第4章 靜磁場

1、第四章 靜 磁 場第四章 靜 磁 場本章中我們將學(xué)習(xí)靜磁場的處理。 靜磁場是由穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的不隨時(shí)間變化的場。電流是由電場驅(qū)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的。因?yàn)殡娏髟诹鲃?dòng)過程中一定有能量耗散（將動(dòng)能交給雜質(zhì)，以熱能形式給環(huán)境），靜電場本身產(chǎn)生的電流一定不能穩(wěn)恒！必須有外加的非靜電來源的場（電動(dòng)勢）一直給體系提供能量才能保持電流穩(wěn)恒！因?yàn)檎n程的時(shí)間限制，這里我們將略去對(duì)穩(wěn)恒電流的來源及其滿足的規(guī)律的討論，而只假設(shè)我們得到某種一定分布的穩(wěn)恒電流，討論由其產(chǎn)生的靜磁場的基本行為。§4.1 磁場的矢勢方程和邊值關(guān)系一、矢勢靜磁場的基本方程是比較靜電場：有源、無旋引入標(biāo)勢；磁場：無源、有旋引入一個(gè)矢量。即

2、 根據(jù)Stokes定理矢勢A的物理意義：矢勢沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。注意： 只有A的環(huán)量才有物理意義，而在每點(diǎn)上的A(x)值沒有直接的物理意義。 矢勢A可確定磁場B，但由B并不能唯一地確定A，這是因?yàn)閷?duì)任意函數(shù)。即A+ 和A對(duì)應(yīng)于同一個(gè)B，A的這種任意性是由于A的環(huán)量才有物理意義的決定的，從A的定義式來看，A可以加任意的法向分量對(duì)于同一個(gè)B。電勢也有同樣的任意性：可加任意常數(shù)，對(duì)應(yīng)相同電場.二、矢勢微分方程本構(gòu)關(guān)系（假設(shè)為線性、各向同性介質(zhì)）為。類似于靜電情形，設(shè)法把磁場方程化到標(biāo)準(zhǔn)形式。利用，可得靜磁場滿足（庫倫規(guī)范）此結(jié)論可由Biot-Sarvert定律

3、推出（見第1章），上式變成式即為我們熟知的泊松方程，只不過現(xiàn)在其表現(xiàn)成矢量得方程亦即每一個(gè)的分量場都滿足泊松方程。所以矢勢和標(biāo)勢在靜場時(shí)滿足同一形式的方程。寫成直角分量：對(duì)比靜電勢方程，用替換。因此，對(duì)比靜電場的勢可得到矢勢的解：磁場為注意上式推導(dǎo)中只對(duì)場點(diǎn)微分，用到。作變換得到畢奧 . 薩伐爾定律* 以下為選讀內(nèi)容Tips:不僅如此，場能的表達(dá)式也完全類似。靜電場能量為靜磁場的能量為乍一看，你一定以為與的地位類似（都是勢），而與的地位一致（都是源）。然而其實(shí)不盡然 在有些情況下，與，與的地位一致（參考Landau 或者Jackson的書）。嚴(yán)格推導(dǎo)需要很大的篇幅，但我們可以從一個(gè)簡單的Arg

4、ument來理解：在靜電學(xué)中，當(dāng)我們將電荷給定時(shí)，相當(dāng)于使導(dǎo)體成為孤立導(dǎo)體，任何外界的變動(dòng)都不會(huì)改變孤立導(dǎo)體上的電荷； 當(dāng)我們給定時(shí)，外界的變化會(huì)改變導(dǎo)體的電勢因此必須有“外源”輸出或抽出能量以保持恒定電勢?，F(xiàn)在我們看靜磁學(xué)，給定電流情況下，如果外界發(fā)生改變則驅(qū)動(dòng)電場相應(yīng)發(fā)生變化，此時(shí)也必須從“電動(dòng)勢”輸出或抽出能量以保持恒定電流。從這個(gè)意義上講，與的地位一致！*三、矢勢邊值關(guān)系在兩個(gè)磁介質(zhì)的交界面上相應(yīng)的邊值關(guān)系為 在介質(zhì)分區(qū)均勻時(shí)，我們還要導(dǎo)出關(guān)于的邊值關(guān)系。對(duì)應(yīng)式我們有 式可進(jìn)一步簡化為 其中const與界面上的位置無關(guān)。仿照我們以前在靜電學(xué)中對(duì)電勢的邊界條件的處理，將關(guān)系式應(yīng)用到交界面

