小學(xué)(數(shù)學(xué))奧數(shù)知識(shí)總結(jié)手冊(cè)VIP

1、和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式(和差 ) 2=較小數(shù)較小數(shù)差 =較大數(shù)和較小數(shù) =較大數(shù)(和差 ) 2=較大數(shù)較大數(shù)差 =較小數(shù)和較大數(shù) =較小數(shù)和(倍數(shù) 1)=小數(shù)小數(shù)倍數(shù) =大數(shù)和小數(shù) =大數(shù)差(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)倍數(shù) =大數(shù)小數(shù)差 =大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)不定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不

2、唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟： 1、列方程； 2、消元； 3、寫出表達(dá)式； 4、確定范圍； 5、確定特征； 6、確定答案；技巧總結(jié)： a、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；b、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1） 個(gè)物體放在 n 個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2 個(gè)物體。例：把 4 個(gè)物體放在 3 個(gè)抽屜里，也就是把

3、4 分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2 個(gè)或多于2 個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2 個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n 個(gè)物體放在 m 個(gè)抽屜里，其中 nm，那么必有一個(gè)抽屜至少有: k=n/m +1 個(gè)物體：當(dāng) n 不能被 m 整除時(shí)。k=n/m 個(gè)物體：當(dāng) n 能被 m 整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)： x 表示不超過 x 的最大整數(shù)。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；關(guān)鍵問題： 構(gòu)造物體和抽屜。 也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽

4、屜原則進(jìn)行運(yùn)算。定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用 09 十個(gè)數(shù)字表示，逢10 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2 102+310+4。=an10n-1+an-110n-2+an-210

5、n-3+an-310n-4+an-410n-5+an-610n-7+a3102+a2101+a1100注意： n0=；n=n （其中 n是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用 01 兩個(gè)數(shù)字表示，逢2 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。= an2n-1+an-12n-2+an-22n-3+an-32n-4+an-42n-5+an-62n-7+a322+a221+a120注意： an不是 0 就是 1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿 2 進(jìn) 1 的特點(diǎn)，用 2 連續(xù)去除這個(gè)數(shù)， 直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的

6、2 的 n 次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)

7、果得數(shù)和1 進(jìn)行比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0 比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0 除外） ，分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一

8、類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：a、分量發(fā)生變化，總量不變。b、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。c、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)

9、系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。工程問題基本公式：工作總量 =工作效率工作時(shí)間工作效率 =工作總量工作時(shí)間工作時(shí)間 =工作總量工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“ 1” （和總工作量無關(guān)）；假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時(shí)間. 關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡評(píng)：合久必分，分久必合。歸一問題的基本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等

10、詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題， 就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)總頭數(shù)總腳數(shù)）（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。幾何面積基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般

11、需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1.連輔助線方法2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4.利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4 等于等腰直角三角形的面積）梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n 類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有 m2種不同方法，在第n 類方

12、法中有 mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有： m1+ m2. +mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n 個(gè)步驟進(jìn)行，做第 1 步有 m1種方法，不管第 1 步用哪一種方法，第 2 步總有 m2種方法不管前面n-1 步用哪種方法，第 n 步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1m2. mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：

13、有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù) 1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一 1） ；數(shù)角規(guī)律 =1+2+3+（射線數(shù)一 1） ；數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =長的線段數(shù)寬的線段數(shù)：數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =11+22+33+行數(shù)列數(shù)簡單方程代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù) （除0） ，等式不變。移項(xiàng)：把數(shù)或式子改變符號(hào)后從方程等號(hào)的一邊

14、移到另一邊；移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)。加去括號(hào)規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，則添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變；如果括號(hào)前面是“”號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變；括號(hào)里面的數(shù)前沒有“+”或“”的，都按有“ +”處理。移項(xiàng)關(guān)鍵問題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。乘法分配率： a(b+c)=ab+ac 解方程步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；求解；方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù) =（賣價(jià) -成本）

15、成本 100%；賣價(jià)=成本（ 1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價(jià)（ 1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定；定價(jià)=成本（ 1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期數(shù)；含稅價(jià)格 =不含稅價(jià)格（ 1+增值稅稅率）；六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第六講立體圖形的計(jì)算邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè) a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a 一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要

16、進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如a和 b兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的

17、關(guān)系式，從而得到問題的解決。年齡問題的三個(gè)基本特征：兩個(gè)人的年齡差是不變的；兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為 “1”份，根據(jù)兩次不同的吃法， 求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L量 =（較長時(shí)間長時(shí)間牛頭數(shù)- 較短時(shí)間短時(shí)間牛頭數(shù)）（長時(shí)間- 短時(shí)間） ；總草量 =較長時(shí)間長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間生長量；濃度與配比經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃

18、度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?=溶質(zhì)重量 +溶劑重量；溶質(zhì)重量 =溶液重量濃度；理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。例題 1。有含糖量為 7的糖水 600 克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，在7的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水的質(zhì)量并

