線性變換的矩陣表示式學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁，共32頁。階矩陣階矩陣設(shè)設(shè)n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 為為中中的的變變換換定定義義其其中中)(,21xTyRaaanniiii 第1頁/共31頁第二頁，共32頁。),( ,)(RxAxxTn .為線性變換為線性變換則則T那那么么為為單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量設(shè)設(shè),21eeen,00112122221112111 aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211 nnnnnnnnaaaaaaaaaeA ,第2頁/共31頁第三頁，共32頁。), 2 , 1( )( nieTeAiii 即即.)(,)(, 為為列列向向量量

2、應(yīng)應(yīng)以以那那么么矩矩陣陣有有關(guān)關(guān)系系式式如如果果一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換因因此此eTAAxxTTi 那那么么使使如如果果一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換反反之之), 2 , 1()(, nieTTii )(xT),(21xeeeTn )(2211exexexTnn )()()(2211eTxeTxeTxnn xeTeTeTn)(,),(),(21 xn),(21 .Ax 第3頁/共31頁第四頁，共32頁。其其中中表表示示都都可可用用關(guān)關(guān)系系式式中中任任何何線線性性變變換換,)()(, RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn , 212222111211 aaaaaaaaannnn

3、nn.,21為單位坐標(biāo)向量為單位坐標(biāo)向量eeen可可知知綜綜上上所所述述,第4頁/共31頁第五頁，共32頁。 ,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 定義設(shè) 是線性空間 中的線性變換，在 中取定一個(gè)基 ，如果這個(gè)基在變換下的象為nVnVn ,21TT第5頁/共31頁第六頁，共32頁。其中(qzhng),212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA ATnn ,2121 上式 ,2121nnTTTT 記記可表示為那末， 就稱為線性變換 在基 下的矩陣n, 21AT第6頁/共31頁第七頁，共32頁。.)(,),(,1唯一確定唯一確定由基

4、的象由基的象矩陣矩陣顯然顯然 nTTA?,),(),( , 21212121需要滿足什么條件呢需要滿足什么條件呢變換變換那么那么下的象為下的象為在變換在變換也就是說基也就是說基的矩陣的矩陣下下在基在基是線性變換是線性變換假設(shè)假設(shè)現(xiàn)在現(xiàn)在TATTTAnnnn 第7頁/共31頁第八頁，共32頁。有有設(shè)設(shè),1 iniinxV )( T)(1 iniixT niiiTx1)( xxxTTTnn2121)(,),(),( ,),(2121 xxxAnn 第8頁/共31頁第九頁，共32頁。.),(),( 21212121 xxxAxxxTnnnn 即即., 為為矩矩陣陣的的線線性性變變換換是是以以變變換換

5、并并且且所所確確定定的的變變換換上上式式唯唯一一地地確確定定了了一一個(gè)個(gè)ATT.由上式唯一確定由上式唯一確定為矩陣的線性變換為矩陣的線性變換以以TA第9頁/共31頁第十頁，共32頁。.,TAATVn個(gè)個(gè)線線性性變變換換也也可可唯唯一一地地確確定定一一由由一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣確確定定一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣可可唯唯一一地地由由線線性性變變換換中中取取定定一一個(gè)個(gè)基基后后在在.,一對(duì)應(yīng)的一對(duì)應(yīng)的線性變換與矩陣是一線性變換與矩陣是一在給定一個(gè)基的條件下在給定一個(gè)基的條件下結(jié)論(jiln)第10頁/共31頁第十一頁，共32頁。:),(),( 21212121可可知知從從關(guān)關(guān)系系式式 xxxAxxxTnnnn ,2

6、1下下在在基基 n; 21 xxxn 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為第11頁/共31頁第十二頁，共32頁。.)( )(21 xxxATTn 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為有有因因此此按按坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示,.)( AT 第12頁/共31頁第十三頁，共32頁。., 1, , 4322313的的矩矩陣陣求求微微分分運(yùn)運(yùn)算算取取基基中中在在DpxpxpxpxP 例例1 1解解 ,00000,10001,02002,00303432144321343212432121pppppDpppppDppppxpDppppxpD第13頁/共31頁第十四頁，共32頁。在在這這組組基基下下的的矩矩陣陣為為所所以以D.01000020000300

7、00 A第14頁/共31頁第十五頁，共32頁。.,)(, 上的一個(gè)線性空間上的一個(gè)線性空間構(gòu)成構(gòu)成數(shù)與多項(xiàng)式的乘法數(shù)與多項(xiàng)式的乘法它對(duì)于多項(xiàng)式的加法和它對(duì)于多項(xiàng)式的加法和組成的集合記作組成的集合記作式式包括零多項(xiàng)包括零多項(xiàng)的所有一元多項(xiàng)式的所有一元多項(xiàng)式中次數(shù)小于中次數(shù)小于記作記作合合上所有一元多項(xiàng)式的集上所有一元多項(xiàng)式的集實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域RxRnxRxRRn例2例2.,:)(),()( , 微微分分變變換換這這個(gè)個(gè)變變換換也也稱稱為為變變換換上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性是是則則由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)性性質(zhì)質(zhì)可可以以證證明明定定義義變變換換中中在在線線性性空空間間xRxRxfxfdxdxfxRnnn 第15頁/