5、的一個(gè)閉合回路上，只要在交界面上是有限的，則有這表示在邊界的切線方向的分量是連續(xù)的，亦即式中的Const等于0。如果再給出體系的邊界條件，就可以從及交界面關(guān)系和式唯一地解出和。§4.2 靜磁場的唯一性定理與靜電場類似，靜磁場也有唯一性定理，基本的理念是對(duì)確定的體系場由邊界條件唯一確定。對(duì)靜電問題，邊界條件可以是設(shè)定邊界上標(biāo)勢值，或者是場在邊界上垂直分量（與導(dǎo)體上的表面電荷有關(guān)）；與此相對(duì)應(yīng)，對(duì)靜磁問題，前者是邊界上的矢勢的切向分量（見邊界條件），后者是場的切向分量（與導(dǎo)體上的表面電流相關(guān)，見）。定理：如果靜磁體系V內(nèi)存在著電流和磁介質(zhì)，且關(guān)系式成立，則體系內(nèi)的磁場由電流和磁介質(zhì)的分布

6、及邊界條件（邊界上或的切向分量）唯一確定。證明：設(shè)對(duì)同一個(gè)體系存在兩組不同的解和，均滿足預(yù)設(shè)的邊界條件，則有根據(jù)場的線性疊加原理，我們可構(gòu)造一個(gè)新的場，即令，對(duì)于這樣一個(gè)場，顯然 我們來計(jì)算這個(gè)場的能量： 根據(jù)矢量混合積公式，中右方積分函數(shù)可改寫為根據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)式右端恒為0（無論哪一種邊界條件）。于是，由于體系的磁導(dǎo)率恒正，故要使積分值恒為零，被積函數(shù)必須恒為零，即可見，所設(shè)的兩個(gè)解是同一個(gè)解，定理得證。簡單的講，靜磁場的唯一性定理和靜電場的唯一性定理一樣，都表述的是：對(duì)以一個(gè)給定的物理問題，解由邊界條件唯一確定。當(dāng)然，它們的適用條件也是一樣的，只對(duì)B-H關(guān)系單調(diào)且一一對(duì)應(yīng)的體系成立。對(duì)鐵磁/

7、鐵電等體系，一個(gè)給定的E，B場對(duì)應(yīng)不同的D，H場，則唯一性定理不成立。§4.3 磁場的矢勢解法：二維問題原則上講，給定邊界條件以及電流分布（磁場的源），可以通過解泊松方程式求解矢勢從而進(jìn)一步求解磁場。然而真正利用解析方法解矢勢方程非常麻煩而且可解的問題并不太多。下面我們舉最簡單的一種體系二維的穩(wěn)定電流體系來介紹求解矢勢的方法。所謂二維問題，是指不僅體系的邊界面是二維的，而且體系內(nèi)的電流只沿著軸方向流動(dòng)。根據(jù)穩(wěn)定電流的條件可知，電流密度與方向的空間坐標(biāo)無關(guān)，即根據(jù)靜磁場的矢勢的定義，只有方向的分量；進(jìn)一步根據(jù)體系沿z方向的平移不變性，只能是，的函數(shù)。因此于是，所滿足的方程變成一個(gè)標(biāo)量方

8、程：下面舉一些例題來說明問題的求解。例1 空間沿z方向有一無限長載流直導(dǎo)線（載有電流I），求空間的矢勢分布。解 可先求空間的磁場分布，由安培定理可得（取柱坐標(biāo)系）根據(jù)，可利用Stokes定理有，選擇如圖所示的安培環(huán)路，則有積分可得其中const.取決于矢勢原點(diǎn)的選取。本例也可以用長帶電直導(dǎo)線的電勢類比得到。根據(jù)，可得，可以得到。當(dāng)然本例也可以用直接求出，不妨試試。例2 求均勻場對(duì)應(yīng)的失勢分布解：根據(jù)，以及可得因此有 也可以與均勻靜電場電勢類比得到。注：矢勢的選取并不唯一，除了可以差一個(gè)積分常數(shù)外，矢勢還可以任意加上一個(gè)“規(guī)范場”而不影響它們給出相同的磁場。這里這個(gè)結(jié)果的得到是基于電流沿z方向，

