式和二次素因式的乘積,如如 則真分式可以分解成如下部分最簡(jiǎn)分式之和：則真分式可以分解成如下部分最簡(jiǎn)分式之和： )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxqn ), 04, 0422nsrqp 且且其其中中返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).321)32)(1(65222 xxcbxxaxxxxx設(shè)設(shè).)32)(1(6522和和分解為部分最簡(jiǎn)分式之分解為部分最簡(jiǎn)分式之試將分式試將分式 xxxxx例例解解)3()2()(6522caxcbaxbaxx 項(xiàng)項(xiàng)得得兩兩邊邊去去分分母母并并合合并并同同類類. 0, 1, 263521 cbacacbabax解之得解之得同次冪的系數(shù)得方程組同次冪的系數(shù)得方程組比較比較返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)3212)32)(1(65222 xxxxxxxxx故故. 0, 1, 2.321)32)(1(65222 cbaxxcbxxaxxxxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).d)1(52 xxx求求例例解解 xxxxxxxxxd)1(611 d)1(6)1(d)1(5222cxxxxxx 161lnd)1(6d112返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)二、二、 三角函數(shù)