初中平方根的分析及教學(xué)

1、初中平方根的分析與教學(xué)摘 要：本文主要分析了平方根的基本概念，主要特點(diǎn)以及表示方式，并對(duì)平方 根這一課進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)。平方根是開(kāi)方運(yùn)算的基礎(chǔ)，為初一接下來(lái)的無(wú)理數(shù)的 運(yùn)算提供了知識(shí)準(zhǔn)備。由“乘方”展開(kāi)，使學(xué)牛理解開(kāi)方運(yùn)算與乘方運(yùn)算的相互關(guān)系，鍛煉學(xué)生的逆向 思維能力。再提出算數(shù)平方根這一概念，通過(guò)習(xí)題使學(xué)生逐漸掌握開(kāi)方運(yùn)算的運(yùn) 算，并能用以上知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。關(guān)鍵詞：平方根，算數(shù)平方根，教學(xué)設(shè)計(jì)一、平方根概念平方根（square root）,又叫二次方根，對(duì)于非負(fù)實(shí)數(shù)來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)數(shù)的平方 等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。x2 = a顯而易見(jiàn)，知道x的情況下可以求出x的平方等于a,但是在知

2、道a的情況下如 何求x就是求平方根的主要目的。2、表示方法這里引進(jìn)了一個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)，根號(hào)（廠）。一個(gè)正數(shù)a的正平方根用“時(shí) 表示（讀作“根號(hào)a”）； a的負(fù)平方根用“-”表示，（讀作“負(fù)根號(hào)a”）， 因此一個(gè)正數(shù)a的平方根就用表示（讀作“正、負(fù)根號(hào)a），其中a叫做被 開(kāi)方數(shù)。正的平方根表示為+燈 讀作“根號(hào)a”(正號(hào)通?？梢皇÷?正數(shù)a -負(fù)的平方根表示為皿 讀作“負(fù)根號(hào)a”即a (a>0)的平方根可表示為土吋 讀作“正、負(fù)根號(hào)a “。其中a稱為被 開(kāi)方數(shù)。0的平方根是0負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根3、主要特點(diǎn)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；o只有一個(gè)平方根，就是0木身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。例：9

3、的平方根是±3 o二、算數(shù)平方根1、概念正數(shù)的正平方根稱為算數(shù)平方根。0的算數(shù)平方根是0。一個(gè)數(shù)a (ao)的算 數(shù)平方根記作“燈“。例如9的算數(shù)平方根是3,即何二3, 0.01的算數(shù)平方 根是 0.1,即 v0.01=0.1o2、主要特點(diǎn)算數(shù)平方根的主要特點(diǎn)是非負(fù)性。三. 平方根與算數(shù)平方根的分析1、學(xué)牛對(duì)于平方根的概念初步形成，對(duì)簡(jiǎn)單的開(kāi)平方運(yùn)算能夠進(jìn)行計(jì)算。例如 9的平方根啊±3即土v9"=±3.但是對(duì)一些不能直觀計(jì)算岀來(lái)的數(shù)字的平方根容 易混淆，例如10的平方根是土皿"，學(xué)生很容易產(chǎn)生10沒(méi)有平方根的錯(cuò)誤思 想。所以通過(guò)平方根這一節(jié)課的

4、學(xué)習(xí)使學(xué)生逐漸掌握易求數(shù)字的開(kāi)平方運(yùn)算以及 不易求數(shù)字用廠表示計(jì)算結(jié)果。2、小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了加、減、乘、除四則運(yùn)算。求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算也是一 種運(yùn)算，稱為開(kāi)平方運(yùn)算。開(kāi)平方是平方運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此可以運(yùn)用平方運(yùn)算 求一個(gè)數(shù)的平方根。習(xí)題中常會(huì)出現(xiàn)，例如 眞的算數(shù)平方根是多少。學(xué)生很容7 16易就寫匚 從而忽視根號(hào)的存在。因?yàn)樗麄儗?duì)平方根的知識(shí)體系還未形成，不能 4自然而然的反映出根號(hào)就是求補(bǔ)的算數(shù)平方根。所以這里存在兩個(gè)運(yùn)算，、用w所以可以把題目轉(zhuǎn)化為期勺算數(shù)平方根。轉(zhuǎn)化后的題目就很簡(jiǎn)單，答案是斗423、如何求一個(gè)數(shù)的平方根。我們通常會(huì)出現(xiàn)選擇題，例如“求4的平方根“或 解方程”送=4“，這

