高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列（二）課件 新人教A版必修5

1、第二章數(shù) 列2.2等差數(shù)列 (二)1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導出等差數(shù)列的重要性質(zhì).2.能運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關問題.學習目標欄目索引知識梳理 自主學習題型探究 重點突破當堂檢測 自查自糾 知識梳理 自主學習知識點二推廣的等差數(shù)列的通項公式已知等差數(shù)列an中任意的兩項am，an，則anam(nm)d.(mn)思考已知等差數(shù)列an中的am和an，如何求d?答案知識點三等差數(shù)列的性質(zhì)1.若an，bn分別是公差為d，d的等差數(shù)列，則有數(shù)列結論can公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))can公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))anank公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，kn*)panqbn公差為pdq

2、d的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))2.等差數(shù)列的項的對稱性在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和，即a1ana2an1a3an2.3.下標性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，若mnpq(m，n，p，qn*)，則.特別的，若mn2p(m，n，pn*)，則有 .思考等差數(shù)列an中，若a57，a919，則a2a12_，a7_.返回amanapaq答案aman2ap2613 題型探究 重點突破題型一等差數(shù)列的性質(zhì)及應用例1(1)已知等差數(shù)列an中，a2a6a101，求a4a8.解析答案(2)設an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值.解析答案

3、反思與感悟解an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設公差為d(d0)，a1a32a2，a1a2a3153a2，a25，又a1a2a380，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a12105.解決本類問題一般有兩種方法：一是運用等差數(shù)列an的性質(zhì)：若mnpq2w，則amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整數(shù))；二是利用通項公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項與公差基本量的關系完成運算，屬于通性通法，兩種方法都運用了整體代換與方程的思想.反思與感悟跟蹤訓練1在等差數(shù)列an中：(1)若a35，則a12a4_；解析答案(2)若a1a2a324，a18a19a2078

4、，則a1a20等于_.解析a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.15解析由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018.18題型二等差數(shù)列項的設法及求解例2已知四個數(shù)構成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列.解析答案反思與感悟解設四個數(shù)為a3d，ad，ad，a3d，則又因為是遞增數(shù)列，所以d0，此等差數(shù)列為1,2,5,8或8，5，2,1.三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列的設法.當三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設出首項a1和公差d列方程組求解，此

5、時計算量稍大，也可采用對稱的設法，三個數(shù)時，設ad，a，ad；四個數(shù)時，設a3d，ad，ad，a3d，利用和為定值，先求出其中某個未知量.反思與感悟解析答案跟蹤訓練2已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù).解方法一設這三個數(shù)為a，b，c，則由題意得這三個數(shù)為4,6,8.方法二設這三個數(shù)為ad，a，ad，由已知可得由得a6，代入得d2，該數(shù)列是遞增的，d2舍去，這三個數(shù)為4,6,8.題型三等差數(shù)列的綜合問題解析答案(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并寫出bn的通項公式；解析答案(2)求數(shù)列an的通項公式及數(shù)列an中的最大項與最小項.解析答案反思與感悟解決數(shù)

6、列綜合問題的方法策略(1)結合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項.(2)利用通項公式，得到一個以首項a1和公差d為未知數(shù)的方程(組)或不等式(組).(3)利用函數(shù)或不等式的有關方法解決.反思與感悟解析答案跟蹤訓練3設等差數(shù)列an的公差為d.若數(shù)列 為遞減數(shù)列，則()a.d0c.a1d0解析設bn ，則bn1 ，由于 是遞減數(shù)列，則bnbn1，即 .y2x是單調(diào)增函數(shù)，a1ana1an1，a1ana1(and)0，a1(anand)0，即a1(d)0，a1d0.c12na a12na a12na a112na a112na a12na a題型四等差數(shù)列的實際應用例4某公司2009年經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，獲

7、利200萬元，從2010年起，預計其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解析答案反思與感悟解記2009年為第一年，由題設可知第1年獲利200萬元，第2年獲利180萬元，第3年獲利160萬元，則每年獲利構成等差數(shù)列an，且當an0時，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損.設第n年的利潤為an，因為a1200，公差d20，所以ana1(n1)d22020n.由題意知數(shù)列an為遞減數(shù)列，令an0，即an22020n11，即從第12年起，也就是從2020年開始，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損.解決等差數(shù)列實際應用問題的方法策略(1)解答數(shù)

8、列實際應用問題的基本步驟：審題，即仔細閱讀材料，認真理解題意；建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題；判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；求解，即求出該問題的數(shù)學解；還原，即將所求結果還原到實際問題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要弄清首項、項數(shù)等關鍵問題.反思與感悟解析答案跟蹤訓練4九章算術“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()解析設自上而下9節(jié)竹子各節(jié)的容積構成等差數(shù)列an，其首項為a1，公差為d，b解析答案審題不仔細致誤易錯點例5首項為24的等差數(shù)列，從第10

9、項開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍為_.返回錯因分析解答本題，應注意理解“從第10項開始為正數(shù)”的含義，它表明“a100”的同時還表明“a90”這一條件.解析答案誤區(qū)警示解答此類問題，應注意仔細審題，認真挖掘題目中的隱含條件，并注意應用.誤區(qū)警示返回 當堂檢測123451.在等差數(shù)列an中，a12，a3a510，則a7等于()a.5 b.8c.10 d.14解析方法一設等差數(shù)列的公差為d，則a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.方法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.b解析答案12345解析由a2a4a6a8a105a680，a616，c解析答

10、案123453.已知等差數(shù)列an滿足a1a2a3a1010，則有()a.a1a1010 b.a2a1010c.a3a990 d.a5151c解析a1a2a1010，又a1a101a2a100a3a992a51，a510a3a99.解析答案12345解析答案4.下列是關于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列； p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為()a.p1，p2 b.p3，p4c.p2，p3 d.p1，p4解析ana1(n1)ddna1d，因為d0，所以p1正確；an3nd4dna1d，因4d0，所以是遞增數(shù)列，p4正確，故選d.d12345解析答案5.在等差數(shù)列an中，已知a12a8a1596，則2a9a10_.解析a12a8a154a896，a824.2a9a10a10a8a10a824.24課堂小結2等差數(shù)列an中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列3等差數(shù)列an中，若mnpq，則ana