考研數(shù)學(xué)一真題及答案

1、考研數(shù)學(xué)一真題一、填空題（本題共6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分。答案寫(xiě)在題中橫線上）(1) 曲線?= ? 的斜漸近線方程為。22 ?+1【答案】 ?= 1 ?- 124【解析】?21?=?=?=?2? ? 2?+ 1 ?21-?1?=?-?= ?-? = ?= -? ? 2?+ 1 2? 2(2 ?+ 1)4所以斜漸近線方程為 ?= 1 ?-1。24綜上所述，本題正確答案是?= 12 ?- 14?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(2) 微分方程= -1的解為。?+ 2?= ?1滿足9【答案】?=113?-?9【解析】?原方程等價(jià)于 ? + 2?= ?所以通

2、解為2?212-?2?= ? ? ?+ ? =?+ ?111= ?-?+ ? 239?將?1= - 1代入可得 ?= 09綜上所述，本題正確答案是 ?= 11。3?-?9【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程一階線性微分方程2221 1,1,1 ，則(3) 設(shè)函數(shù) ?, ?,? = 1 + ? +?+? ,單位向量 ?=612183?= 。?(1,2,3)【答案】3 。3【解析】因?yàn)??=?, ?=?, ?=? 3 ? 6 ? 9所以?=1?1+1?1+1?1=3?3333333(1,2,3)綜上所述，本題正確答案是3。3【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)方向?qū)?shù)和梯度設(shè) 是由錐面22 與半球面 ?=?222

3、 圍成的空(4)?=?+ ?-?- ?間區(qū)域， ?是?的整個(gè)邊界的外側(cè)，則 ?+ ?+?= ?！敬鸢浮?2(1 -232)?。【解析】?+ ?+ ?=3?2?24= 323? ?= 2(1 -2)?000綜上所述，本題正確答案是 2(1 -232)??！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算(5) 設(shè)?,?,? 均為三維列向量，記矩陣 ?= ?,? ,?,123123?= (? + ? + ?, ? + 2? + 4?,? + 3? + 9?)123123123如果 ?= 1，那么 ? =。【答案】 2?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧? = |? + ? + ?,? + 2? + 4?

4、,? + 3? + 9?|123123123= |?1 + ?2 + ?3 ,?2 + 3?3, ?2 + 5?3 |=? + ? + ?,? + 3?, 2?123233= 2 ? + ? + ?,? + 3?,?123233= 2 ? + ? + ?,?,?= 2 ?,?,?= 2?= 212323123【方法二】由于 ?= ?, ?, ?111=?111123123123149149兩列取行列式，并用行列式乘法公式，所以111?=?123 =2?=2149綜上所述，本題正確答案是2?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)行列式行列式的概念和基本性質(zhì)，行列式按行 (列)展開(kāi)定理(6) 從數(shù)1,2,3,4中任取一

5、個(gè)數(shù)，記為 ?，再?gòu)?1,2, ? , ?中任一個(gè)數(shù)，記為?,則?= 2 = ?！敬鸢浮?13 。48【解析】【方法一】先求出 ( ?,?)的概率分布， 因?yàn)??是等可能的取 1,2,3,4，故( ?, ?) 關(guān)于?的邊緣分布必有 ?= ?= 14 , ?= 1,2,3,4,而?只從 1,2,? ,?中抽取，又是等可能抽取 1,2,?, ?的概率為 14?所以 ?= ?,?= ?=0, ?>?1即：,? ?4?XY1234110001442110018843111011212124411111161616164所以 ?= 2=81 + 121+ 161 = 4813【方法二】?= 2 =

6、4?= ?= 2| ?= ?=14 1= ?=1 4 ?= 2|?= ?111113=4×0+2+3+4= 48綜上所述，本題正確答案是 13。48【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布二、選擇題（本題共8 小題，每小題 4 分，滿分 32 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。）(7) 設(shè)函數(shù) ? = ? ? 1 + |?|3?,則?( ?)? (A) 處處可導(dǎo)(B) 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(D) 恰有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)【答案】 C?！窘馕觥坑? ? + ? + ?+ ? =1? (? > 0) 知