5、兩種類型的題目可以總結(jié)為一類就是求4的平方根，答案 是有兩個(gè)，正負(fù)2.但是初中生的意識(shí)里面只有正數(shù)是根深蒂|(zhì)古i的，很容易忽略 負(fù)2 所以要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平方根的理解，就要反復(fù)訓(xùn)練題冃，從題fi屮吸取經(jīng)驗(yàn), 逐漸掌握。4、平方根與算數(shù)平方根易混淆。例如何二很多學(xué)生會(huì)以為是求平方根，從 而寫±3.這里要明確，出現(xiàn)v求的是算數(shù)平方根，出現(xiàn)“廠“求的是負(fù)的平方 根，岀現(xiàn)” 土廠“求的才是平方根。所以以數(shù)學(xué)文字描述的問(wèn)題我們-般與根 號(hào)前的符號(hào)保持一致，當(dāng)用文字表述問(wèn)題吋，如求一個(gè)數(shù)的平方根，我們才能根 據(jù)實(shí)際情況添加正負(fù)號(hào)。5、被開(kāi)方數(shù)越大，平方根的絕對(duì)值就越大。我們可以令x = y2,即y

6、= ±仮， 其中y是x的平方根。我們可以繪制得圖像實(shí)線部分是丫 =仮的繪圖部分，我們可以發(fā)現(xiàn)y的值隨x的增大而增大，但是y 的遞增趨勢(shì)是逐漸減少的，也就是說(shuō)x越大，x的變化對(duì)y的影響越小。而虛線 部分是y = 一仮的繪圖部分，其中y的值隨x的增大而減小，同樣y的遞增趨勢(shì) 是逐漸減少的，也就是說(shuō)x越大，x的變化對(duì)y的影響越小。這一知識(shí)點(diǎn)通?？?察帶根號(hào)的數(shù)與不帶根號(hào)的數(shù)的相互轉(zhuǎn)化以及大小比較。例如比較2和們的大 小。我們可以把傳化成小數(shù)，比較2與笛的大小，也可以把2轉(zhuǎn)化成帶根號(hào) 的數(shù)。因?yàn)?是4的算數(shù)平方根，所以婦和2是相等的。從而我們可以比較vt和 皿的大小來(lái)比較2和笛的大小，以為4

7、小于5,由上述規(guī)律我們可以得出2 小于四、教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：理解平方根和算術(shù)平方根的概念，了解平方與開(kāi)平方的關(guān)系。能力目標(biāo)：學(xué)會(huì)平方根、算術(shù)平方根的表示法和平方根、算術(shù)平方根，并運(yùn)用以 上知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。情感目標(biāo)：學(xué)習(xí)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)踐到理論，從具體 到抽象的辨證唯物主義觀點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：平方根的概念。難點(diǎn)：平方根的概念和平方根的表示方法較為抽象，是本節(jié)課的難點(diǎn)。教學(xué)過(guò)程一、設(shè)疑引新記一記背一背ii2 = 121122 = 144132 = 169142 = 196152 = 225162 = 256172 = 289182 = 324192 = 36

8、1202 = 400用識(shí)記比賽的方式，激發(fā)學(xué)生的興趣，同時(shí)能鍛煉學(xué)生看到相應(yīng)的數(shù)字能快速反 應(yīng)出對(duì)應(yīng)的平方根。我們知道一個(gè)數(shù)，很容易知道這個(gè)數(shù)的平方是多少，但是如 果反過(guò)來(lái)，知道一個(gè)數(shù)的平方是多少，能求這個(gè)數(shù)嗎？符合這樣條件的數(shù)有幾個(gè)? 該如何表示？這些問(wèn)題都是這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，提岀課題一一第三章 實(shí)數(shù)31 平方根.二. 交流對(duì)話，探究新知2例如（）=324大部分學(xué)生由上式中獲得啟發(fā)，認(rèn)為括號(hào)中應(yīng)該填18,所以應(yīng)該反問(wèn)，只 有18的平方得324嗎。這時(shí)候會(huì)有學(xué)生提出j8的平方也是324,此時(shí)教師在括 號(hào)內(nèi)填寫土 18。教師提問(wèn)：這時(shí)候，324問(wèn)±18,我是你的什么？學(xué)生回答：平方教