19、沒有改變。因此，可以先根據(jù)原來糖水中的濃度求出水的質(zhì)量，再根據(jù)后來糖水中的濃度求出現(xiàn)在糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水的質(zhì)量減去原來糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)量。原來糖水中水的質(zhì)量： 600 （17） 558（克）現(xiàn)在糖水的質(zhì)量：558 （110） 620（克）加入糖的質(zhì)量：62060020（克）答：需要加入 20 克糖。例題 2。一種 35的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為35的農(nóng)藥加多少千克水，才能配成1.75的農(nóng)藥 800 千克？【思路導(dǎo)航】把濃度高的溶液經(jīng)添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^程稱為稀釋。在這種稀釋過程中，溶質(zhì)的質(zhì)量是不變的。這是解這類問題的關(guān)鍵。800 千克 1.

20、75的農(nóng)藥含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800 1.7514（千克）含 14 千克純農(nóng)藥的 35的農(nóng)藥質(zhì)量為14 3540（千克）由 40 千克農(nóng)藥稀釋為 800 千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為80040760（千克）答： 用 40 千克的濃度為 35的農(nóng)藥中添加 760 千克水， 才能配成濃度為 1.75的農(nóng)藥 800千克。例題 3?，F(xiàn)有濃度為 10的鹽水 20 千克。再加入多少千克濃度為30的鹽水，可以得到濃度為 22的鹽水？【思路導(dǎo)航】這是一個(gè)溶液混合問題。混合前、后溶液的濃度改變了，但總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒有改變。所以，混合前兩種溶液中溶質(zhì)的和等于混合后溶液中的溶質(zhì)的量。20 千克 10的鹽水中含鹽的質(zhì)

21、量20 102（千克）混合成 22時(shí)， 20 千克溶液中含鹽的質(zhì)量20 22404（千克）需加 30鹽水溶液的質(zhì)量（4.42） （3022） 30（千克）答：需加入 30 千克濃度為 30的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水。例題 4。將 20的鹽水與 5的鹽水混合， 配成 15的鹽水 600 克，需要 20的鹽水和 5的鹽水各多少克？【思路導(dǎo)航】 根據(jù)題意，將 20的鹽水與 5的鹽水混合配成15的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的?？筛鶕?jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。解：設(shè) 20的鹽水需 x 克，則 5的鹽水為 600 x 克，那么20 x+（600 x） 56

22、00 15x 400 600400200（克）答：需要 20的鹽水 400 克，5的鹽水 200 克。例題 5。甲、乙、丙 3 個(gè)試管中各盛有 10 克、20 克、30 克水。把某種質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10 克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10 克倒入丙管中?，F(xiàn)在丙管中的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.5。最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？【思路導(dǎo)航】混合后甲、乙、丙3 個(gè)試管中應(yīng)有的鹽水分別是20 克、30 克、40 克。根據(jù)題意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽的質(zhì)量。又因?yàn)楸苤性瓉碇挥?0 克的水，它的鹽是從10 克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30 克鹽水中鹽的質(zhì)量。而乙管里的

23、鹽又是從10 克鹽水中的甲管里取出的， 由此可求出甲管里20 克鹽水中鹽的質(zhì)量。 而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。丙管中鹽的質(zhì)量：（ 30+10） 0.502（克）倒入乙管后，乙管中鹽的質(zhì)量：0.2 【（20+10 ） 10】0.6（克）倒入甲管，甲管中鹽的質(zhì)量：0.6 【（10+10） 10】1.2（克）1.2 1012答：最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是12?！臼炷苌伞浚款}10 分）1、 現(xiàn)在有濃度為 20的糖水 300 克，要把它變成濃度為40的糖水，需要加糖多少克？300 （120） （140）300100 克2、 有含鹽 15的鹽水 2

24、0 千克，要使鹽水的濃度為20，需加鹽多少千克？20 （115） （120） 201.25 千克3、 用含氨 0.15的氨水進(jìn)行油菜追肥?，F(xiàn)有含氨16的氨水 30 千克，配置時(shí)需加水多少千克？30 （160.15） 0.153170 千克4、 倉庫運(yùn)來含水量為90的一種水果 100 千克。一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80?，F(xiàn)在這批水果的質(zhì)量是多少千克？100 （190） （180）50 千克5、 在 100 千克濃度為 50的硫酸溶液中， 再加入多少千克濃度為5的硫酸溶液就可以配制成 25的硫酸溶液？100 （5025） （255） 125 千克6、 濃度為 70的酒精溶液 500 克與濃度

25、為 50的酒精溶液 300 克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？（50070+30050） （500+300 ） 10062.57、 兩種鋼分別含鎳 5和 40，要得到 140 噸含鎳 30的鋼，需要含鎳5的鋼和含鎳40的鋼各多少噸？解：設(shè)需含鎳 5的鋼 x 噸，則含鎳 40的鋼 140 x 噸，5x+（140 x） 40140 30x 40 14040100 噸8、 甲、乙兩種酒各含酒精75和 55，要配制含酒精 65的酒 3000 克，應(yīng)當(dāng)從這兩種酒中各取多少克？（300075300065） 【1 （7555）】 1500 克3000 15001500 克9、 從裝滿 100 克 80的

