二次型的概念

1、線性代數(shù)下頁結束返回定義定義1 含有含有n個變量的二次齊次多項式個變量的二次齊次多項式叫做叫做n元二次型元二次型，當二次型的系數(shù)，當二次型的系數(shù)aij ( i, j=1,2, ,n)都是實數(shù)時都是實數(shù)時,稱為實二次型稱為實二次型. .二次型的定義二次型的定義21211 1121213 131122222323222( ,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x 特別地特別地, 只含有平方項的只含有平方項的n元二次型稱為元二次型稱為n元二次型的標準形元二次型的標準形.222121 122( ,).nnnf x xxd xd xd

2、 x下頁第第3 3節(jié)節(jié) 二次型的概念二次型的概念 線性代數(shù)下頁結束返回 練習：練習：下頁22121223244fxxx xx x131423248228fx xx xx xx x 22221234131423241476442fxxxxx xx xx xx x52248x x47x線性代數(shù)下頁結束返回二次型的矩陣形式二次型的矩陣形式令令下頁),.,2 , 1.(njiaajiij得得21211 1121213 131122222323222( ,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x 21211 1121213 131122

3、1212222323222112233( ,)nnnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x xa x線性代數(shù)下頁結束返回下頁21211 1121213 1311221212222323222112233( ,)nnnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x xa x12111 11221331221 122223321 12233( ,)()()()nnnnnnnnnnnnf x xxx a xa xa xa

4、xx a xa xa xa xx a xa xa xa x11 1122133121 1222233212121 12233( ,)nnnnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xf x xxx xxa xa xa xa x線性代數(shù)下頁結束返回下頁11 1122133121 1222233212121 12233( ,)nnnnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xf x xxx xxa xa xa xa x111211212222121212( ,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx xxxaaa 12( ,)Tnf x xxX

5、 AX，其中，其中nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx線性代數(shù)下頁結束返回實對稱矩陣稱實對稱矩陣稱A為二次型為二次型系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣, A的秩稱為的秩稱為二次型的秩二次型的秩. .若二次型若二次型f是是標準形標準形,即其系數(shù)矩陣是對角陣即其系數(shù)矩陣是對角陣. .下頁12( ,)Tnf x xxX AXnnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx,其中其中12(,)ndiag d dd ,其中其中222121 122( ,),nnnf x xxd xd xd x則則 f 的矩陣形式為的矩陣形式為XXxxxfTn),(21TXX1

6、1221200000 0nnndxdxx xxdx 121122.nnnxxd xd xd xx2221 122nnd xd xd x12( ,).nf x xx線性代數(shù)下頁結束返回例例1. 寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩.323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf(1)23223214),(yyyyyf(2)324262 ,423A 123(,)f y yy(2)二次型二次型系數(shù)矩陣為系數(shù)矩陣為000010 ,004B因因r(A)=3, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于3.因因r(B)=2, 故二次型的秩等于故

7、二次型的秩等于2.解解: (1)二次型二次型下頁系數(shù)矩陣為系數(shù)矩陣為123( ,)f x xx線性代數(shù)下頁結束返回由變量由變量y1, y2, yn到到x1, x2, xn的線性的線性變換變換 若若|P|0，則上述線性變換稱為可逆，則上述線性變換稱為可逆(滿秩滿秩)線性變換線性變換. .記作記作 X=PY.問題問題：如何找一個可逆線性變換如何找一個可逆線性變換X=PY，使得將其代入二次型使得將其代入二次型后，得到新的二次型只含變量的平方項的形式后，得到新的二次型只含變量的平方項的形式(標準標準形形) . .化二次型為標準形化二次型為標準形 1111211221222212nnnnnnnnxppp

8、yxpppyxpppy11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y下頁線性代數(shù)下頁結束返回現(xiàn)將現(xiàn)將X=PY代入二次型，得代入二次型，得( )()()() ,X PYTTTTf XX AXPYA PYYP AP Y 上式右端是關于變量上式右端是關于變量y1, y2, yn的二次型的二次型. . 如果其為標準形為如果其為標準形為2221122nnd yd yd y比較上式兩端得比較上式兩端得 那么，這個那么，這個P 存在嗎？存在嗎？下頁TP AP 11221200000 0nnndydyy yydy ,TYY 分析：分析：若若A有有n個線性無關個線性無關的特征向量的特征向量x x1, x x2, x xn，令，令 Q=(x x1, x x2, x xn), 則有則有 Q-1A