與拋物線有關(guān)的結(jié)論之歐陽(yáng)科創(chuàng)編

1、與拋物線有結(jié)論時(shí)間：2021.02.05創(chuàng)作：歐陽(yáng)科拋物線中有一些常見(jiàn)、常$=2丹用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)問(wèn)題，在做解答題時(shí)也可迅速打開(kāi) 思路。結(jié)論一:若AB是拋物線亡2網(wǎng)卩>0）的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦），且AM）,貝ij . 12 4 f yyp_證明：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為F（兀0）,當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線AB 的方程為:y=KX2xx =yL.yL=jL=!La。八1由得:a-2py-奶=0 .- 2p 2p 4/廣 4。X = JL 當(dāng)AB丄x軸時(shí)，直線AB方程為2,則"“，廠-“，.2M廠一同上也有："宀。I 1例:已知直線A

2、B是過(guò)拋物線宀2網(wǎng)“>0）焦點(diǎn)求證:FT兩為定A白LQ. o證明：設(shè)心），2?。?，由拋物線的定義知：垮， 阿Z埒，又阿十阿二陽(yáng)，所以sM.p,且由結(jié)論知：P24 O1丄1 _時(shí)田州_嗣_AB昭-2則：時(shí)|陽(yáng)|呵陽(yáng)（旳）（旳）皆訓(xùn)+ »石二寫(xiě)+那卄）+£卩（常數(shù)）結(jié)論二:（1）若AB是拋物線亡2噸。）的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾9 p斜角為a,則皿=眾（go）。（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦）最短。證明：（1）設(shè)心），呱亠），設(shè)直線AB："*自y = k(x-.)_2p由_y2 = 2Px . ky2-2py-kp =0 . ，,+y2TAB

3、= J+p-|Vi-V2| =血- 4帕=luI2/y；K- = 2p（l"）= 2M + 3G）= JJLv KY kY K |K|甘tan'asin'a c易驗(yàn)證，結(jié)論對(duì)斜率不存在時(shí)也成立。（2）由（1）: AB為通徑時(shí)，"90 ,或血 的值最大，嗣最小。例:已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12,貝IJ直線AB傾斜角 為。9解：由結(jié)論二，12二航（其中a為直線AB的傾斜角），亠忑龍 2龍sina=± 貝I 2 ,所以直線AB傾斜角為3或3。結(jié)論三:兩個(gè)相切:（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂

4、足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。歐陽(yáng)科創(chuàng)編已知AB是拋物線r=2/w>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，求證： 以AB為 直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。(2)分別過(guò)A、B做準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N,求平門(mén)以妙為直 徑的圓與直線AB相切。山證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,過(guò)A、Q、B向準(zhǔn)線十作垂足分別為M、P、N,連結(jié)AP、BPO卜由拋物線定義：帥|=陰，.QP = +(|AM | + BN) = 1 (AF + BF) = 1 AB以AB為直徑為圓與準(zhǔn)線I相切MFO,F(2)作圖如，取MN中點(diǎn)P,連結(jié)PF、M比NF,vlAMl = M, AMOF, zamf二乙AFM,乙Ah:丄AFM=AMF0。同理，乙BFN二

5、乙NFO, E丄卜:丄MFN=2 （乙AFM+ZMFO十乙BFN十乙NFO） =90°,MP = NP = FP = MN乙 PFM 二乙 FMP L AFP= L AFM+ A PFM=乙 FMA+ AFMP=A PMA=90°, a FP 丄 AB以MN為直徑為圓與焦點(diǎn)弦AB相切。結(jié)論四:若拋物線方程為 F = 2px(p>0), 過(guò)(2，0)的直線與之交于A、 B兩點(diǎn)，貝IJOA丄OB。反之也成立。'y = k(x-2p)<證明：設(shè)直線AB方程為:尸心-2小，由lr=2px 得，a。，歐陽(yáng)科創(chuàng)編2021.02.05歐陽(yáng)科創(chuàng)編Xj + x2 =xx2

6、 = 一 b AO 丄 BO ao丄 bo .xx2 + yy2 = xAx2 + （g + b）（kx2 +b） = （l + k2 ）xx2 + kbg +x2） + Z?2 =0將分,v2=-z>代入得，b = ° 直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0,1） o.當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，九詼取最小值loIx = 2ph結(jié)論五（了解）：對(duì)于拋物線宀2打（小），其參數(shù)方程為l.v = 2Pr,設(shè)拋物線F=2必上動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2"，2川），。為拋物線的頂點(diǎn)，顯然k _ 2pr _t八麗"，即的幾何意義為過(guò)拋物線頂點(diǎn)。的動(dòng)弦op的斜率例 直線與拋物線/=2p.v（p>0）相交

7、于原點(diǎn)和A點(diǎn)，為拋物線上一1 - 2一一 丄=HU 貝點(diǎn)，OB和OA垂直，且線段初長(zhǎng)為5皿，求P的值.解析:設(shè)點(diǎn)人分別為（2吋2必）,（2/”2皿）“的坐標(biāo)分另IJ為彳，p）,（8p-4p）= J 切-士 +（“ + 4莎=|祠,=5揖 ；.p = 2 練習(xí):1.過(guò)拋物線=山（心0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于只。兩點(diǎn)，若線段丄+丄pf與皿的長(zhǎng)分別是則"q二【解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得從而噸.取特殊情況，過(guò)焦點(diǎn)F的弦P。垂直于對(duì)稱軸，則M為通徑，即m=2p=%從而歐陽(yáng)科創(chuàng)編丄1 + 1 = 4,2.設(shè)拋物線'亠2網(wǎng)八0）的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于人兩 點(diǎn)點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線

8、上，且眈/心軸.證明直線M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。.川上，0：x-mv + -【證明：拋物線焦點(diǎn)為"丿.設(shè)直線的方程為 2,代入拋物 線方程,得 b-2/wiy-p，=0 若設(shè)人（西,Bg %）,貝Ijy,y2=-P2 .:BC/xk =藝軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線"一；k =也=絲又由）心2旳，得旺y., 故咯*。,即直線AC經(jīng)過(guò)原 占O 八、13.已知拋物線的焦點(diǎn)是FE）,準(zhǔn)線方程是"y+2=o,求拋物線的方程以 及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程【解：設(shè)gy）是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的定義得7（x-i）2+（-i）2卜+y+2|整理，得.r+r-2xy-8A-8v = 0j此即為所求拋物

9、線的方程.拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)是過(guò)焦點(diǎn)尸（小且與準(zhǔn)線"尸2“垂直的直線， 因此有對(duì)稱軸方程yg 設(shè)對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M,可求得“一），于是線段枷的中點(diǎn)就 是拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)是（阿】4.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是從0）,準(zhǔn)線/的方程是"2廠2 = 0，試求該拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程.解：依題意，拋物線的對(duì)稱軸方程為2“2=0 .設(shè)對(duì)稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)是M,可以求得叫即設(shè)焦點(diǎn)為F,則切的中點(diǎn)是A,故得焦點(diǎn)坐標(biāo)為再設(shè)P3 y)是拋物線上的丿+m丿_|x-2y-2|,化簡(jiǎn)整理得任一點(diǎn),根據(jù)拋物線的定義得卜7*12嚴(yán)0,即為所求拋物線的方程.5.已知A B為拋物線，"y上兩點(diǎn)，且OA丄O