7、? 12? ? ? = ?1 + |?|3 ? = ?1, ?3=1, |?| 1?3, ?> 1由?= ?(?) 的表達(dá)式和其圖像可知 ?( ?)在?= ±1處不可導(dǎo)，在其余點(diǎn)均可導(dǎo)。?= -?33?= ?1?綜上所述，本題正確答案是C。?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)和微分的概念(8) 設(shè)?( ?)是連續(xù)函數(shù) ?(?) 的一個(gè)原函數(shù)， "? ?"表示 ?的充分必要條件是 ?，則必有(A) ?(?)是偶函數(shù) ? ?( ?)是奇函數(shù)(B) ?(?) 是奇函數(shù) ?(?)是偶函數(shù)(C)?(?) 是周期函數(shù) ?(?) 是周期函數(shù)(D) ?( ?)是單調(diào)函數(shù) ?

8、 ?(?) 是單調(diào)函數(shù)【答案】 A?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧咳?(?)是偶函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)基本結(jié)論“可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)”，反之，若?( ?)為奇函數(shù)，則 0?( ?) ?為偶函數(shù)， ?( ?)的任意一個(gè)原函數(shù)可表示為 ? =0?(?)?+ ?則?是偶函數(shù)，故應(yīng)選A。【方法二】排除法：取? = ?+ 1, ? = ?+ ?+ 1，顯然 ?連續(xù)，且是偶函數(shù)，周期函數(shù)。但不是奇函數(shù)? ? = ?(?),?(?)?(?(0) 0), 也不是周期函數(shù)，排除B 和 C 選項(xiàng)。若取 ? = ?,? = 12 排除，故應(yīng)選A。2?,D綜上所述，本題正確答案是A。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)原函數(shù)和不

9、定積分的概念，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)?+ ?(9) 設(shè)函數(shù) ?, ? = ?, ?+ ?- ? +?-? ?(?) ?,其中函數(shù) ?具有二階導(dǎo)數(shù)， ?具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有2222(A)? ?= -? ?(B)? ?=? ?2222?2222(C)? ?=? ? ?=? ?2(D)2? ?【答案】 B?！窘馕觥?= ?+ ? + ?- ? + ?(?+ ?) - ?( ?- ?),?= ?+ ? - ?- ? + ?( ?+ ?) + ?( ?- ?)?2?2= ?+ ? + ?- ? + ?(?+ ?) -?(?- ?)2?= ?+ ? - ?- ? + ?(?+ ?) + ?(?- ?)?2

10、?2 =?+ ? + ?- ? + ?(?+ ?) -?(?- ?)?22可見(jiàn)有? ?=? ?22?綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(10) 設(shè)有三元方程 ?-?+ ? = 1,根據(jù)隱函數(shù)存在定理， 存在點(diǎn)(0,1,1) 的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程(A) 只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) ?= ?( ?,?)(B) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) ?= ?( ?, ?)和?= ?( ?, ?)(C) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) ?= ?( ?, ?)和?= ?(?,?)(D) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)?= ?( ?,?)

11、和?= ?(?, ?)【答案】 D?！窘馕觥?, ?,? =?1?- ?+ ?-?則?= ?+ ? ?,? = ?-, ?= -?+ ? ?0,1,10,1,1= 0且?= 2,?- 1, ? 0,1,1?由此可確定的隱函數(shù)為 ?= ?(?, ?) 和?= ?(?,?)綜上所述，本題正確答案是D。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)隱函數(shù)的求導(dǎo)法(11) 設(shè)?, ?是矩陣 ?的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為12?, ? ，則 ?, ?(? + ? )線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是12112(A) ? 01(C)? = 0(D) ? = 012【答案】 B。【解析】【方法一】設(shè)? + ? ? + ?