9、A的方向因此定下來沿z方向，其實(shí)就是取定了一個(gè)規(guī)范。比如也可以對(duì)應(yīng)同樣的磁場，這是所謂 Landau規(guī)范下的結(jié)果，你能證明這個(gè)結(jié)論并討論一下其對(duì)應(yīng)的電流分布嗎？例3 半徑為R的圓柱形磁介質(zhì)（磁導(dǎo)率為），放置于均勻的外磁場中，設(shè)柱外面為磁導(dǎo)率為的介質(zhì)。場的方向與柱軸垂直，求空間的場分布。解 如圖所示，空間分成兩個(gè)區(qū)域，的區(qū)域矢勢為， 的區(qū)域矢勢為，它們均滿足Laplace方程（沒有傳導(dǎo)電流）：考慮邊值關(guān)系。在的邊界上，顯然式即為 考慮邊界條件中的切向分量。利用柱坐標(biāo)系中的公式我們就可以把式寫成 把它們與介質(zhì)中的靜電方程和邊值關(guān)系比較，立即發(fā)現(xiàn)它們的形式完全一樣。因此，二維靜磁問題完全可以仿照靜電

10、問題中的各種解法來求解。其他邊界條件： 有限 包括均勻場的貢獻(xiàn)。即 下面我們根據(jù)上述條件利用本征函數(shù)展開法找出各區(qū)的解。根據(jù)問題的對(duì)稱性，可以展開成相應(yīng)的本征函數(shù)的線性疊加：根據(jù)邊界條件，易知：變成由邊界條件，得到以及 當(dāng)時(shí)，沒有非平凡解，亦即所有n>1時(shí)的參數(shù)均為0。當(dāng)時(shí)，由可以解得除了不重要的常數(shù)外，其余的系數(shù)均為零。故空間矢勢（取常數(shù)為0）為根據(jù)矢勢可以容易地計(jì)算出磁場的形式。這里，柱外的磁場由外磁場和介質(zhì)磁化后的極化電流在柱子外產(chǎn)生的磁場，后者完全等價(jià)于放置在原點(diǎn)處的一個(gè)2維偶極子，柱內(nèi)的場為一均勻磁場，包含了外磁場以及“退磁場”的貢獻(xiàn)。Tips：從上一章到這一章的這么多例子中，

11、我們可以清楚地明白，均勻外場下對(duì)柱、球等的影響只是激發(fā)項(xiàng)（即偶極項(xiàng)），其他的項(xiàng)都是0。這個(gè)原因也很簡單，均勻場的勢正比于r的一次方，因此它也只作用到這個(gè)子空間。明白了這個(gè)道理，以后再做相應(yīng)的題目時(shí)可直接僅僅保留項(xiàng)（對(duì)均勻外場），結(jié)果的正確性由唯一性定理保證，以簡化計(jì)算書寫步驟。§4.4 磁場的標(biāo)量勢解法一、磁標(biāo)勢上面我們介紹了磁場的矢勢解法。盡管物理圖像直接，但因是矢量場，運(yùn)算極其繁復(fù)，實(shí)用性（特別是解析計(jì)算）不強(qiáng)。對(duì)比靜電場，如果能引入標(biāo)量勢就容易多了。帶著這個(gè)目的，讓我們考察靜磁場滿足的方程如果所考察的空間區(qū)域沒有傳導(dǎo)電流，則有上式提醒我們似乎可以據(jù)此引入標(biāo)勢（稱為磁標(biāo)勢） 但是

