人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：統(tǒng)計(jì)

1、統(tǒng)計(jì)知識(shí)講解一、簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣定義：設(shè)一個(gè)總體有個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取個(gè)個(gè)體作為樣本（），如果，每次抽取時(shí)，總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，稱這種抽樣方法為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣特點(diǎn)： 被抽樣的個(gè)體是有限個(gè) 它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取 不放回地抽取 它每次抽取時(shí)，總體中各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到2.系統(tǒng)抽樣定義：當(dāng)總體元素個(gè)數(shù)很多時(shí)，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)定，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體得到所需的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣3.分層抽樣定義：當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時(shí)，按某種特征將總體中的個(gè)體分成互補(bǔ)交叉的層，然后按照一定的比例

2、從各層獨(dú)立的層中抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各抽取出來的個(gè)體和在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫做分層抽樣4.三種抽樣方式的區(qū)別類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相同從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分和剔除部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成二、用樣本估計(jì)總體1.眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（若有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)出

3、現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)）在樣本的頻率直方圖中，就是最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.中位數(shù)：如果將一組數(shù)據(jù)重小到大的順序依次排列，當(dāng)數(shù)據(jù)有個(gè)奇數(shù)時(shí)，處在最中間的一個(gè)數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)這組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，處在最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)頻率直方圖中，中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等3.平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商就是平均數(shù)，平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖每個(gè)小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和4.樣本方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方有時(shí)代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的離散程度方差公式是： 5.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：反應(yīng)樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用表示標(biāo)準(zhǔn)差的

4、公式是：，標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍三、變量間的相關(guān)關(guān)系1.函數(shù)關(guān)系定義：函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式，對(duì)于兩個(gè)變量，如果當(dāng)一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值被唯一確定，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系2.相關(guān)關(guān)系定義：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系3.正相關(guān)定義：從散點(diǎn)圖可以看出各點(diǎn)散步的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，即一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱正相關(guān)4.負(fù)相關(guān)定義：如果兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中散步的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，即一個(gè)變量的值由

5、大變小時(shí)，另一個(gè)變量值由小變大，這種相關(guān)稱負(fù)相關(guān)5.散點(diǎn)圖定義：在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形稱為散點(diǎn)圖6.回歸直線方程定義：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布，從總體地上看大約在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線7.最小二乘法，其中，由此得到的直線就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值典型例題一選擇題（共1小題）1某班有50名學(xué)生，男女人數(shù)不等隨機(jī)詢問了該班5名男生和5名女生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，用莖葉圖記錄如下：則下列說法一定正確的是（）a這種抽樣方法是一種分層抽樣b這5名

6、男生成績(jī)的中位數(shù)大于5名女生成績(jī)的中位數(shù)c該班男生成績(jī)的平均數(shù)小于該班女生成績(jī)的平均數(shù)d這5名男生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差大于5名女生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差【解答】解：根據(jù)抽樣方法的特點(diǎn)，抽樣比例不等，不是分層抽樣，a錯(cuò)誤；這5名男生的中位數(shù)是90，小于女生成績(jī)的中位數(shù)是93，b錯(cuò)誤；無(wú)法判斷該班男生成績(jī)的平均數(shù)與該班女生成績(jī)的平均數(shù)大小，c錯(cuò)誤；根據(jù)公式，求得五名男生成績(jī)的方差為s12=15×（8690）2+（8890）2+（9090）2+（9290）2+（9490）2=8，標(biāo)準(zhǔn)差為s1=22；五名女生成績(jī)的方差為s22=15×（8891）2×2+（9391）2×3=6，標(biāo)

