2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第八節(jié) 第2課時 解題上——5大技法破解“計(jì)算繁而雜”這一難題 教案

1、1第第 2 課時課時解題上解題上5 大技法破解大技法破解“計(jì)算繁而雜計(jì)算繁而雜”這一難題這一難題中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點(diǎn)來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點(diǎn)來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運(yùn)算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運(yùn)算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達(dá)到的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達(dá)到“望題興嘆望題興嘆”的地步特別是高考過程中，在規(guī)定的地步特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計(jì)算能力是

2、一個重要的方面因此，本講從以下的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計(jì)算能力是一個重要的方面因此，本講從以下 5個方面探索減輕運(yùn)算量的方法和技巧個方面探索減輕運(yùn)算量的方法和技巧，合理簡化解題過程合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程優(yōu)化思維過程，達(dá)到快準(zhǔn)解題達(dá)到快準(zhǔn)解題技法一技法一回歸定義，以逸待勞回歸定義，以逸待勞回歸定義的實(shí)質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略回歸定義的實(shí)質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點(diǎn)，又是新知識、新思維的生和思想方法圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點(diǎn)，又是新知

3、識、新思維的生長點(diǎn)對于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往長點(diǎn)對于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達(dá)到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果能達(dá)到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果典例典例如圖如圖，f1，f2是橢圓是橢圓 c1：x24y21 與雙曲線與雙曲線 c2的公共焦點(diǎn)的公共焦點(diǎn)，a，b 分別是分別是 c1，c2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形 af1bf2為為矩形，則矩形，則 c2的離心率是的離心率是()a. 2b. 3c.32d62解題觀摩解題觀摩由已知由已知，得得 f1( 3，0)，f2(

4、3，0)，設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 c2的實(shí)半軸長為的實(shí)半軸長為 a，由橢圓及由橢圓及雙曲線的定義和已知，雙曲線的定義和已知，可得可得|af1|af2|4，|af2|af1|2a，|af1|2|af2|212，解得解得 a22，故，故 a 2.所以雙曲線所以雙曲線 c2的離心率的離心率 e3262.答案答案d名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)本題巧妙運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義建立本題巧妙運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義建立|af1|，|af2|的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實(shí)半的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實(shí)半軸長軸長 a 的值，進(jìn)而求出雙曲線的離心率，大大降低了運(yùn)算量的值，進(jìn)而求出雙曲線的離心率，大大降低了運(yùn)算量針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1

5、(2019全國卷全國卷)已知橢圓已知橢圓 c 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f1(1,0)，f2(1,0)，過，過 f2的直線與的直線與 c 交于交于 a，b兩點(diǎn)若兩點(diǎn)若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，則，則 c 的方程為的方程為()2a.x22y21bx23y221c.x24y231dx25y241解析：解析：選選 b法一法一：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0)由橢圓的定義可得由橢圓的定義可得|af1|ab|bf1|4a.|ab|bf1|，|af2|2|f2b|，|ab|bf1|32|af2|，|af1|3|af2|4a.又又|af1|af2|2a，|af1|a

6、f2|a，點(diǎn)點(diǎn) a 是橢圓的短軸端點(diǎn)如圖，不妨設(shè)是橢圓的短軸端點(diǎn)如圖，不妨設(shè) a(0，b)，由由 f2(1,0)，af22f2b，得，得 b32，b2 .由點(diǎn)由點(diǎn) b 在橢圓上，得在橢圓上，得94a2b24b21，得，得 a23，b2a2c22.橢圓橢圓 c 的方程為的方程為x23y221.法二法二：由題意設(shè)橢圓：由題意設(shè)橢圓 c 的方程為的方程為x2a2y2b21(ab0)，連接，連接 f1a，令，令|f2b|m，則，則|af2|2m，|bf1|3m.由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，4m2a，得，得 ma2，故，故|f2a|a|f1a|，則點(diǎn)，則點(diǎn) a 為橢圓為橢圓 c 的上的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)