12、，只有這個(gè)條件還不夠，原因是能引入的前提條件是保守場，亦即其中C為空間中的任意閉合回路。只有H場對(duì)任意環(huán)路的積分都為0，才能對(duì)一個(gè)點(diǎn)唯一確定標(biāo)勢。在很多情況下，已經(jīng)可以導(dǎo)致保守場，但有些情況下，即使考慮的局域空間中沒有電流，仍不成立。比如對(duì)一個(gè)載流線圈，若我們做一個(gè)輪胎狀的東西將空間有電流的部分完全清除（如右圖所示），選擇C1，C2，C3等3個(gè)環(huán)路，對(duì)C1，C3來說，均成立，對(duì)C2來講不成立。，意味著是空間同一點(diǎn)的標(biāo)勢值不唯一。因此，僅有“無傳導(dǎo)電流”這一條件還不能保證的單值性。為了解決這個(gè)問題，我們引入以電流環(huán)為邊界的任意曲面，并規(guī)定積分路徑不允許穿過此曲面。直觀地看，這個(gè)以電流環(huán)為邊界的任

13、意曲面對(duì)積分路徑來說是個(gè)剛性的屏障，使得任何閉合積分路徑都穿不過去，這樣的曲面稱為“磁殼”。為了引入“磁標(biāo)勢”，我們必須必須引入“磁殼”使得空間變成單連通！這樣，就阻擋了那些有可能環(huán)繞電流的回路。這樣的空間中不再是多值的了。但代價(jià)是：在磁殼的兩邊不連續(xù)，必須設(shè)定合適的邊界條件?？紤]磁殼的某一點(diǎn)上下的磁標(biāo)勢的差，按照定義，這個(gè)差值就是磁場沿某一路線在單連通空間由“+”這一點(diǎn)積分到“-”這一點(diǎn)： 而另一方面，根據(jù)安培定律，這個(gè)積分的數(shù)值是：。所以在“磁殼”的上下表面磁標(biāo)勢有一個(gè)的跳躍，這就是磁標(biāo)勢在磁殼上的邊界條件。 l 注：某種意義上講，多聯(lián)通空間中磁標(biāo)勢的“多值性”就像是幾何上多個(gè)黎曼面的問題

14、，引入“磁殼”就是選定其中一個(gè)“黎曼面”來工作。二、線性磁介質(zhì)中磁場問題對(duì)于順磁、抗磁兩種線性磁介質(zhì)，本構(gòu)關(guān)系成立。因此在定義了合適的磁殼之后的區(qū)域內(nèi)，有。將其代入式可得。在分塊均勻的每一塊磁介質(zhì)內(nèi)部，是常數(shù)，因此有 我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)磁標(biāo)勢滿足和電標(biāo)勢完全一樣的Laplace方程，在這種條件下，電-磁有著完美的對(duì)稱因此，無須推導(dǎo)就可以直接將電勢的邊界條件應(yīng)用到兩塊磁介質(zhì)界面上，得到磁標(biāo)勢的邊界條件所以，對(duì)無源的線性磁介質(zhì)中磁場問題，需在邊界條件條件下求解方程。 解法技巧可借鑒電場的標(biāo)勢問題-唯一應(yīng)當(dāng)注意的是此時(shí)E與H對(duì)應(yīng)，盡管物理上講H不是真實(shí)的磁場！例1 真空中將一個(gè)半徑為R的磁介質(zhì)球（）放置于

15、均勻磁場（）中，求空間的B場分布。解：這個(gè)問題和第二章第四節(jié)中的例5一樣，只要把那里的，即可求出空間的磁標(biāo)勢定義，則空間的H場可因此求出進(jìn)一步可以求出B場對(duì)比真空中一個(gè)磁矩為的磁偶極子產(chǎn)生的磁感應(yīng)場，我們發(fā)現(xiàn)磁化球產(chǎn)生的外場相當(dāng)于一個(gè)放置于原點(diǎn)處磁矩為的偶極子。因此磁介質(zhì)球被磁化后對(duì)外界表現(xiàn)為一個(gè)磁偶極子。磁偶極子的磁標(biāo)勢和電偶極子的電標(biāo)勢之間有著很好的對(duì)稱性：與靜電場問題類似，磁介質(zhì)球內(nèi)部的H場也是均勻磁場，強(qiáng)度小于外 H 場（因?yàn)橛型舜艌龅脑颍?。注： 磁標(biāo)勢中沒有，這是為什么？ 退磁場的概念是對(duì)B場還是對(duì)H場？討論一下介質(zhì)內(nèi)的B場與外場的大??？【例2】均勻磁介質(zhì)球殼放在均勻外磁場中，求