7、準(zhǔn)差為s2=6；這五名男生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差大于這五名女生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，d正確故選：d二填空題（共3小題）2甲同學(xué)在“附中好聲音“歌唱選拔賽中，5位評(píng)委評(píng)分情況分別為76，77，88，90，94，則甲同學(xué)得分的方差為52【解答】解：根據(jù)題意，5位評(píng)委評(píng)分情況分別為76，77，88，90，94，其平均數(shù)x=76+77+88+90+945=85；則其方差s2=15（7685）2+（7785）2+（8885）2+（9085）2+（9485）2=52；故答案為：523某班運(yùn)動(dòng)隊(duì)由足球隊(duì)員18人、籃球運(yùn)動(dòng)員12人、乒乓球運(yùn)動(dòng)員6人組成（每人只參加一項(xiàng)），現(xiàn)從這些運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為n的樣本，若分別采用系統(tǒng)抽

8、樣和分層抽樣法，則都不用剔除個(gè)體；當(dāng)樣本容量為n+1時(shí)，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個(gè)個(gè)體，那么樣本容量n為6【解答】解：由題意知采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個(gè)體；如果樣本容量增加一個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，總體容量為6+12+18=36當(dāng)樣本容量是n時(shí)，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為36n，分層抽樣的比例是n36，抽取的乒乓球運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為n366=n6，籃球運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為n3612=n3，足球運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為n3618=n2，n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n=6，12，18當(dāng)樣本容量為（n+1）時(shí)，總體容量是35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為35n+1，35n+1必須是整

9、數(shù)，n只能取6即樣本容量n=6故答案為：64已知某種商品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬(wàn)元）與銷售額y（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040506070根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a，其中b=7，據(jù)此估計(jì)，當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額為85萬(wàn)元；【解答】解：由題意可得：x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+50+60+705=50，線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則：50=7×5+a，a=15，線性回歸方程為：y=7x+15，據(jù)此估計(jì)，當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額為y=7×10+15=85 萬(wàn)元故答案為：85三解答題（共8小題）5為了解春季晝夜溫差大小與種

10、子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，現(xiàn)從4月的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日溫差x/°c101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616（1）從這5天中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；（2）從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a參考公式：b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=ybx【解答】解：（1）用數(shù)組（m，n）表示選出2

11、天的發(fā)芽情況，m，n的所有取值情況有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10個(gè)設(shè)“m，n均不小于25”為事件a，則包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26），所以p（a）=310，即事件a的概率為310；（2）由表中數(shù)據(jù)得，x=13×（11+13+12）=12，y=13×（25+30+26）=27，且3xy=972，i=13xiyi=977，i=13xi2=434，3x2=432；由公式得b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi

12、2-nx2=977-972434-432=52，a=ybx=2752×12=3，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=52x36哈市某單位為了提高員工的業(yè)務(wù)水平，舉辦了一次“崗位技能”大賽，從參賽的青年技師（35歲及35歲以下的技師）和中老年技師（35歲以上的技師）的成績(jī)中各抽取20個(gè)進(jìn)行研究，滿分為100分，且均保留到小數(shù)點(diǎn)后一位，如95.3具體成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示（以成績(jī)的整數(shù)部分為莖，小數(shù)部分為葉），并將這40個(gè)成績(jī)分成四組，第一組95，96）；第二組96，97）；第三組97，98）；第四組98，99）（）根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出抽取的20名青年技師的中位數(shù)，并補(bǔ)全上面的頻率分布直方圖；（）從成

13、績(jī)?cè)?5，97）之間的技師中隨機(jī)抽取2個(gè)，求其中2人成績(jī)?cè)?5，96）之間的概率；（）研究發(fā)現(xiàn)從業(yè)時(shí)間與崗位技能水平之間具有線性相關(guān)關(guān)系，從上述抽取的40名技師中抽取5名技師的成績(jī)，數(shù)據(jù)如表其中，x=15，y=97.1用最小二乘法求得的回歸方程為y=0.16x+a，請(qǐng)完成下表根據(jù)下表判斷該線性回歸模型對(duì)該組數(shù)據(jù)的擬合效果（通常相關(guān)指數(shù)r20.80）時(shí)認(rèn)為線性回歸模型對(duì)該組數(shù)據(jù)是有效的） 教齡x年5101525成績(jī)y分95.296.497.898.5殘差e0.30.10.2附：r2=1i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2【解答】解：（）從小到大排列第10個(gè)和第11個(gè)的成績(jī)分別為97.2