7、頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)令令oaf2(o 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))，則則 sin 1a.在等腰三角形在等腰三角形 abf1中中，cos2a23a213，13121a2，解得解得 a23.又又 c21，b2a2c22，橢圓橢圓 c 的方程為的方程為x23y221.故選故選 b.2拋物線拋物線 y24mx(m0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f，點(diǎn)點(diǎn) p 為該拋物線上的動點(diǎn)為該拋物線上的動點(diǎn)，若點(diǎn)若點(diǎn) a(m,0)，則則|pf|pa|的的最小值為最小值為_解析解析：設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(xp，yp)，由拋物線的定義，由拋物線的定義，知知|pf|xpm，又又|pa|2(xpm)2y2p(xpm)24mxp，3則則

8、|pf|pa|2 xpm 2 xpm 24mxp114mxp xpm 2114mxp 2 xpm 212(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) xpm 時取等號時取等號)，所以所以|pf|pa|22，所以，所以|pf|pa|的最小值為的最小值為22.答案答案：22技法二技法二設(shè)而不求，金蟬脫殼設(shè)而不求，金蟬脫殼設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減義上的變式和整體思想的應(yīng)用設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減

9、少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設(shè)而不求少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設(shè)而不求典例典例(2021石家莊質(zhì)檢石家莊質(zhì)檢)已知已知 p 是圓是圓 c：(x2)2(y2)21 上一動點(diǎn)上一動點(diǎn)，過點(diǎn)過點(diǎn) p 作拋物作拋物線線x28y 的兩條切線，切點(diǎn)分別為的兩條切線，切點(diǎn)分別為 a，b，則直線，則直線 ab 斜率的最大值為斜率的最大值為()a.14b34c.38d12解題觀摩解題觀摩由題意可知由題意可知，pa，pb 的斜率都存在的斜率都存在，分別設(shè)為分別設(shè)為 k1，k2，切點(diǎn)切點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，設(shè)設(shè) p(m，n)

10、，過點(diǎn)，過點(diǎn) p 的拋物線的切線為的拋物線的切線為 yk(xm)n，聯(lián)立聯(lián)立yk xm nx28y，得，得 x28kx8km8n0，因?yàn)橐驗(yàn)?4k232km32n0，即，即 2k2kmn0，所以所以 k1k2m2，k1k2n2，又由又由 x28y 得得 yx4，所以，所以 x14k1，y1x2182k21，x24k2，y2x2182k22，所以所以 kaby2y1x2x12k222k214k24k1k2k12m4，因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) p(m，n)滿足滿足(x2)2(y2)21，所以所以 1m3，因此因此14m434，4即直線即直線 ab 斜率的最大值為斜率的最大值為34.故選故選 b.答案答案b名師

11、微點(diǎn)名師微點(diǎn)(1)本題設(shè)出本題設(shè)出 a，b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，卻不求出卻不求出 a，b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，巧妙地利用根與系數(shù)的關(guān)系巧妙地利用根與系數(shù)的關(guān)系用用pa，pb 的斜率把的斜率把 a，b 的坐標(biāo)表示出來，從而快速解決問題的坐標(biāo)表示出來，從而快速解決問題(2)在運(yùn)用圓錐曲線問題中設(shè)而不求的方法技巧時，需要做到：在運(yùn)用圓錐曲線問題中設(shè)而不求的方法技巧時，需要做到：凡是不必直接計(jì)算就能更凡是不必直接計(jì)算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實(shí)施簡潔地解決問題的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求設(shè)而不求”；“設(shè)而不求設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多參，而設(shè)

12、參的原則是宜少不宜多針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練3過點(diǎn)過點(diǎn) m(1,1)作斜率為作斜率為12的直線與橢圓的直線與橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)相交于相交于 a，b 兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若 m是線段是線段 ab 的中點(diǎn)，則橢圓的中點(diǎn)，則橢圓 c 的離心率等于的離心率等于_解析：解析：設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則x21a2y21b21，x22a2y22b21， x1x2 x1x2 a2 y1y2 y1y2 b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22.即