16、場分布。解 設(shè)介質(zhì)球殼的內(nèi)外半徑分別為、，球殼的磁導(dǎo)率為。取方向?yàn)闃O軸方向的球坐標(biāo)系，把空間分成三個(gè)區(qū)域：。三個(gè)區(qū)域都沒有傳導(dǎo)電流，因此可使用磁標(biāo)勢，相應(yīng)的邊界條件為 時(shí) 有限 時(shí)原則上，我們?nèi)詰?yīng)將展開成本征函數(shù)的疊加。但經(jīng)驗(yàn)告訴我們只有l(wèi)=1項(xiàng)非0。引入如下試解：根據(jù)邊界條件（1），（4），可以知道利用四個(gè)邊值關(guān)系確定系數(shù)，我們比較關(guān)心其中的2項(xiàng)下面分析一下結(jié)果。從磁標(biāo)勢的結(jié)果中可以看出，球殼外的場是均勻場和偶極子場的疊加。 與磁偶極子的標(biāo)勢對(duì)比發(fā)現(xiàn)整個(gè)球殼磁化后對(duì)外場表現(xiàn)為一個(gè)磁偶極矩的磁偶極子。分析幾個(gè)極限行為： 在或時(shí)，誘導(dǎo)磁矩消失； 當(dāng)時(shí)，回到之前的例題； 當(dāng)時(shí)，磁偶極矩，它與R的大

17、小無關(guān)，與一個(gè)金屬球（或者是金屬球殼）對(duì)外電場的響應(yīng)類似。 球殼內(nèi)的場是均勻場，其大小為。當(dāng)時(shí)，球殼內(nèi)的磁場這就是所謂的磁屏蔽。選擇的材料越大，殼層越厚（即），則屏蔽效果越好。注： 在電的世界中，我們有自由電荷，而由自由電荷組成的介質(zhì)就是金屬導(dǎo)體，其對(duì)電場完全屏蔽，相當(dāng)于的電介質(zhì)；前面我們講到當(dāng)時(shí)，在靜電學(xué)的范疇內(nèi)也可以完全等效于一個(gè)導(dǎo)體。在磁的世界中，由于沒有磁單極子的存在，我們沒有類似金屬導(dǎo)體的“磁導(dǎo)體”。然而要實(shí)現(xiàn)類似一個(gè)“磁導(dǎo)體”一樣對(duì)磁場的響應(yīng)，我們可以利用的磁介質(zhì)在靜磁學(xué)的范疇內(nèi)，其響應(yīng)與 “磁導(dǎo)體”一致。然而要實(shí)現(xiàn)高的、并不容易，目前的一個(gè)前沿課題就是基于“Metamateria

18、l”的理念來實(shí)現(xiàn)任意的、。 計(jì)算多層介質(zhì)膜對(duì)外場的響應(yīng)時(shí)，由于直接計(jì)算邊值關(guān)系比較復(fù)雜，有時(shí)常采用“轉(zhuǎn)移矩陣”的方法。其理念是根據(jù)層和層之間的邊值關(guān)系確定與之間的關(guān)系，并寫成一個(gè)矩陣的形式：，以此類推可以推知最外層和最內(nèi)層的轉(zhuǎn)開系數(shù)之間的關(guān)系最后根據(jù)最外層和最內(nèi)層的邊值條件確定相應(yīng)系數(shù)。這種方法是非常一般且有用，可用在所有多層體系（板、柱、球）的“波” （量子、靜電、靜磁、電磁波。 。 。 ）的散射問題。三、鐵磁介質(zhì)問題鐵磁介質(zhì)中，但總是成立的，根據(jù)，有若空間為無傳導(dǎo)電流并且是單連通的，則取磁標(biāo)勢，代入可得： 若空間無傳導(dǎo)電流且單連通，則可定義磁標(biāo)勢。在鐵磁介質(zhì)的問題中，是H的函數(shù)，由磁滯回路