26、鹽水中倒出40 克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？解法一： 1008080 克40 8032 克（8032） 1004840 4819.2 克（803219.2） 10028.840 28.811.52 克（803219.211.52） 100 17.28解法二： 80 （140100 ） （140100 ） （140100 ） 10017.2810、 甲容器中又 8的鹽水 300 克，乙容器中有 12.5的鹽水 120 克。往甲、乙兩個(gè)容器分別倒入等量的水，使兩個(gè)容器中鹽水的濃度一樣。每個(gè)容器應(yīng)倒入多少克水？300

27、 824 克120 12.515 克解：設(shè)每個(gè)容器應(yīng)倒入x 克水。24300+x 15120+x x 180 平均數(shù)基本公式：平均數(shù) =總數(shù)量總份數(shù)總數(shù)量 =平均數(shù)總份數(shù)總份數(shù) =總數(shù)量平均數(shù)平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算. 基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式時(shí)鐘問題快慢表問題基本思路：1、按照行程問題中的思維方法解題

28、；2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；3、路程的單位是分格（表一周為60 分格） ；4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；時(shí)鐘問題鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時(shí)針的初始位置；確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成 60 小格， 每小格我們稱為 1 分格。 分針每小時(shí)走 60分格，即一周；而時(shí)針只走 5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時(shí)針每分鐘走 112 分格。度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即 6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/(12 60)度，即 1/2 度。數(shù)的整除一

29、、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a 。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“| ” ，不能整除符號(hào)“” ；因?yàn)榉?hào)“”，所以的符號(hào)“”；二、整除判斷方法：1.能被 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3.能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5.能被 7 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除。逐次

30、去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被 7 整除。6.能被 11 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11 整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7.能被 13 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被 13整除。三、整除的性質(zhì)：1.如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）與（ a-b）也能被 c 整除。2.如果 a 能被 b 整除， c 是整數(shù)，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3.如果 a 能

31、被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4.如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍數(shù)整除。數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中， 任意相鄰 兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d 表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用sn表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1,an, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求

32、和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)?；竟剑和?xiàng)公式： an = a1+（n1）d；通項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一1) 公差；數(shù)列和公式： sn,= (a1+ an)n2；數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2；項(xiàng)數(shù)公式： n= (an+ a1) d1；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng) -首項(xiàng)）公差 1；公差公式： d =（ana1）（n1） ；公差=（末項(xiàng)首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù)1） ；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1.末位數(shù)字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立

33、。5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式： x2-y2=（x-y） （x+y ）完全平方和公式：（x+y ）2=x2+2xy+y2完全平方差公式：（x-y）2=x2-2xy+y2循環(huán)小數(shù)一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是 9，9 的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分?；煅h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，

34、9 的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是 0，0 的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)， 如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2 和 5，又含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)， 那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。盈虧問題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出

35、參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：若兩個(gè)整數(shù) a、b除以 m的余數(shù)相同，則稱 a、b 對(duì)于模 m同余。已知三個(gè)整數(shù) a、b、m ，如果 m|a-b，就稱 a、b 對(duì)于模 m同余，記作 ab(mod m) ，讀作 a 同余于 b 模 m 。二、同余的性質(zhì)：自身性： aa(

36、mod m) ；對(duì)稱性：若 ab(mod m) ，則 ba(mod m) ；傳遞性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，則 a c(mod m)；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，則 a+cb+d(mod m)，a-c b-d(mod m) ；相乘性：若 a b(mod m) ，cd(mod m) ，則ac bd(mod m) ；乘方性：若 ab(mod m) ，則 anbn(mod m) ；同倍性 : 若 a b(mod m) ，整數(shù) c，則 ac bc(mod m c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若 a=ab，則 ma=mab=（ma）b 若 b=c+d則 mb=m

37、c+d=mcmd四、被 3、9、11除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù) m ，n 表示 m的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則m n(mod 9) 或（mod 3） ；一個(gè)自然數(shù) m ，x表示 m的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和， y表示 m的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 m y-x 或 m 11-（x-y）(mod 11) ；五、費(fèi)爾馬小定理：如果p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)） ，a 是自然數(shù)，且 a不能被 p整除，則 ap-11(mod p)。余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r ，如果使得 ab=qr ，且 0rb, 那么 r 叫做 a 除以b 的余數(shù)， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若 a、b 除以 c 的余數(shù)相同，則c|a-b 或 c|b-a 。a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)加上 b 除以 c 的余數(shù)的和除以 c 的余數(shù)。a 與 b 的積除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)與 b除以 c 的余數(shù)的積除以c 的余數(shù)。約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得