13、橢圓即橢圓 c 的離心率的離心率 e22.答案答案：22技法三技法三巧設(shè)參數(shù)，變換主元巧設(shè)參數(shù)，變換主元換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達(dá)到事半功元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達(dá)到事半功倍倍常見的參數(shù)可以選擇點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的傾斜角等在換元過程中，還要注意常見的參數(shù)可以選擇點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的傾斜角等在換元過程中，還要注意代換的等價(jià)性，防止擴(kuò)大或縮小

14、原來變量的取值范圍或改變原題條件代換的等價(jià)性，防止擴(kuò)大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件5典例典例設(shè)橢圓設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)分別為 a，b，點(diǎn)，點(diǎn) p 在橢圓上且異于在橢圓上且異于 a，b兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)若為坐標(biāo)原點(diǎn)若|ap|oa|，證明直線，證明直線 op 的斜率的斜率 k 滿足滿足|k| 3.解題觀摩解題觀摩法一：依題意，直線法一：依題意，直線 op 的方程為的方程為 ykx，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0，y0)聯(lián)立聯(lián)立y0kx0，x20a2y20b21，消去消去 y0并整理，得并整理，得 x20a2b2k2a2b2.由由

15、|ap|oa|，a(a,0)及及 y0kx0，得得(x0a)2k2x20a2，整理得整理得(1k2)x202ax00.而而 x00，于于是是 x02a1k2，代入代入，整理得，整理得(1k2)24k2ab24.又又 ab0，故故(1k2)24k24，即即 k214，因此因此 k23，所以，所以|k| 3.法二：依題意，直線法二：依題意，直線 op 的方程為的方程為 ykx，可設(shè)點(diǎn)可設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0，kx0)由點(diǎn)由點(diǎn) p 在橢圓上在橢圓上，得得x20a2k2x20b21.因?yàn)橐驗(yàn)?ab0，kx00，所以所以x20a2k2x20a21，即即(1k2)x20a2.由由|ap|oa|及

16、及 a(a,0)，得得(x0a)2k2x20a2，整理得整理得(1k2)x202ax00，于是于是 x02a1k2，代入代入，得得(1k2)4a2 1k2 2a2，解得解得 k23，所以所以|k| 3.法三：設(shè)法三：設(shè) p(acos ，bsin )(02)，則線段則線段 op 的中點(diǎn)的中點(diǎn) q 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為a2cos ，b2sin .|ap|oa|aqopkaqk1.又又 a(a,0)，所以所以 kaqbsin 2aacos ，即即 bsin akaqcos 2akaq.從而可得從而可得|2akaq|b2a2k2aqa 1k2aq，解得解得|kaq|33，故，故|k|1|kaq| 3.6名

17、師微點(diǎn)名師微點(diǎn)求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點(diǎn)之間的聯(lián)系，降低運(yùn)算量求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點(diǎn)之間的聯(lián)系，降低運(yùn)算量針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練4設(shè)直線設(shè)直線 l 與拋物線與拋物線 y24x 相交于相交于 a，b 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，與圓與圓 c：(x5)2y2r2(r0)相切于點(diǎn)相切于點(diǎn) m，且且 m 為線段為線段 ab 的中點(diǎn)，若這樣的直線的中點(diǎn)，若這樣的直線 l 恰有恰有 4 條，求條，求 r 的取值范圍的取值范圍解：解：當(dāng)當(dāng) t0 時，若時，若 l 與圓與圓 c 相切，則相切，則 m 恰為恰為 ab 中點(diǎn)，中點(diǎn)，當(dāng)當(dāng) t0 時，這樣的直線應(yīng)有時，這樣的直線應(yīng)有 2 條條不妨設(shè)直線不

