橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(教案)

1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 單縣教研室 周啟杰 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率這四個(gè)幾何性質(zhì)，掌握標(biāo)準(zhǔn) 方程中 以及 的幾何意義， 之 間的相互關(guān)系。 過程與方法：用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質(zhì) 情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質(zhì)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí) 、 體會(huì)數(shù)與形的聯(lián)系與統(tǒng)一，認(rèn)識(shí)橢圓的美學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值 。2、 教學(xué)重點(diǎn) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。3、 教學(xué)難點(diǎn) 利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì).四、教學(xué)過程【課前自主復(fù)習(xí)】 1.全面復(fù)習(xí)2.2.1中橢圓的有關(guān)知識(shí)； 2.復(fù)習(xí)必修2第二章第11頁-12頁上頭的內(nèi)容，及必修2

2、第三章的有關(guān)知識(shí): 與直線 平行的直線方程可寫為 兩平行直線 間的距離為 。 【課內(nèi)探究】 1、 出示學(xué)習(xí)目標(biāo)：橢圓的幾何性質(zhì)yxo 學(xué)習(xí)方法：利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 研究橢圓的幾何性質(zhì)。2. 直觀感知：觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓哪些點(diǎn)比較特殊？ 3橢圓的幾何性質(zhì) 下面我們根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 來研究橢圓的幾何性質(zhì)（1）范圍 對(duì)觀察結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)方程 ，得出不等式 ， ，即 ， （引導(dǎo)學(xué)生由等式向不定式轉(zhuǎn)化，克服難點(diǎn)）2 / 8 這說明橢圓位于直線 和直線 所圍成的矩形框里 (2）對(duì)稱性 可以看出，橢圓關(guān)于 軸對(duì)稱，關(guān)于 軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 在 中，

3、以代 ， 以代 ，或以代 ， 同時(shí)以 代，方程解不變說明橢圓上的任一點(diǎn)關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)， 關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，故橢圓關(guān)于 軸對(duì)稱。同理 關(guān)于 軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 軸、 軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。橢圓的對(duì)稱中心叫做橢 圓的中心（3）頂點(diǎn) 引導(dǎo)學(xué)生從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 分析它與 軸、 軸的交點(diǎn)，只須令 得 ，說明 是橢圓與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理，令 得 ，點(diǎn) 、 是橢圓與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)所以橢圓 與 它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。 線段 和 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于 和 ； 、 的幾何意義： 叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，叫

4、做橢圓的短半軸長(zhǎng) 由橢圓的范圍，對(duì)稱性和頂點(diǎn)，就可以畫出橢圓的草圖。（4）離心率 觀察不同的橢圓，我們發(fā)現(xiàn)橢圓的扁平程度不一，那么，用什么量刻畫橢圓的扁平程 度呢？ 事實(shí)上，橢圓的扁平程度是相對(duì)的。橢圓 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為， 半焦距為。保持長(zhǎng)半軸長(zhǎng)不變，改變橢圓的半焦距，可以發(fā)現(xiàn)，越接近于，橢圓越扁平。這樣，利用和這兩個(gè)量，可以刻畫橢圓的扁平程度。 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 ，叫做橢圓的離心率，用表示，即 先分析離心率 的取值范圍： ， 離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響：當(dāng) 趨近于1時(shí)， 趨近于 ，從而 越小，因此橢圓越扁平：當(dāng) 趨近于0時(shí)， 趨近于0，從而 趨近于 ，因此橢圓越接近于圓 兩焦點(diǎn)重合時(shí)，即

5、時(shí)，圖形變?yōu)閳A，方程為 。 同樣，的大小也能刻畫橢圓的扁平程度。 也可以運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解釋，為什么越大，橢圓越扁；越小，橢 圓越圓。 （5） 階段性小結(jié)： 四個(gè)基本量 ： ，幾何意義，相互關(guān)系，知二求二； 兩個(gè)基本線：對(duì)稱軸，對(duì)稱軸的本質(zhì)； 七個(gè)基本點(diǎn)：四個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，一個(gè)中心。 通過階段性小結(jié)，深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生清楚，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是橢圓固有 的性質(zhì)?！纠}分析】例1 求橢圓 的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。 該例題考查橢圓的基本性質(zhì)，需確定基本量，只要把原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即 可。讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，然后再讓學(xué)生畫出橢圓的草圖。 該例題是橢圓的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用，考察學(xué)生的生活情感體驗(yàn)，閱讀、分析能力，及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法?？捎脵E圓定義（本質(zhì)），也可以用待定系數(shù)法（形式），注意解法的優(yōu)化。 該例題讓學(xué)生感受橢圓的另外一種定義方式（第二定義）。同時(shí)考查曲線方程的求法，讓學(xué)生體會(huì)解析幾何的基本思想和基本問題（利用坐標(biāo)法，根據(jù)已知條件，求出曲線方程；然后利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，畫出曲線圖形）。強(qiáng)調(diào)：軌跡與軌跡方程的區(qū)別。 oxx想 x 該例題是關(guān)于直線與橢圓位置關(guān)系的綜合問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，分析問題、解決問題的能力。先利用幾何直觀，再利用代數(shù)方法加以解決?？赏ㄟ^與圓類比，揭示求橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值的方法