12、= ?11212(B)? 02即有 ? + ? ? + ? = ?1211222由于特征值不同特征向量線性無(wú)關(guān)，所以 ?,? 線性無(wú)關(guān)，由可12得?+ ?= 0121? = 022?, ?( ? + ?)線性無(wú)關(guān) ?= 0? (2) 只有零解 ?1?101112?= 0?220?02【方法二】1?因?yàn)?(?, ?(? + ?) = (?, ? + ?)=( ?,?)10?11211122122那么 ?, ?( ? + ?)線性無(wú)關(guān) ? ?( ?,? + ? = 2112112由于 ?, ? 線性無(wú)關(guān)，則12?, ?( ? + ? )線性無(wú)關(guān)? ?1?= 2 ? 001112?22綜上所述，本題

13、正確答案是B?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)向量向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系(12) 設(shè)?為?( ? 2) 階可逆矩陣，交換 ?的第 1 行與第 2 行得矩陣 ?,? ?分別為 ?, ?的伴隨矩陣，則?, ?交換? 的第一列和第二列得 ?(A)?交換?(B)的第一行和第二行得 ?交換?的第一列和第二列得 -? ?(C)?交換?的第一行和第二行得?(D)?-?【答案】 C。【解析】設(shè)?為 3 階矩陣，因?yàn)??作初等行變換得到 ?，所以有010- 1- 1010 - 1- 1010100100100?= ? ? ?= ?= ?001001001?從而? =?|?| ?|010100

14、001010又因?yàn)?? = - |?|,故? 100?= ?001即交換 ?的第一列和第二列得 -? ?綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)矩陣矩陣的初等變換(13) 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( ?,?) 的概率分布為XY0100.4?1?0.1已知隨機(jī)事件 ?= 0 和 ?+ ?= 1 相互獨(dú)立，則(A) ?= 0.2, ?= 0.3(B) ?= 0.4, ?=0.1(C)?= 0.3,?= 0.2(D) ?= 0.1,?= 0.4【答案】 B?！窘馕觥坑瑟?dú)立性可知? ?= 0，?+ ?= 1 = ?= 0 ?+ ?= 1? ?= 0，?+ ?= 1 = ?= 0= 0.4 + ?+ ?=

15、1= ?+ ?已知 0.4 + ?+ ?+ 0.1 = 1 ? ?+ ?= 0.5所以有 0.5 0.4 + ? = ?= 0.4?= 0.1綜上所述，本題正確答案是B。【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性(14) 設(shè)?, ?,? ,?( ?2) 為來(lái)自總體 ?(0,1) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，?為樣12?本均值，2 為樣本方差，則?(A) ? ?(0,1)22(B) ? ?( ?)?- 1?1(D)?-1 ?2 ?1,?- 1(C)? ?-?12?=2?【答案】 D?！窘馕觥?2?22且?2與?2相互獨(dú)立，因此?1

16、,?=2? ?- 1?=2?1?1?2?- 1 ?21=1 ?1,?-1?2/?-1?2?=2?=2?綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量，樣本均值，2 分布， 分布， 分布?三、解答題（本題共9 小題，滿分 94 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟）(15) （本題滿分 11 分）設(shè)?=22，22表示不超( ?, ?)| ?+ ?2,? 0, ? 01 + ?+ ?222過(guò)1 + ? + ?的最大整數(shù)。計(jì)算二重積分? ?1 + ? +2? ?【解析】令?,? 022 0 ,1 =?+ ?1, ?0, ? =22 2,?0, ?0?