18、妨設(shè)直線 l 的方程為的方程為 xtym，a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入拋物線代入拋物線 y24x 并整理得并整理得 y24ty4m0，則有則有16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么那么 x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，可得線段可得線段 ab 的中點(diǎn)的中點(diǎn) m(2t2m,2t)，而由題意可得直線而由題意可得直線 ab 與直線與直線 mc 垂直，垂直，即即 kmckab1，可得，可得2t02t2m51t1，整理得整理得 m32t2(當(dāng)當(dāng) t0 時時)，把把 m32t2代入代入16t216m0，可得可得 3t20，即，即 0t23，又由于圓心到直線的距離等于半徑，

19、又由于圓心到直線的距離等于半徑，即即 d|5m|1t222t21t22 1t2r，而由而由 0t23 可得可得 2r4.故故 r 的取值范圍為的取值范圍為(2,4)技法四技法四妙借向量，無中生有妙借向量，無中生有平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)數(shù)”與與“形形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)知識的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)知識的媒介妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運(yùn)算效率，達(dá)到良好效果的媒介妙借向量

20、，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運(yùn)算效率，達(dá)到良好效果典例典例如圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中中，f 是橢圓是橢圓x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)，直線的右焦點(diǎn)，直線 yb2與橢圓交于與橢圓交于 b，c 兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且bfc90，則該橢圓的離心率是則該橢圓的離心率是_解題觀摩解題觀摩把把 yb2代入橢圓代入橢圓x2a2y2b21，7可得可得 x32a，那么，那么 b32a，b2 ，c32a，b2 ，而而 f(c,0)，那么那么 fb32ac，b2 ， fc32ac，b2 ，又又bfc90，故有故有 fb fc32ac，b2 32ac，b2 c234a214b2c2

21、34a214(a2c2)34c212a20，則有則有 3c22a2，所以該橢圓的離心率為，所以該橢圓的離心率為 eca63.答案答案63名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)本題通過相關(guān)向量坐標(biāo)的確定，結(jié)合本題通過相關(guān)向量坐標(biāo)的確定，結(jié)合bfc90，巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化圓，巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡化運(yùn)算錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡化運(yùn)算針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練5.已知已知點(diǎn)點(diǎn)a為為圓圓b： (x2)2y232上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)， 定定點(diǎn)點(diǎn)c的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,0)，線段線段 ac 的垂直平分線交的垂直平分線交 ab 于點(diǎn)于點(diǎn)

22、m.(1)求點(diǎn)求點(diǎn) m 的軌跡方程；的軌跡方程；(2)若動直線若動直線 l 與圓與圓 o：x2y283相切相切，且與點(diǎn)且與點(diǎn) m 的軌跡交于點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn) e，f，求證：以求證：以 ef 為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)解解：(1)圓圓 b 的圓心為的圓心為 b(2，0)，半徑半徑 r4 2，|bc|4.連接連接 mc，由已知得由已知得|mc|ma|，|mb|mc|mb|ma|ba|r4 2|bc|，由橢圓的定義知：點(diǎn)由橢圓的定義知：點(diǎn) m 的軌跡是中心在原點(diǎn)，以的軌跡是中心在原點(diǎn)，以 b，c 為焦點(diǎn)，長軸長為為焦點(diǎn)，長軸長為 42的橢圓，的橢圓，即即 a2 2，c2，b2a2c2

23、4，點(diǎn)點(diǎn) m 的軌跡方程為的軌跡方程為x28y241.(2)證明：當(dāng)直線證明：當(dāng)直線 ef 的斜率不存在時，的斜率不存在時，直線直線 ef 的方程為的方程為 x83，e，f 的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為83，83 ，83，83 或或83，83 ，83，83 ， oe of0.8當(dāng)直線當(dāng)直線 ef 斜率存在時，斜率存在時，設(shè)直線設(shè)直線 ef 的方程為的方程為 ykxb，ef 與圓與圓 o：x2y283相切，相切，|b|1k283，即，即 3b28k28.設(shè)設(shè) e(x1，y1)，f(x2，y2)， oe ofx1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2，(*)聯(lián)立聯(lián)立x28y241，ykxb

