安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文)試卷

1、2020-2021 學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合a= x|-1 x 1 和集合 b= y|y=x2，則 ab 等于（）ay|0y0 d(0，1)，(1， 0) 2已知復(fù)數(shù)(1)(31)iizi（i為虛數(shù)單位） ，則下列說法正確的是a復(fù)數(shù)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)落在第二象限b42zic24zz的虛部為1 d| 2 2z3我國經(jīng)典數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78 根，擬分大

2、?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1 錢，問買大 ?小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為（）a6 錢b7 錢c8 錢d9 錢4已知二項(xiàng)式*12nxnxn的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2:5，則3x 的系數(shù)為（）a14 b10082017c240 d2405函數(shù)21( )ln(2)xf xxe的圖象可能是（）a bcd6已知實(shí)數(shù), x y滿足(01)xyaaa，則下列關(guān)系式恒成立的是（）a221111xybtantanxyc22()ln1l1)n(xyd33xy7已知某三角函數(shù)的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是（）asin()

3、4yxb3sin(2)4yxccos()4yxd3cos(2)4yx8若等差數(shù)列na的公差為d，前 n 項(xiàng)和為ns，記nnsbn則a數(shù)列nb是等差數(shù)列，nb的公差也為d b數(shù)列nb是等差數(shù)列，nb的公差為2d c數(shù)列nnab是等差數(shù)列，nnab的公差為d d數(shù)列nnab是等差數(shù)列，nnab的公差為2d9已知| | 3ab，e是與向量b方向相同的單位向量，向量a在向量b上的投影向量為32e，則a與b的夾角為a30b60c120d15010我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦若, .,a b c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則222abc，稱這個定理為

4、勾股定理現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體oabc中，90aobbocaoc， s為頂點(diǎn)o所對面的面積，123,s ss分別為側(cè)面oaboacobc，的面積，則下列選項(xiàng)中對于123,s ss滿足的關(guān)系描述正確的為a123ssssb2222123111ssssc2222123ssssd123111ssss11已知點(diǎn)1, 2a，2,0b，p 為曲線2334yx上任意一點(diǎn)，則apab的取值范圍為a1,7b1,7c1,32 3d1,32 312已知( )fx是函數(shù)( )f x 的導(dǎo)函數(shù)， 且對任意的實(shí)數(shù)x都有1( )( )xfxf xe（e是自然對數(shù)的底數(shù)） ，(0)0f，若不等式( )0f xk

5、的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）a221,eeb3232,eec3232,eed3232,ee二、填空題本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分. 13已知函數(shù)221,01,0 xxfxxx，若1fa，則實(shí)數(shù)a_. 14已知等差數(shù)列na中，3722aa，49a，數(shù)列nb滿足12nanb，則123nb bbb_. 15已知點(diǎn)1,2p在拋物線e：220ypx p上，過點(diǎn)1,0m的直線l交拋物線e于a，b兩點(diǎn)，若3ammb，則直線l的傾斜角的正弦值為_. 16已知三棱錐pabc中，二面角pabc的大小為120，abc是邊長為4 的正三角形，pab是以p為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則三棱錐

6、pabc外接球的表面積為_. 三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17在abc中，角 a，b，c 的對邊分別是a，b，c，且3 cos23cosacbca. （1）求角 a 的大小；（2）求25cos2sin22cb的取值范圍 . 18四棱錐pabcd中，底面abcd為直角梯形，/bc ad，addc，1bccd，2ad，papd，e為pc的中點(diǎn)，f為ad的中點(diǎn)，平面pad底面abcd. （1）證明：平面bef平面pad；（2）若pc與底面abcd所

7、成的角為3，求四棱錐pabcd的體積 . 19 某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為， ， 的概率；求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；若某天的空氣質(zhì)量等級為或 ，則稱這天 “ 空氣質(zhì)量好 ” ；若某天的空氣質(zhì)量等級為或 ，則稱這天 “ 空氣質(zhì)量不好” 根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？附：，20如圖， 已知橢圓2222:10 xycabab過點(diǎn)31,2，其的左、 右頂點(diǎn)分別是

8、a，b，下、上頂點(diǎn)分別是c，d，p是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線pa，pb的斜率1k，2k滿足1214kk. （1）求橢圓c的方程；（2）過p點(diǎn)的直線po交橢圓于另一點(diǎn)q，求四邊形apcq面積的取值范圍. 21已知函數(shù)ln1 lnfxaxxax，fx的導(dǎo)數(shù)為fx. （1）當(dāng)1a時，討論fx的單調(diào)性；（2）設(shè)0a，方程3fxxe有兩個不同的零點(diǎn)1212,x xxx，求證121xexe. （二）選考題：共10 分。請考生在第22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22已知直線l的參數(shù)方程為132322xtyt(t為參數(shù) )，曲線 c 的參數(shù)方程為4cos4sinxy(為參數(shù)