19、決定。換言之，是的隱函數(shù)，這使得變?yōu)?，這是關(guān)于的一個(gè)非常復(fù)雜的方程，很難處理。必須明確知道M和H的關(guān)系才可以求解。右圖是個(gè)非常典型的鐵磁介質(zhì)的磁化曲線，從中我們發(fā)現(xiàn)在不同的過程對(duì)應(yīng)不同的物理。A 初始磁化過程鐵磁介質(zhì)一開始處于無磁性狀態(tài)，加上磁場后磁矩出現(xiàn)。在這個(gè)過程中 ，與順磁介質(zhì)一樣（見上圖），相應(yīng)的方程為。B 飽和磁化 當(dāng)時(shí)，鐵磁介質(zhì)達(dá)到飽和磁化，變成與外界無關(guān)，再加外場都不會(huì)增加磁矩的大小。因此就變成了一個(gè)常數(shù)，可以決定磁標(biāo)勢的有效的“源”，因此可定義稱為磁荷密度，而磁標(biāo)勢滿足的方程為標(biāo)準(zhǔn)的Poisson方程 在這里，磁荷對(duì)磁標(biāo)勢起的作用與電荷對(duì)電標(biāo)勢的作用類似。* 以下為選讀內(nèi)容C

20、靠近剩余磁矩點(diǎn)時(shí)的行為當(dāng)體系被飽和磁化后再逐漸撤掉外磁場，在一般情況下，這個(gè)過程中H與M的關(guān)系可近似為其中為剩余磁矩。將代入，并整理可得 此時(shí)的物理行為仍然是有“磁荷”作為源的Possion方程，只是處于一個(gè)順磁介質(zhì)的背景中?？梢哉f是將體系的順磁性與飽和磁矩兩樣貢獻(xiàn)分開。*下面求在兩個(gè)磁介質(zhì)交界面上的關(guān)系。根據(jù)，只要H在邊界處不發(fā)散，邊界條件 始終成立?？紤]對(duì)應(yīng)的邊界條件，顯然有，對(duì)情況B有 * 以下為選讀內(nèi)容 對(duì)情況C有： *可見，交界面上的關(guān)系和靜電介質(zhì)完全類似。因此，引入磁荷和磁標(biāo)勢的好處在于我們可以借用靜電學(xué)中的方法，第二章中討論的許多方法都可運(yùn)用。這在處理永久磁石所激發(fā)的磁場等問題時(shí)

21、特別方便因?yàn)閷?duì)此類問題，體系本來就不存在“傳導(dǎo)電流”有是單連通的，因此磁標(biāo)勢方法天然適用。 【例3】求半徑為R的球形永久磁鐵（假設(shè)被飽和磁化）所激發(fā)的磁場?！窘狻?把空間分成球內(nèi)和球外兩部分，整個(gè)空間不存在傳導(dǎo)電流，因此球內(nèi)外均可用磁標(biāo)勢。球外空間，沒有磁矩因此磁荷，球內(nèi)區(qū)域有磁矩，但其為常數(shù)因此仍然沒有磁荷。所以均滿足Laplace方程：體系的邊值關(guān)系：（為球半徑）時(shí)邊界條件：時(shí)；時(shí)為有限值。將展開成本征函數(shù)的疊加，根據(jù)中邊界條件的對(duì)稱性，可以預(yù)期只有l(wèi)=1項(xiàng)非0（因?yàn)橹挥衛(wèi)=1項(xiàng)帶有的角度依賴關(guān)系）。只保留l=1項(xiàng)，再考慮了對(duì)解的限制，則試解為 代入得解得 所以 可見，球外空間的磁場是偶極

22、場，其磁偶極矩為 球內(nèi)的磁場強(qiáng)度 球內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 比較B場與H場的行為很有意思。B場線的法向是連續(xù)的，（因?yàn)椋?，但其在球的表面切向分量不連續(xù)（因，有磁化電流面密度）。H場與電場的行為類似，與B恰恰相反：其法向不連續(xù)，因?yàn)椋淝邢騾s連續(xù)。具體的場分布示意圖如下。這里面的物理是：B場看到的是磁化“電流”，看不到“磁荷”，H場恰恰相反，看到的是“磁荷”，看不到“電流”。 §4.5 磁多極矩展開 - 磁 偶 極 子若電流分布集中在一個(gè)小區(qū)域V中，而我們只討論遠(yuǎn)處的場，這時(shí)可以仿照靜電情況用多極矩展開的方法來處理。這里，我們重點(diǎn)討論磁偶極子的場、磁偶極子與外磁場的相互作用。一、磁多極展開