14、、97.4，計(jì)算它們的中位數(shù)為12×（97.2+97.4）=97.3，補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖所示；（）設(shè)所求事件為a，由已知成績(jī)?cè)?5，97）之間的技師有12人，成績(jī)?cè)?5，96）之間的技師有4人，從中任取2人，所求的概率為p=c42c122=111；（）根據(jù)x=15，y=97.1，代入回歸方程y=0.16x+a中，求得a=97.10.16×15=94.7，y=0.16x+94.7，完成下表，教齡x年510152025成績(jī)y分95.296.497.697.898.5殘差e0.30.10.50.10.2計(jì)算相關(guān)指數(shù)r2=1i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)210.

15、06=0.940.8；所以認(rèn)為線性回歸模型對(duì)該組數(shù)據(jù)是有效的7甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員，日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪80元，每銷售一件產(chǎn)品提成1元；乙公司規(guī)定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元（i）請(qǐng)將兩家公司各一名推銷員的日工資y（單位：元）分別表示為日銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；（ii）從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷員，對(duì)他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下條形圖若將該頻率視為概率，分別求甲、乙兩家公司一名推銷員的日工資超過125元的概率【解答】解：（i）由題意得，甲公司一名推銷員的日工資y（單位：元） 與銷售件數(shù)n的關(guān)系式為：y=

16、80+n，nn乙公司一名推銷員的日工資y（單位：元） 與銷售件數(shù)n的關(guān)系式為：y=&120，(n45，nn)&8n-240，(n45，nn)（）甲公司一名推銷員的日工資超過125 元，則80+n125，解得n45，甲公司一名推銷員的日工資超過125 元的概率p1=0.2+0.1+0.1=0.4乙公司一名推銷員的日工資超過125 元，則8n240125，解得n45，乙公司一名推銷員的日工資超過125 元的概率p2=0.3+0.4+0.1=0.8，甲、乙兩家公司一名推銷員的日工資超過125 元的概率分別為0.4 與0.88隨著科技發(fā)展，手機(jī)成了人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ?，現(xiàn)在

17、的中學(xué)生幾乎都擁有了屬于自己的手機(jī)了為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周使用手機(jī)的頻率，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100名高中生某一周使用手機(jī)的時(shí)間（單位：小時(shí)），所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為0，2）、2，4）、4，6）、6，8）、8，10）、10，12）、12，14，由此得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求a的值并估計(jì)該地區(qū)高中生一周使用手機(jī)時(shí)間的平均值；（2）從使用手機(jī)時(shí)間在6，8）、8，10）、10，12）、12，14的四組學(xué)生中，用分層抽樣方法抽取13人，則每層各應(yīng)抽取多少人？【解答】解：（1）由于小矩形的面積之和為1，則（a+0.075+4a+0.15+5a+0.05+0.025）×2=1，由此

18、可得a=0.02該地區(qū)高中生一周使用手機(jī)時(shí)間的平均值為（1×0.02+3×0.075+5×0.08+7×0.15+9×0.1+11×0.05+13×0.025）×2=6.94（2）使用手機(jī)時(shí)間在6，8）的學(xué)生有0.15×2×100=30人，使用手機(jī)時(shí)間在8，10）的學(xué)生有0.02×5×2×100=20人，使用手機(jī)時(shí)間在10，12）的學(xué)生有0.05×2×100=10人，使用手機(jī)時(shí)間在12，14的學(xué)生有0.025×2×100=5人

19、，故用分層抽樣法從使用手機(jī)時(shí)間在6，8），8，10），10，12），12，14的四組學(xué)生中抽樣，抽取人數(shù)分別為13×3030+20+10+5=6，13×2030+20+10+5=4，13×1030+20+10+5=2，13×530+20+10+5=19為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，某市實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將每戶居民的月用電量分為二檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過200度的部分按0.8元/度收費(fèi)某小區(qū)共有居民1000戶，為了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年7月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖（）求a的