9、)(1)將曲線 c 的參數(shù)方程化為普通方程；(2)若直線l與曲線c交于,a b兩點(diǎn)，求線段ab的長23已知函數(shù)( )f x=2xax. ()當(dāng)3a時，求不等式( )fx3的解集；() 若( )f x4x的解集包含1,2，求a的取值范圍 . 參考答案1b 【分析】先由二次函數(shù)的值域求得集合b，再運(yùn)用集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng)【詳解】因?yàn)?b= y|y=x2 ，所以 b= y|y 0 ，a b= y|0 y 1 故選： b2c 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡得42zi，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)概念判定a，b，d 錯誤，化簡24zz判定正確 . 【詳解】解：(1)(31)(1)(3)42iiziiii，其對應(yīng)的復(fù)平面

10、點(diǎn)為(4, 2) 位于第四象限，故a 錯誤；42zi，故 b 錯誤；24222214422221ziiiiziii，虛部為1，故 c 正確；22|4( 2)2 5z，故 d 錯誤 . 故選： c. 【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算技巧：（1）復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算（2）復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3c 【分析】根據(jù)題意設(shè)買大竹子x，每根單價為m，可得576781mxxm，由078x，解不等式組即可求解. 【詳解】依題意可設(shè)買大竹子x，每根單價為m，購買小竹子78x，每根單價為1m，所以576781mxxm，即78654mx，即6 109 13xm，因?yàn)?78x

11、，所以109109 130136 109 13789613mmmm961091313m，根據(jù)選項(xiàng)8m，30 x，所以買大竹子30根，每根8元 . 故選： c 【點(diǎn)睛】本題考查了不等式，考查了數(shù)據(jù)處理能力以及分析能力，屬于基礎(chǔ)題. 4c 【分析】先寫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式11(2 )rrn rrntcxx及展開式中第2 項(xiàng)與第 3 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)， 利用已知條件求得n 值，再令展開式通項(xiàng)中的x指數(shù)為3，求得2r，計(jì)算該項(xiàng)的系數(shù)即可【詳解】二項(xiàng)展開式的第1r項(xiàng)的通項(xiàng)公式為11(2 )rrnrrntcxx，由展開式中第2 項(xiàng)與第 3 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是25，可得：12:2:5nncc，即1252nn

12、cc，故51nn n，解得：6n. 所以6616321(2 )2( 1)rrn rrrrnrrtcxcxx中，令3632r，解得：2r，所以3x 的系數(shù)為26 2262( 115 16 1)240c，故選： c. 【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：二項(xiàng)式*12nxnxn的展開式中，學(xué)生容易混淆二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)，而出現(xiàn)答題失誤.二項(xiàng)式系數(shù)是指展開式中每一項(xiàng)的組合數(shù)0,1,2,.,knckn，而項(xiàng)的系數(shù)是指x前面乘的全部常數(shù)（包括符號），因此做題時一定要看清楚題中條件和要求. 5b 【分析】分析四個圖像，從而判斷函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解【詳解】由于函數(shù)( )f x 的定義域?yàn)閞，且在r上為連續(xù)函數(shù)，可排除

13、a 答案；由于1(0)ln2fe，1ln 2ln2e，112e，所以1(0) ln20fe，可排除c 答案；當(dāng)x時，( )f x，故排除d 答案；故答案選b. 【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與數(shù)形結(jié)合的思想方向的應(yīng)用，屬于中檔題6d 【分析】根據(jù)(01)xyaaa，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到xy，然后再逐項(xiàng)判斷. 【詳解】因?yàn)?01)xyaaa，所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得：xya. 當(dāng)2,1xy時，221111xy，故錯誤；b. 當(dāng)5,44xy時，tantanxy，故錯誤；c. 當(dāng)x1,y2時，22()ln1l1)n(xy，故錯誤；d. 因?yàn)閮绾瘮?shù)3yx在 r 上是增函數(shù)，所以33xy，故正確

14、；故選： d 7c 【解析】試題分析：31,21444tat, 所以3333sin()12()2()4424kkzkkz所以它的解析式可能是3sin(2)cos()44yxkx，選 c. 考點(diǎn)：三角函數(shù)解析式【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)sin()(0,0)yaxb a的圖象求解析式(1)maxminmaxmin,22yyyyab. (2)由函數(shù)的周期t求2,.t(3)利用 “ 五點(diǎn)法 ” 中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求. 8d 【分析】根據(jù)已知寫出若等差數(shù)列na的通項(xiàng)公式和求和公式，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)判斷即可得出結(jié)論. 【詳解】由題可得11naand，112nn nsnad，則11111222nnsn