24、，代入消元得代入消元得(12k2)x24kbx2b280，x1x24kb12k2，x1x22b2812k2，代入，代入(*)式得式得oe of(1k2)2b2812k24k2b212k2b23b28k2812k2，又又3b28k28， oe of0，以以 ef 為直徑的圓恒過定點(diǎn)為直徑的圓恒過定點(diǎn) o.技法五技法五巧用巧用“韋達(dá)韋達(dá)”，化繁為簡，化繁為簡某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)求坐標(biāo)，用距離公式計(jì)算長度的方法來解用距離公式計(jì)算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點(diǎn)的同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出但也可以利用

25、一元二次方程，使相關(guān)的點(diǎn)的同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系后者往往計(jì)算量小，解題過程簡捷兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系后者往往計(jì)算量小，解題過程簡捷典例典例已知橢圓已知橢圓x24y21 的左頂點(diǎn)為的左頂點(diǎn)為 a， 過過 a 作兩條互相垂直的弦作兩條互相垂直的弦 am， an 交橢圓于交橢圓于 m，n 兩點(diǎn)兩點(diǎn)(1)當(dāng)直線當(dāng)直線 am 的斜率為的斜率為 1 時，求點(diǎn)時，求點(diǎn) m 的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線當(dāng)直線 am 的斜率變化時，直線的斜率變化時，直線 mn 是否過是否過 x 軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請給出證明，軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請給出證明

26、，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由解題觀摩解題觀摩(1)直線直線 am 的斜率為的斜率為 1 時時，直線直線 am 的方程為的方程為 yx2，代入橢圓方程并化簡代入橢圓方程并化簡得得 5x216x120.解得解得 x12，x265，所以，所以 m65，45 .(2)設(shè)直線設(shè)直線 am 的斜率為的斜率為 k，直線，直線 am 的方程為的方程為 yk(x2)，聯(lián)立方程聯(lián)立方程yk x2 ，x24y21，9化簡得化簡得(14k2)x216k2x16k240.則則 xaxm16k214k2，xmxa16k214k2216k214k228k214k2.同理，可得同

27、理，可得 xn2k28k24.由由(1)知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為 p65，0.證明如下：證明如下：因?yàn)橐驗(yàn)?kmpymxm65k28k214k2228k214k2655k44k2，同理可計(jì)算得同理可計(jì)算得 kpn5k44k2.所以直線所以直線 mn 過過 x 軸上的一定點(diǎn)軸上的一定點(diǎn) p65，0.名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)本例在第本例在第(2)問中應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系求出問中應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系求出 xm28k214k2，這體現(xiàn)了整體思想這是解決解，這體現(xiàn)了整體思想這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設(shè)而不求，大大降低了運(yùn)算量析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設(shè)而

28、不求，大大降低了運(yùn)算量針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練6已知橢圓已知橢圓 e：x2ty231 的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在 x 軸上，軸上，a 是是 e 的左頂點(diǎn)，斜率為的左頂點(diǎn)，斜率為 k(k0)的直線交的直線交 e于于 a，m 兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn) n 在在 e 上，上，mana.(1)當(dāng)當(dāng) t4，|am|an|時，求時，求amn 的面積；的面積；(2)當(dāng)當(dāng) 2|am|an|時，求時，求 k 的取值范圍的取值范圍解：解：設(shè)設(shè) m(x1，y1)，則由題意知，則由題意知 y10.(1)當(dāng)當(dāng) t4 時，時，e 的方程為的方程為x24y231，a(2,0)由已知及橢圓的對稱性知，直線由已知及橢圓的對稱性知，直線 am 的傾斜角為