8、共31頁第十六頁，共32頁。則則有有的的基基為為現(xiàn)現(xiàn)取取, 112xxxxRnn , 0)1( , 1)( x ,2)(2xx ,下的矩陣為下的矩陣為在基在基因此因此xxxn 12, 1, 0000100002000010nAxnxnn21)1()( 第16頁/共31頁第十七頁，共32頁。即即變變換換平平面面的的線線性性表表示示將將向向量量投投影影到到中中在在, 3xOyTR例例3 3,)(j yi xkzj yi xT .,)2(;,)1(的矩陣的矩陣求求取基為取基為的矩陣的矩陣求求取基為取基為TkjijiTkji 解解 , 0, )1(kTjjTiiT.000010001),(),( kj

9、ikjiT即即第17頁/共31頁第十八頁，共32頁。 , , , )2( jiTjTiT.000110101),(),( T即即此例表明(biomng)：同一個(gè)線性變換在不同的基下一般有不同的矩陣第18頁/共31頁第十九頁，共32頁。同一個(gè)線性變換在不同的基下有不同的矩陣(j zhn)，那么這些矩陣(j zhn)之間有什么關(guān)系呢？上面的例子(l zi)表明,;,2121nn 定理設(shè)線性空間 中取定兩個(gè)基nV由基 到基 的過渡矩陣為 ， 中的線性變換 在這兩個(gè)基下的矩陣依次為 和 ，那末 n ,21n ,21nV.1APPB PTAB第19頁/共31頁第二十頁，共32頁。于是(ysh) nnTB

10、 ,2121 ,21PTn PTn ,21 證明(zhngmng) Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 第20頁/共31頁第二十一頁，共32頁。 APn ,21 APPn121, 因?yàn)?線性無關(guān)，n, 21所以.APPB1 證畢.定理表明： 與 相似，且兩個(gè)基之間的過渡矩陣 就是相似變換矩陣BAP第21頁/共31頁第二十二頁，共32頁。例., , 1222211211212下下的的矩矩陣陣在在基基求求下下的的矩矩陣陣為為在在基基中中的的線線性性變變換換設(shè)設(shè) TaaaaATV ,0110),(),(2112 解,0110 P即即,0110 1 P求得求得第22頁/共31

11、頁第二十三頁，共32頁。下的矩陣為下的矩陣為在基在基于是于是),(12 T 0110011022211211aaaaB.11122122 aaaa 011012112221aaaa第23頁/共31頁第二十四頁，共32頁。).(,ARTTA的的秩秩就就是是則則的的矩矩陣陣是是若若.,rnSTrTT 的維數(shù)為的維數(shù)為的核的核則則的秩為的秩為若若.,)( 的的秩秩性性變變換換稱稱為為線線的的維維數(shù)數(shù)的的象象空空間間線線性性變變換換定定義義2 2TVTTn第24頁/共31頁第二十五頁，共32頁。.,987654321 ,3 132321下的矩陣下的矩陣在基在基求求下的矩陣為下的矩陣為在基在基的線性變換

12、的線性變換維線性空間維線性空間已知已知 AV例5例5解由條件(tiojin)知 987654321),(),(321321 第25頁/共31頁第二十六頁，共32頁。 321332123211963)(852)(74 )( 即即下的矩陣為下的矩陣為在基在基因此因此 132, 74)(396)(285)( 132113231322從而有從而有.174396285 B第26頁/共31頁第二十七頁，共32頁。給定了線性空間 的一組基以后， 中的線性變換與 中的矩陣形成一一對(duì)應(yīng)因此，在線性代數(shù)中，可以用矩陣來研究變換，也可以用變換來研究矩陣nRnRnnR 同一(tngy)變換在不同基下的矩陣是相似的第2

13、7頁/共31頁第二十八頁，共32頁。的兩個(gè)線性變換的兩個(gè)線性變換已知已知22 R 22, RXMXXSXNXT 1111,0201NM.,22211211下下的的矩矩陣陣在在基基試試求求EEEEST 第28頁/共31頁第二十九頁，共32頁。)( 11EST 解解)()(1111ESET EMNE1111 0001020111110001 0212,22211211EEE 同理可得同理可得,22001 )( 2211121212EEEMNEEST 第29頁/共31頁第三十頁，共32頁。,1100 )( 2221212121EEEMNEEST ,1100 )( 2221222222EEEMNEEST 組基下的矩陣為組基下的矩陣為在這在這所以所以ST .1120110200010012 第30頁/