17、, ? 1 ? + ?2則?22?1 + ? + ?= ?1?+ 2?2?1?4 2=2323?+2?0000113=4+8=8【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用(16) （本題滿分 12 分）求冪級(jí)數(shù)【解析】- 1?- 1(1 +12?=1) ? 的收斂區(qū)間與和函數(shù) ?(?)?(2 ?- 1)因?yàn)?? ?+1 2 ?+1 +1? ?2 ?-1= 1? (?+1)(2 ?+1)?2?-1 +122時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，所以當(dāng) ? < 1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)?> 1因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為 (- 1,1)記? =則? =- 1 ?-112

18、?=1? ,? ( - 1,1)2 ?(2 ?- 1)- 1 ?-112 ?-1?=1(2 ?- 1)?,? (- 1,1)?- 12?-21=- 1=,?( - 1,1)?2?=11+?由于 ?0= 0,?0 = 0? 12 ?= ?所以? ? =0? ?=01+ ? =? ?=0?12?=?-(1+ ?)022又- 1?-1 2?=1? =2,? (- 1,1)1+ ?2從而 ? = 2? + ?21+ ?22?,?= 2?-?1+ ? +21+ ?(- 1,1)【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開(kāi)區(qū)間 ) 和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)

19、的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式(17) （本題滿分 11 分）如圖曲線 ?的方程為 ?= ?,點(diǎn)(3,2) 是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線 ?與1?分別是曲線 ?在點(diǎn) (0,0) 與(3,2) 處的切線，其交點(diǎn) (2,4) 設(shè)函數(shù)2?( ?)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分320(? + ?) ?(?)?【解析】432C11234。由于直線與?分別是由點(diǎn) (3,2) 是曲線 ?的拐點(diǎn)知 ?3 = 0?1 2曲線 ?在點(diǎn) (0,0) 與(3,2) 處的切線，由圖易得，直線?與?的斜率12= - 2分別為 2 和-2 知， ? 0= 2,? 3且由圖易得 ?0 = 0, ?3= 2則3322? + ?=? + ? ?00233

20、=-(2 ?+1)?(?)?( ? + ?) ?(?)00333= -2?+ 1 ? = -2?+ 1 ?0 + 2? ?00=- 7?-2-2 + 2?03 = 16+ 2 2-0 =20【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的概念和基本性質(zhì)，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法(18) （本題滿分 12 分）已知函數(shù) ?(?) 在0,1 連續(xù)，在(0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，且?0= 0,?1= 1證明：(I) 存在?(0,1) ，使得 ? = 1 - ?；(II) 存在兩個(gè)不同的點(diǎn) ?,?(0,1), 使得 ? ?= 1【解析】(I) 令? = ? - 1 + ?,? 0,1 ,由題設(shè)知， ?(

21、 ?)在0,1 上連續(xù)，又?0=?0 - 1= -1< 0,?1= ?1= 1>0由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，存在?(0,1) ，使得 ? = 0即?= 1 -?(II)在區(qū)間 0, ? 和?, 1 上分別對(duì) ?( ?)用拉格朗日中值定理得?-?(0)?(0, ?)?= ?1 -?(?)?(?,1)1 -?= ?-? (0)? 1 -? ?1 -? ?=?= 1此時(shí)， ? ? =?1-?1 -?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微分中值定理(19) （本題滿分 12 分）設(shè)函數(shù) ?( ?)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線?上，曲線積分? ? ?+2 ?24的值恒為同一常數(shù)?

22、2?+ ?(I) 證明：對(duì)右半平面 ?> 0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線 ?有? ?+2 ?；?24= 02? + ?(II) 求函數(shù) ?( ?)的表達(dá)式?！窘馕觥?I) 如圖，將?分解成： ?= ?+ ?,另作一條曲線12?圍繞原點(diǎn)且與3?相連，則?+ 2?2 4? 2? + ?+ 2?+ 2?=?+ ?24-?+ ?242? + ?2? + ?1323= 0(II) 設(shè)?=? ?, ?=2?在單連通區(qū)域內(nèi)具有一22, ?,?> 0442?+ ?2?+ ?階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（ I ）知，曲線積分? ? ?+2 ?24在該區(qū)域內(nèi)2? + ?與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng) ?>0時(shí)，總有? ?=