23、及磁偶極子產(chǎn)生的勢 在全空間問題中，矢勢的解為 類似靜電問題中的多極展開，把在區(qū)域V內(nèi)的某一點(diǎn)展開成的冪級(jí)數(shù)。若展開點(diǎn)取在坐標(biāo)的原點(diǎn)，則 只保留前兩項(xiàng)，代人矢勢表達(dá)式中得 其中 這里我們將不直接處理電流密度，而利用一個(gè)沒有證明其嚴(yán)格性但卻非常有啟發(fā)性的思路：將體積V內(nèi)的電流分成許多獨(dú)立的電流管道的疊加，因?yàn)槭欠€(wěn)恒電流，每個(gè)流管為閉合回路且電流為一常數(shù)。根據(jù)這一思路，第一項(xiàng) 與電場的情形對(duì)比，磁多極矩的第一項(xiàng)恒為0，事實(shí)上，這正是自然界沒有磁單極的顯現(xiàn)。根據(jù)同樣的思路，利用，我們計(jì)算第二項(xiàng)： 對(duì)方環(huán)或是圓環(huán)，上式都可以嚴(yán)格積分出來。對(duì)任意形狀，注意到，將上式中的積分進(jìn)行配分， 在閉合環(huán)路條件下上

24、式第一項(xiàng)為0。將中的積分分成2項(xiàng)，利用式，我們得到利用矢量叉乘的恒等式，可以被進(jìn)一步改寫其中 被定義為磁偶極矩。對(duì)磁偶極子，我們或多或少已在不同場合介紹其性質(zhì)，現(xiàn)再總結(jié)如下：（1）對(duì)于一個(gè)小的載流閉合線圈，其磁偶極矩寫成： 式中是電流回路的面積，方向取右手螺旋。這是我們熟知的結(jié)果，只不過此處給出的磁偶極矩的定義更一般。 (2) 磁偶極子產(chǎn)生的場在前面已經(jīng)導(dǎo)出來過 對(duì)一個(gè)磁偶極子產(chǎn)生的場，在沒有電流的地方（處）可以引入磁標(biāo)勢。利用與電偶極子的電場/電勢的比較，得到 （3）任意形狀的環(huán)形電流回路的標(biāo)勢對(duì)任意形狀的電流回路，若要考慮離環(huán)不很遠(yuǎn)處的場，這時(shí)磁偶極矩近似不精確。設(shè)回路中的電流強(qiáng)度為，我們

25、可以把以此回路為邊界的任意曲面切割成許多小塊，每小塊的邊界上都流有電流，電流的方向同大回路的電流方向相同，這樣，這些小塊邊界上電流相加的結(jié)果仍只在大回路中流有電流。對(duì)于每一小塊面積都相應(yīng)的有一個(gè)磁矩，其大小為，它在空間產(chǎn)生的磁標(biāo)勢為式中的是至觀察點(diǎn)的位置矢量，為這一小塊電流回路對(duì)觀察點(diǎn)張開的立體角。當(dāng)體系分得足夠小時(shí)，磁偶極子的描述變成精確的。于是，整個(gè)回路所產(chǎn)生的磁標(biāo)勢嚴(yán)格為 是回路對(duì)觀察點(diǎn)所張的立體角，是觀察點(diǎn)r的函數(shù)。其磁感應(yīng)強(qiáng)度為 正負(fù)的規(guī)定是：按電流的右手法則決定的面法線方向以后，若觀察點(diǎn)在的正方向，則，反之。注意當(dāng)觀察點(diǎn)穿過電流圍出的面積時(shí)，磁標(biāo)勢不連續(xù)。當(dāng)觀察點(diǎn)在面積上時(shí)，而當(dāng)其

