2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第三章 3.1導(dǎo)數(shù)的概念-教師版

1、 第1課時(shí)進(jìn)門測判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率(×)(2)f(x0)與f(x0)表示的意義相同(×)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)()(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線(×)(5)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x(×)作業(yè)檢查無第2課時(shí)階段訓(xùn)練題型一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)ysin(2x)；(5)yln(2x5)解(1)y(x2)·sin xx2·

2、;(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x)(ln x)().(3)y().(4)設(shè)u2x，則ysin u，則y(sin u)·ucos(2x)·2y2cos(2x)(5)令u2x5，則yln u，則y(ln u)·u·2，即y.思維升華(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元(1)f(x)x(2 016ln x)，若

3、f(x0)2 017，則x0等于()ae2 b1cln 2 de(2)若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()a1 b2c2 d0答案(1)b(2)b解析(1)f(x)2 016ln xx×2 017ln x，故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017，則ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)且f(1)2，f(1)2.題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程例2(1)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，3)處的切線方程是_(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(diǎn)(

4、0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()axy10 bxy10cxy10 dxy10答案(1)2xy10(2)b解析(1)設(shè)x0，則x0，f(x)ln x3x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切線方程為y2x1，即2xy10.(2)點(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點(diǎn)為(1,0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為yx1，即xy10.故選b.命題點(diǎn)2求參數(shù)的值例3函數(shù)yex的切線方程為ymx，則m_.(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m<0)，直線l與

5、函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m等于()a1 b3 c4 d2答案(1)e(2)d解析(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為p(x0，y0)，由yex，得y|xx0，從而切線方程為y (xx0)，又切線過定點(diǎn)(0,0)，從而 (x0)，解得x01，則me.(2)f(x)，直線l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0，于是解得m2.故選d.命題點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系例4如圖，點(diǎn)a(2,1)，b(3,0)，e(x,0)(x0)，過點(diǎn)e作ob

6、的垂線l.記aob在直線l左側(cè)部分的面積為s，則函數(shù)sf(x)的圖象為下圖中的()答案d解析函數(shù)的定義域?yàn)?，)，當(dāng)x0,2時(shí)，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s大于0且越來越大，即斜率f(x)在0,2內(nèi)大于0且越來越大，因此，函數(shù)sf(x)的圖象是上升的且圖象是下凸的；當(dāng)x(2,3)時(shí)，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s大于0且越來越小，即斜率f(x)在(2,3)內(nèi)大于0且越來越小，因此，函數(shù)sf(x)的圖象是上升的且圖象是上凸的；當(dāng)x3，)時(shí)，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s為0，即斜率f(x)在3，)內(nèi)為常數(shù)0，此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線思維升華導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)

7、主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)a(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切點(diǎn)a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求過點(diǎn)p(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可(4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢(1)已知曲線y3ln x的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()a3 b2 c1 d.(2)設(shè)曲線y在點(diǎn)(，1)處的切線與直線xay10平行，則實(shí)數(shù)a等于()a1 b. c2 d2答案(1)a(2)a解析(1)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0

8、，曲線y3ln x的一條切線的斜率為，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合題意)，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.(2)y，1.由條件知1，a1.第3課時(shí)階段重難點(diǎn)梳理1導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)一般地，函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率是 ，我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)記作f(x)或y.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點(diǎn)p(x0，f(x0)處的切線的斜率

9、k，即kf(x0)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a>0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a>0，a1)f(x)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f(x)，g(x)存在，則有(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(

10、u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyu·ux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積【知識拓展】(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)(2)(f(x)0)(3)af(x)bg(x)af(x)bg(x)(4)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”重點(diǎn)題型訓(xùn)練典例若存在過點(diǎn)o(0,0)的直線l與曲線yx33x22x和yx2a都相切，求a的值錯(cuò)解展示現(xiàn)場糾錯(cuò)解易知點(diǎn)o(0,0)在曲線yx33x22x上(1)當(dāng)o