23、? ?24- 4?2 ?25? 2?2 ? + ?- 4? ?+2 ?而 =242=242 ?2? + ?2? +?243243? ? ?(2 ? + ? ) - 4? ? ?2? ? ? + ? ? ? - 4 ? ? ?=24 2=24 2?2?+ ?2? +?比較，式的右端得：? = - 2?43? ? - 4? =可得 ? = -?252?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(20) 已知二次型 ?,?,? =1 - ?2+1 - ?2+ 2?2+1231232(1 + ?)?的秩為12(I) 求?的值；(II) 求正交變換 ?=2?,將?,?, ? 化為標(biāo)準(zhǔn)形；

24、123(III)求方程 ?, ?, ? = 0的解123【解析】1-?1+?0(I) 二次型矩陣 ?= 1 + ? 1 - ? 0 ，由于二次型的秩為 2，即002? = 2,所以有 ?= 2 1- ? 1+ ?= - 8?= 0 1+ ? 1- ?得?= 0?-1- 10(II) 當(dāng)?= 0時(shí)，由 ?- ? = - 1?- 10=00?-2?(?- 2)2 = 0得矩陣 ?的特征值是 2,2,0。1- 101- 10對(duì)于 ?= 2，由 2?- ?= ?, - 110 000000000得特征向量 ? = (1,1,0)?, ? = (0,0,1) ?12- 1- 10110對(duì)?= 0，由 0

25、?- ?= ?, - 1- 10 00100- 2000得特征向量 ? = (1, - 1,0) ?3由于特征向量已經(jīng)兩兩正交，只需單位化，于是有? =1(0,0,1)1(1,1,0) ?,? =?,? =(1, - 1,0) ?1223210122令?=?那么經(jīng)過(guò)正交變換有, ?,? =10 -1,?= ?,12 322010?,?,?= 2?2+ 2?2 ，12312(III) 【方法一】由（ II ）知，在正交變換 ?= ?下， ?,?,? = 0化為1232?2+ 2?2= 0，解得 ? = 0，? = 0，? = ?( ?為任意實(shí)數(shù) )，從12123而?= ?0=?,?, ?0= ?

26、= ?(1, - 1,0) ?001233?即方程 ?, ?, ? = 0的解是 ?(1, - 1,0) ?,?為任意常數(shù)。123【方法二】由于 ?222+ 2? = ( ?+ ?)2+1,?,? = ? + ? + 2?2312312122?2 = 0所以3?+ ?= 012?= 03其通解為 ?= ?(1, - 1,0)?,其中 ?為任意常數(shù)?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)二次型用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(21) （本題滿分 9 分）已知三階矩陣 ?的第一行是 ( ?,?, ?)不全為零，矩陣 ?=1232 4 6 (?為常數(shù) )，且 ?= ?，求線性方程組 ?= ?的通解。3 6 k【解析】由?= ?，知 ? + ? 3,又? ?,? ?,故1 ? 2,1 ? 2當(dāng)? 9時(shí)，必有 ? = 2，此時(shí) ? = 1由于 ?- ? = 3 - 1 =2,又因?yàn)??= ?，?的列向量是 ?= ?的解。故?= ?的通解為： ?1,2,3?是任意常數(shù)；1+ ?(3,6, ?) ,?, ?212當(dāng)?= 9時(shí)，則 ? = 1。此時(shí) ? = 1 或 2。若? = 2，則 ?- ? = 1。?= ?的通解為 ?1,2,3 ?；若? = 1，則?= ?與?+ ?+ ?= 0同解，由 ?- ? = 2，設(shè) ?0,那么?= ?的通解為 ?-?, ?,0?是任意常數(shù)1+ ?(-?, 0,?)