29、的傾斜角為4.因此直線因此直線 am 的方程為的方程為 yx2.將將 xy2 代入代入x24y231 得得 7y212y0.解得解得 y0 或或 y127，所以，所以 y1127.10因此因此amn 的面積的面積 samn21212712714449.(2)由題意由題意 t3，k0，a( t，0)將直線將直線 am 的方程的方程 yk(x t)代入代入x2ty231，得得(3tk2)x22 ttk2xt2k23t0.由由 x1( t)t2k23t3tk2，得，得 x1t 3tk2 3tk2，故故|am|x1 t| 1k26 t 1k2 3tk2.由題設(shè)，直線由題設(shè)，直線 an 的方程為的方程為

30、 y1k(x t)，故同理可得故同理可得|an|6k t 1k2 3k2t.由由 2|am|an|，得，得23tk2k3k2t，即即(k32)t3k(2k1)當(dāng)當(dāng) k32時上式不成立，因此時上式不成立，因此 t3k 2k1 k32.t3 等價(jià)于等價(jià)于k32k2k2k32 k2 k21 k320，即即k2k320，k320或或k20，解得解得32k0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn) f，且斜率為，且斜率為 3的直線交的直線交 c 于點(diǎn)于點(diǎn) m(m 在在 x 軸上方軸上方)，l為為 c 的準(zhǔn)線，點(diǎn)的準(zhǔn)線，點(diǎn) n 在在 l 上且上且 mnl，若，若|nf|4，則，則 m 到直線到直線 nf 的距離為的距離為()a.

31、5b2 3c3 3d2 2解析：解析：選選 b直線直線 mf 的斜率為的斜率為 3，mnl，nmf60，又，又|mf|mn|，且，且|nf|4，nmf 是邊長為是邊長為 4 的等邊三角形，的等邊三角形，m 到直線到直線 nf 的距離為的距離為 2 3.故選故選 b.2已知雙曲線已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為 f，點(diǎn)點(diǎn) b 是虛軸的一個端點(diǎn)是虛軸的一個端點(diǎn)，線段線段 bf11與雙曲線與雙曲線 c 的右支交于點(diǎn)的右支交于點(diǎn) a，若，若 ba2 af，且，且| bf|4，則雙曲線，則雙曲線 c 的方程為的方程為()a.x26y251bx28y2121c.x28y

32、241dx24y261解析：解析：選選 d不妨設(shè)不妨設(shè) b(0，b)，由，由 ba2 af，f(c,0)，可得可得 a2c3，b3 ，代入雙曲線，代入雙曲線 c 的方程可得的方程可得49c2a2191，b2a232.又又| bf| b2c24，c2a2b2，a22b216.由由可得，可得，a24，b26，雙曲線雙曲線 c 的方程為的方程為x24y261.3 已知直線已知直線 y2xm 與橢圓與橢圓 c：x25y21 相交于相交于 a， b 兩點(diǎn)兩點(diǎn)， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 當(dāng)當(dāng)aob 的面積取得最大值時，的面積取得最大值時，|ab|()a.5 4221b21021c.2 427d3 427

33、解析解析：選選 a由由y2xm，x25y21，得得 21x220mx5m250.設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則則 x1x220m21，x1x25m2521，|ab| 122 x1x2 24x1x25 20 21m2 2110 21m221.又又 o 到直線到直線 ab 的距離的距離 d|m|5，則則aob 的面積的面積 s12d|ab|5 m2 21m2 215m221m222152，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) m221m2，即即 m2212時時，aob 的面積取得最大值的面積取得最大值此時此時，|ab|10 21m2215 4221.124記雙曲線記雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，

34、b0)的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為 f，雙曲線雙曲線 c 上的點(diǎn)上的點(diǎn) m，n 關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱，且且mfn34mof90，則則b2a2()a32 3b42 3c3 3d4 3解析：解析：選選 a設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是 f，由雙曲線的對稱性和，由雙曲線的對稱性和mfn90，得四邊，得四邊形形mfnf是矩形，是矩形，mof120，mof60，故，故mof是等邊三角形是等邊三角形在在 rtmff中，中，mff30，|ff|2c，|mf|c，|mf| 3c，|mf|mf|2a， 3cc2a，ca231 31，b2a2c2a2a2c2a21( 31)2132 3，故選，故選 a.5橢圓橢