15、badaddnn是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，則數(shù)列nb是公差為12d的等差數(shù)列，故a， b 錯誤；由133222nnabaddn是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，得數(shù)列nnab是公差為32d的等差數(shù)列， 故 c 錯誤；又1122nnabddn是關(guān)于 n 的一次函數(shù)， 則數(shù)列nnab是公差為12d的等差數(shù)列，故d 正確 . 故選 :d. 【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查等差數(shù)列na,napnq是關(guān)于n的一次函數(shù)，公差為p，熟練掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 9b 【分析】設(shè)eb(0) ，求出13，13eb，再根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義列式求出92a b，最后利

16、用平面向量的夾角公式可求得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)閑是與向量b方向相同的單位向量，設(shè)eb(0)，則| |eb|b，所以13，得13，所以13eb，因?yàn)橄蛄縜在向量b上的投影為|a bb，且向量a在向量b上的投影向量為32e，所以32| |a bbebb，所以3123| |a bbbbb，所以212|a bb，所以219|22a bb，設(shè)a與b的夾角為，則912cos332| |a bab，又0180，所以60，故選： b【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量在向量上的投影向量的定義以及平面向量的夾角公式求解是解題關(guān)鍵. 10c 【分析】作四面體-o abc，90aobbocaoc， odbc 于點(diǎn)d，連接a

17、d，結(jié)合勾股定理可得答案【詳解】作四面體-o abc，90aobbocaoc， odbc 于點(diǎn)d，連接ad，如圖2222222111244sbc adbcadbcoaod222222221111144222obocoabcodob oaoc oabc od222123sss. 即2222123ssss故選 c. 【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，解題的關(guān)鍵是將勾股定理遷移到立體幾何中，屬于簡單題11a 【分析】結(jié)合已知曲線方程，引入?yún)?shù)方程，然后結(jié)合和角正弦公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】解：設(shè),p x y則由2334xy可得221043xyy，令2cos ,3sinxy，(0,，1,2apx

18、y，1,2ab，124232cos2 3sin34sin36ap abxyxy，0，7666，1sin126，14sin376，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵. 12d 【分析】化簡1(xfxf xe為1xxe fxe fxxc，令0 x，可得0c，得到xxfxe，然后作出其函數(shù)圖象，將不等式0fxk的解集中恰有兩個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式fxk的，利用數(shù)形結(jié)合法求解. 【詳解】因?yàn)?( )xfxf xe，所以1,xfxfxe即1xe fx，設(shè)xg xe fxxc，令0 x，可得0c，所以,xxxe fxx fxe，則1xxfxe，

19、令0fx可得fx在,1上遞增，令0fx可得fx在1,上遞減，所以fx在1x處取得極大值11 =fe，作出函數(shù)xxfxe如圖所示：又因?yàn)?3230 =0,2 =,3 =fffee，而不等式0fxk的解集中恰有兩個整數(shù)，等價于不等式fxk的解集中恰有兩個整數(shù)，由圖象知：當(dāng)3232kee時，不等式不等式fxk的解集中恰有兩個整數(shù)1,2，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是3232,ee，故選： d. 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值及其圖象，不等式的解法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題. 131或0【分析】分0a和0a兩種情況解方程1fa，可得出實(shí)數(shù)a的值. 【詳解】當(dāng)

20、0a時，211f aa，解得0a；當(dāng)0a時，211faa，得1a. 因此，1a或 0，故答案為1或 0 . 【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)值求自變量的值，解題時要對自變量進(jìn)行分類討論，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 1422nn【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出na，從而求出12nanb，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解. 【詳解】由題意111262239adadad，解得132ad，所以1121naandn，所以1222nannb，則22224622123222222nnnnnnb bbb. 故答案為：22nn. 1532【分析】求出2p，設(shè)過點(diǎn)1,0m的直線方程為1xmy，將直線與拋物線

21、聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得124yym，124y y，根據(jù)向量可得123yy，從而求出直線的傾斜角，即求. 【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線e：220ypx p上，所以421p，得2p，所以24yx，設(shè)過點(diǎn)1,0m的直線方程為：1xmy，所以214xmyyx，所以2440ymy，設(shè)11,a xy，22,b xy，所以124yym，124y y，又因?yàn)?ammb，所以123yy，所以33m，因?yàn)橹本€的斜率tan3k，由0,，所以3或23，所以3sin2. 故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于中檔題. 162089【分析】找到三棱錐pabc外接球球心的位置，求得外