9、師提問(wèn)：那土 18是324的什么呢？教師回答：已知某數(shù)的平方要求這個(gè)數(shù)，用式子來(lái)表示就應(yīng)是：如果x2 = a,求x的值這和我們一開(kāi)始提出的問(wèn)題，求一個(gè)已知數(shù)的平方正好是相反要 解決這樣一個(gè)問(wèn)題，就須在數(shù)學(xué)上引進(jìn)一個(gè)新的概念一一平方根.（引出平 方根的概念）平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根。（也 叫二次方根）如i： 22 = 4, 2是4的平方根；（2） $二4, （-2）也是4的平方根.即4的平 方根是±2平方根的表示及讀法：這里引進(jìn)了一個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)，根號(hào)（廠）。一個(gè)正 數(shù)a的正平方根用“時(shí) 表示（讀作“根號(hào)a”）； a的負(fù)平方根用“表 示，（讀作“負(fù)

10、根號(hào)a”），因此一個(gè)正數(shù)a的平方根就用土皿表示（讀作正、 負(fù)根號(hào)a），其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。正的平方根表示為+貢 讀作“根號(hào)a”（正號(hào)通?？?省略）_正數(shù)a負(fù)的平方根表示為皿 讀作“負(fù)根號(hào)a”是的簡(jiǎn)寫，通常省略指數(shù)2即a （a>0）的平方根可表示為±仃 讀作“正、負(fù)根號(hào)a “。其中a稱為被開(kāi) 方數(shù)。例:寫出25, 0.09, -0.36,0,7的平方根教師板書(shū) 土宓二±5±v0?09=±0.3-0.36沒(méi)有平方根0的平方根是07的平方根是±77平方根的性質(zhì)：通過(guò)以上練習(xí)，得出下列法則：一個(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方 根，它們互為相反數(shù)；零的平方根

11、是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。大多數(shù)正數(shù)的平方根 不能用整數(shù)來(lái)表示，學(xué)生很容易認(rèn)為不能用整數(shù)表示平方根的數(shù)沒(méi)有平方根，所 以應(yīng)該反復(fù)強(qiáng)調(diào)正數(shù)都有兩個(gè)平方根，并引導(dǎo)學(xué)生去用根號(hào)的式子去表示，例如 7的平方根，就應(yīng)該保留根式。求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方.教師提問(wèn)：開(kāi)平方和乘方運(yùn)算是什么關(guān)系？學(xué)生引導(dǎo)學(xué)生冋答，利用了乘方運(yùn)算是開(kāi)平方的逆運(yùn)算得出的.例1求下列各數(shù)的平方根：(1) 1(2)( -) 2 (3) 0.36 (4) 1325分析：如何求1的平方根？就是要求一個(gè)數(shù)x,使x的平方等于9,即求滿足/ =1的x的數(shù)值.因?yàn)?±1) 2 = 1,故滿足x2 = l的x的數(shù)值是1或所以1 的平

12、方根是±1.(2) (3) (4)仿照上面的方法，解題的格式與步驟教師板演.強(qiáng)調(diào)：(i) 1的平方根表示方法是±v1=1,而不是vi即不要寫成vi二±1(2) 帶分?jǐn)?shù)開(kāi)平方時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù).(3) 有幕的先進(jìn)行幕運(yùn)算。(4) 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反數(shù)，而不是一個(gè). 算數(shù)平方根：正數(shù)的正平方根和0的平方根統(tǒng)稱為算數(shù)平方根。一個(gè)數(shù)a (a>0)的算數(shù)平方根記作血，表示的是算數(shù)平方根，它具有非負(fù)性。 例求下列數(shù)的算數(shù)平方根! 2121 花 °-09(-"010三、梳理概括，形成結(jié)構(gòu)(1) 一個(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方

13、根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù) 沒(méi)有平方根；(2) 正數(shù)a的平方根的表示方法為土程;它的算術(shù)平方根的表示方法為侖；(3) 求平方根時(shí)，應(yīng)把被開(kāi)方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).四、變式練習(xí)，擴(kuò)展新知(1)已知一個(gè)正數(shù)x的平方根是m+3和2m-15,求m利用正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)的性質(zhì)，相反數(shù)相加得0,所以可得(m+3)+ (2m-15) =0,解得 m二4(2) yja-3 = 0,求 a利用0的平方根為0解得a=3,求abva 3 + |b 1| = 0利用算數(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，解得a=3, b=l,所以ab二3五、反饋評(píng)價(jià)（1）如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,這個(gè)數(shù)叫做a的平方根；（2）正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，