35、圓x24y21 上存在兩點(diǎn)上存在兩點(diǎn) a，b，且且 a，b 關(guān)于直線關(guān)于直線 4x2y30 對稱對稱，若若 o 為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，則則|oa ob|()a1b 3c. 5d 7解析：解析：選選 c由題意直線由題意直線 ab 與直線與直線 4x2y30 垂直，設(shè)直線垂直，設(shè)直線 ab 的方程為的方程為 y12xm.由由y12xm，x24y21消去消去 y 整理得整理得 x22mx2m220，直線直線 ab 與橢圓交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，(2m)24(2m22)4m280，解得解得 2m0)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) m(1,2)，直線直線 l 與拋物線交于相異兩點(diǎn)與拋物線交于相異兩點(diǎn) a，b，若若mab

36、 的內(nèi)切圓圓心為的內(nèi)切圓圓心為(1，t)，則直線，則直線 l 的斜率為的斜率為_解析解析：將點(diǎn)：將點(diǎn) m(1,2)代入代入 y22px，可得，可得 p2，所以拋物線方程為所以拋物線方程為 y24x，由題意知，直線由題意知，直線 l 斜率存在且不為斜率存在且不為 0，設(shè)直線設(shè)直線 l 的方程為的方程為 xmyn(m0)，代入代入 y24x，得，得 y24my4n0，設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 y1y24m，y1y24n，又由又由mab 的內(nèi)切圓心為的內(nèi)切圓心為(1，t)，可得可得 kmakmby12x11y22x21y12y2141y22y22410，整理得整理得 y1y2

37、44m40，解得，解得 m1，從而從而 l 的方程為的方程為 yxn，所以直線，所以直線 l 的斜率為的斜率為1.答案答案：17已知直線已知直線 x2y30 與橢圓與橢圓x2a2y2b21(ab0)相交于相交于 a，b 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，且線段且線段 ab 的中點(diǎn)在的中點(diǎn)在直線直線 3x4y10，則此橢圓的離心率為，則此橢圓的離心率為_解析：解析：聯(lián)立聯(lián)立x2y30，3x4y10，得得 x1，y1，直線直線 x2y30 與與 3x4y10 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為 m(1,1)，線段線段 ab 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為 m(1,1)設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則則 x1x22，y1y22，分別把分別把

38、a(x1，y1)，b(x2，y2)代入橢圓方代入橢圓方程程x2a2y2b21(ab0)，得，得x21a2y21b21，x22a2y22b21，兩式相減整理，得兩式相減整理，得y1y2x1x2b2a212，a22b2，又，又 a2b2c2，a 2b 2c，eca22.答案答案：22148.(2021鎮(zhèn)江模擬鎮(zhèn)江模擬)如圖如圖，拋物線拋物線 e：y24x 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f，點(diǎn)點(diǎn) m 與與 f 關(guān)于關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn) o 對稱對稱， 過過 f 的直線與拋物線交于的直線與拋物線交于 a， b 兩點(diǎn)兩點(diǎn)， 使得使得 abbm，又又 a 點(diǎn)在點(diǎn)在 x 軸上的投影為軸上的投影為 c， 則則|af|ac|bf|bc|_.解析解析：設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab 過焦點(diǎn)得過焦點(diǎn)得 x1x21，又又 abbm，得得b 在以在以 mf 為直徑的圓上，為直徑的圓上，故故 x22y221，而，而 y224x2，得，得 1x22y224x2，又又|af|bf|1x1(1x2)x1x21x2x21x22x24x2x24，又，又abmacm，所以所以 ambc