26、在面積下時(shí)，故，。其實(shí)，這個(gè)表面正是我們上面講的“磁殼”，必須挖掉其才使得磁標(biāo)勢的定義有意義，盡管其上面并無電流。二、磁偶極子在外磁場中的能量、受力及力矩與電偶極子在電場中類似，下面我們考慮磁偶極子與外磁場中的能量。首先，前面已經(jīng)推導(dǎo)出任意電流分布情況下的體系的總磁能。 假設(shè)一個(gè)載流線圈構(gòu)成的磁偶極子（磁偶極矩為）處在遠(yuǎn)端的電流（簡單起見，假設(shè)為另外一個(gè)載流線圈（電流為）產(chǎn)生的靜磁場中，則體系的總磁能為 其中分別對(duì)應(yīng)電流產(chǎn)生的矢勢。類似電場的情形，似乎我們可以將前一項(xiàng)定義為體系的固有能，后一項(xiàng)定義為體系的相互作用能 進(jìn)一步，根據(jù)矢量勢的定義容易證明 因此有其中 分別為偶極子線圈中通過的外磁場的

27、通量以及源線圈中通過的磁偶極子磁場的通量。當(dāng)源足夠遠(yuǎn)時(shí)，可以將其磁場在線圈所處的空間中展開：代入上式并只保留第一項(xiàng)， 這個(gè)形式與電偶極子在電場中的相互作用能不同，似乎意味著在磁場中磁偶極子喜歡反平行于外磁場！這顯然是不合理的，但問題在哪里？問題出在對(duì)相互作用能以及固有能的定義上面。在電的情形，當(dāng)電偶極子在電場中發(fā)生平動(dòng)或是轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電場的固有能不發(fā)生變化，因?yàn)榕紭O子以及產(chǎn)生外電場的電荷分布并沒有發(fā)生變化（因?yàn)檫@里取的邊界條件為電荷體為孤立體系；如果將邊界條件取做等勢條件，情況會(huì)有所不同）。對(duì)磁場體系則有所不同，當(dāng)磁偶極子相對(duì)外磁場的位形發(fā)生變化時(shí)，會(huì)在線圈中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢。根據(jù)Faraday電磁

28、感應(yīng)定律，偶極子線圈和源線圈中產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢分別為偶極子線圈以及源線圈中的電流會(huì)因此被改變，此即是“互感效應(yīng)”。在這個(gè)過程中“固有能”不可能保持恒定不變。若我們要求在變化過程中與均保持不變（亦即不變），則必須由外接電動(dòng)勢做功抵消感生電動(dòng)勢的做功。在一個(gè)變動(dòng)過程中，外電源必須做的功為 其中是在過程中的變化。對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在我們根據(jù)能量守恒來看一下保持電流不變條件下的“磁相互作用能”。對(duì)比目標(biāo)線圈與源線圈的位形發(fā)生變化前后的初態(tài)與終態(tài)， 因?yàn)殡娏鲝?qiáng)度一致保持不變，體系的總能量變化包括：（1） 磁場相互作用的變化：；（2） 為了保證和維持不變，目標(biāo)線圈及原線圈所攜帶的電源必須提供的能量。因此，將

29、磁場與電源看成一體，電源中少了的能量。（3） 因此，線圈 + 電源這個(gè)系統(tǒng)總的能量的變化為：。因此可以定義有效相互作用能：與電偶極子在電場中的勢能（相互作用能）完全一樣！ 仿照電偶極子在電場受力及受力矩的推導(dǎo)，我們可推出磁偶極子在磁場中所受的力及力矩分別為Tips：電磁理論最難掌握的就是這一點(diǎn)了：許多物理量必須在注明是在什么條件下得到的。等勢條件和孤立導(dǎo)體的條件得到的結(jié)論截然不同，同樣，等電流條件和等矢勢也不相同。比如對(duì)一個(gè)平行板電容器，在等勢條件下和孤立條件下塞入一塊電介質(zhì)板時(shí)，介質(zhì)板受的力連符號(hào)都不同！§4.6 AharonovBohm效應(yīng)Ø 經(jīng)典電磁理論中，E 和B 能完全描述電場和磁場， 和A 是輔助物理量，和A不具有獨(dú)立物理意義。Ø 一般地，矢勢可相差一縱矢量場。即便是在（人為外加）規(guī)范條件下，矢勢也可相差一常矢量；另外，電勢也可相差一常數(shù)，這表明矢勢和標(biāo)勢不具有可觀測的物理效應(yīng)。一、A-B效應(yīng)實(shí)驗(yàn)裝置：電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，在雙縫后放一細(xì)長螺線管。實(shí)驗(yàn)