22、接球的半徑，進(jìn)而求得三棱錐pabc外接球的表面積. 【詳解】依題意，三角形abc是等邊三角形，設(shè)其外心為1o，線段ab的中點(diǎn)設(shè)為2o，則2coab，且1o在線段2co上、1122cooo. 三角形pab是以p為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以其外心為2o.過2o在三角形pab內(nèi)作2o dab. 所以2co d是二面角pabc的平面角，所以2120co d. 設(shè)外接球球心為o，則1oo平面abc，2oo平面pab，所以12ooco、22ooo d，所以230oo c. 在三角形2oco中，12224 32 3333coco，122112 32 3333o oco，12112123332 32tan33

23、333oooo cooo oo o, 所以外接球的半徑221144852999rocooco，所以外接球的表面積為2522084499r. 故答案為：2089【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題. 17 （1）6a； （2）32,312. 【分析】（1）由正弦定理化簡等式整理可得sin2sincosbba，又sin0b，可求3cos2a，結(jié)合 a 為內(nèi)角即可求得 a 的值；（2）由三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得3 sin16b，6a可求6b的范圍，從而可求1sin,162b，即可得解 . 【詳解】（1）由正弦定理可得，3sincos2sincos3sincosacbaca，從

24、而可得，3 sin()2sincosacba，即sin2sincosbba，又 b 為三角形的內(nèi)角，所以sin0b，于是3cos2a，又 a 為三角形內(nèi)角，因此，6a. （2）255cos2sinsincos1sincos1226cbbcbb55sincoscossinsin166bbb33sincos13sin1226bbb，由6a可知，50,6b，所以2,663b，從而1sin,162b，因此，323 sin1,3162b，故25cos2sin22cb的取值范圍為32,312. 18 （）證明見解析； （）77. 【分析】（）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)、平行四邊形形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂

25、直的性質(zhì)定理和判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（）連結(jié)pf，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出pf底面abcd，這樣可以建立以fa，fb，fp分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可. 【詳解】（）/bc df四邊形bcdf是平行四邊形/bfcd. 又cdad，bfad. 又面pad面abcd，面pad面abcdad，bf面abcdbf面pad且bf面bef平面bef平面pad. （）連結(jié)pf，papd，f為ad中點(diǎn)，pfad又pf平面pad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，pf底面abcd， pcf=3,pf=

26、6 , v=6219 【答案】解：，. . 完成列聯(lián)表如下：人次人次合計(jì)空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好合計(jì)則. ，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān). 【解答】解：，. . 完成列聯(lián)表如下：人次人次合計(jì)空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好合計(jì)則. ，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān). 20 （1）2214xy； （2）2,2 2. 【分析】（1）由1214kk可得2214ba，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入后列出關(guān)于,a b的方程組求解可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線pq的方程為0ykx k，求出點(diǎn)a，c到直線pq的距離12,d d在，再由直線與橢圓相交的弦長公式求得弦長p

27、q，表示出四邊形面積為k的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍【詳解】（1）設(shè)00,p xy，則20001222000yyyk kxa xaxa. 又22222020002221baxxyyaba，所以212214bk ka.又由橢圓c過點(diǎn)31,2得221314ab，由得2a，1b，故橢圓方程為2214xy. （2）2,0a，0, 1c，設(shè)直線pq的方程為0ykx k，則點(diǎn)a，c到直線p，q的距離分別為1221kdk，2211dk. 又由22,14ykxxy得2222,11kpkk，所以224 1214kpqopk. 四邊形apqc的面積212222 121144422 11214144kkkspq

28、ddkkkk. 由144,kk得2,22s. 故四邊形apcq面積的取值范圍是2,2 2. 【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交的面積問題解題時列出關(guān)于,a b的方程組是求方程的關(guān)鍵直線與橢圓相交問題可設(shè)出直線方程為(0)ykx k，把面積用k表示，然后由函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍21 （1）當(dāng)10a時，fx在10,aa上單調(diào)遞增， 在1,aa上單調(diào)遞減； 當(dāng)0a時，fx在0,上單調(diào)遞增；（2）證明見解析. 【分析】（1）先求導(dǎo)得1ln1afxaxx，再分10a和0a討論即可得fx的單調(diào)性；（2）令函數(shù)3g xfxxe，則1gxfx，結(jié)合（ 1）得在0,上gx單調(diào)遞增，10g，進(jìn)而得在0,1上g x單調(diào)遞減，在1,上g