20、值；（）試估計(jì)該小區(qū)今年7月份用電費(fèi)用不超過260元的戶數(shù)；（）估計(jì)7月份該市居民用戶的平均用電費(fèi)用（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【解答】解：（）由頻率分布直方圖得：（0.003+0.004+a+0.001）×100=1，解得a=0.002（3分）（）當(dāng)用電量為400度時(shí)，用電費(fèi)用為200×0.5+200×0.8=260元，所以此100戶居民中用電費(fèi)用超過260元的戶數(shù)為0.0001×100×100=10戶，所以此100戶居民中用電費(fèi)用不超過260元的戶數(shù)為90戶，（7分）所以該小區(qū)1000戶居民中用電費(fèi)用不超過260元的戶數(shù)為90

21、0戶（8分）（）該市居民平均用電費(fèi)用為：（150×0.3+200×0.7）×0.5+（50×0.4+150×0.2+250×0.1）×0.8=152.5元（13分）10歷史數(shù)據(jù)顯示：某城市在每年的3月11日3月15日的每天平均氣溫只可能是5，6，7，8中的一個(gè)，且等可能出現(xiàn)（）求該城市在3月11日3月15日這5天中，恰好出現(xiàn)兩次5，一次8的概率；（）若該城市的某熱飲店，隨平均氣溫的變化所售熱飲杯數(shù)如表平均氣溫t5678所售杯數(shù)y19222427根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的線性回歸直線方程（參考公式：b=i=1n(ti-t)(y

22、i-y)i=1n(ti-t)2，a=ybt）【解答】解：（1）記事件a為“這5天中，恰好出現(xiàn)兩次5，一次8”，則p(a)=c52(14)2c31(14)(12)2=15128； （6分）（或p(a)=c52c312×245=15128也可）（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算t=-6.5，y=23；（8分）i=14(ti-t)(yi-y)=1.5×(-4)+0.5×(-1)+(-0.5)×1+(-1.5)×4=-13，i=14(ti-t)2=1.52+0.52+0.52+1.52=5，b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2=135，（1

23、0分）a=yb=23+135×（6.5）=6.1，（11分）y關(guān)于t的線性回歸直線方程為y=135x+6.1（12分）11某校組織的古典詩(shī)詞大賽中，高一一班、二班各有9名學(xué)生參加，得分情況如莖葉圖所示：該活動(dòng)規(guī)定：學(xué)生成績(jī)、獲獎(jiǎng)等次與班級(jí)量化管理加分情況如表 成績(jī)70，79）80，89）90，100獎(jiǎng)次三二一加分123（i）在一班獲獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求能夠?yàn)榘嗉?jí)量化管理加4分的概率；（）已知一班和二班學(xué)生的平均成績(jī)相同，求x的值，并比較哪個(gè)班的成績(jī)更穩(wěn)定【解答】（本題滿分為12分）解：（i）一班獲獎(jiǎng)的學(xué)生共6位，隨機(jī)抽取2人的情況有：（77，82），（77，83），（77，86

24、），（77，93），（77，9x），（82，83），（82，86），（82，93），（82，9x），（83，86），（83，93），（83，9x），（86，93），（86，9x），（93，9x），共15種情形2分能夠?yàn)榘嗉?jí)量化管理加4分的情形有：（77，93），（77，9x），（82，83），（82，86），（83，86）共5種情形4分所以，能夠?yàn)榘嗉?jí)量化管理加4分的概率為515=136分（）由已知19（93+9x+82+83+86+77+67+68+69）=19（90+94+97+84+72+76+76+63+68），解得：x=57分一班成績(jī)的方差s12=19（132+152+22+32+62+32+132+122+112）=8869，9分二班成績(jī)的方差s22=19（102+142+172+42+82+42+42+172+122）=11309s12，11分故一班更穩(wěn)定12分12共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依