11、(0,0)是切點(diǎn)時(shí)，由y3x26x2，得y|x02，即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y2x.由得x22xa0，依題意44a0，得a1.(2)當(dāng)o(0,0)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l與曲線yx33x22x相切于點(diǎn)p(x0，y0)，則y0x3x2x0，k3x6x02，又kx3x02，聯(lián)立，得x0(x00舍去)，所以k，故直線l的方程為yx.由得x2xa0，依題意，4a0，得a.綜上，a1或a.糾錯(cuò)心得求曲線過一點(diǎn)的切線方程，要考慮已知點(diǎn)是切點(diǎn)和已知點(diǎn)不是切點(diǎn)兩種情況.1若f(x)x·ex，則f(1)等于()a0 be c2e de2答案c解析f(x)exx·ex，f(1)2e.2

12、如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是()答案d解析由yf(x)的圖象知yf(x)在(0，)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0，)上也單調(diào)遞減，故可排除a，c.又由圖象知yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線的斜率相同，故可排除b.故選d.3設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x)f()sin xcos x，則f()_.答案解析因?yàn)閒(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xco

13、s x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.4曲線y5ex3在點(diǎn)(0，2)處的切線方程是_答案5xy20解析因?yàn)閥|x05e05，所以曲線在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為y(2)5(x0)，即5xy20.作業(yè)布置1若f(x)2xf(1)x2，則f(0)等于()a2 b0 c2 d4答案d解析f(x)2f(1)2x，令x1，則f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.2若曲線f(x)x4x在點(diǎn)p處的切線平行于直線3xy0，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a(1,2) b(1，3)c(1,0) d(1,5)答案c解析設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)閒(x)4x31，所以f(x

14、0)4x13，即x01.把x01代入函數(shù)f(x)x4x，得y00，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(1,0)3若直線yx是曲線yx33x2px的切線，則實(shí)數(shù)p的值為()a1 b2 c. d1或答案d解析y3x26xp，設(shè)切點(diǎn)為p(x0，y0)，解得或4已知曲線yln x的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為()ae be c. d答案c解析yln x的定義域?yàn)?0，)，且y，設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x0)，則y|xx0，切線方程為yln x0(xx0)，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切線的斜率為.5.已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(

15、x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)等于()a1 b0 c2 d4答案b解析由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，g(3)13×()0.6已知函數(shù)f(x)1，g(x)aln x，若在x處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為()a. b. c1 d4答案a解析由題意可知f(x)，g(x)，由f()g()，得×，可得a，經(jīng)檢驗(yàn)，a滿足題意7已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(1)ex1f(0)xx2.那么f(x)的解析式為_答案f(x)e

16、xxx2解析由已知得f(x)f(1)ex1f(0)x，所以f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)f(1)e1，所以f(1)e.從而f(x)exxx2.8曲線ylog2x在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于_答案解析y，k，切線方程為y(x1)三角形面積s×1×.9若函數(shù)f(x)x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2，)解析f(x)x2axln x，定義域?yàn)?0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點(diǎn)，即xa0有解，ax2. *10.已知曲線f(x)xn1(nn*)與直線x1交于點(diǎn)p，設(shè)曲線y

17、f(x)在點(diǎn)p處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值為_答案1解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，點(diǎn)p(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1·x2··x2 015×××××，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.11已知曲線yx3.(1)求曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)p(2,4)的切線方程解(1)p(2,4)

18、在曲線yx3上，yx2，在點(diǎn)p(2,4)處的切線的斜率為y|x24.曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點(diǎn)p(2,4)的切線相切于點(diǎn)a(x0，x)，則切線的斜率為x0x.切線方程為y(x)x(xx0)，即yx·xx.點(diǎn)p(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為xy20或4xy40.12已知函數(shù)f(x)x32x23x(xr)的圖象為曲線c.(1)求過曲線c上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線c上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線c的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由題意得f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即過曲線c上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是1，)(2)設(shè)曲線c的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，) *13.設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