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文檔簡介

1、專題08 一元一次方程及其應用一、方程與整式、等式的區(qū)別(1)從概念來看:整式:單項式和多項式統(tǒng)稱整式。等式:用等號來表示相等關系的式子叫做等式。如2+3=5,mnnm等都叫做等式,而像3a+2b,3 m2n不含等號,所以它們不是等式,而是代數式。方程:含有未知數的等式叫做方程。如5x311。理解方程的概念必須明確兩點:是等式;含有未知數。兩者缺一不可。(2)從是否含有等號來看:方程首先是一個等式,它是用“”將兩個代數式連接起來的等式,而整式僅用運算符號連接起來,不含有等號。(3)從是否含有未知量來看:等式必含有“”,但不一定含有未知量;方程既含有“”,又必須含有未知數。但整式必不含有等號,不

2、一定含有未知量,分為單項式和多項式。二、一元一次方程的概念1.一元一次方程:一元一次方程的標準形式是:ax+b=0(其中x是未知數,a,b是已知數,且a0)。要點詮釋:一元一次方程須滿足下列三個條件:(1)只含有一個未知數;(2)未知數的次數是1次;(3)整式方程注意:方程要化為最簡形式,且一次項系數不能為零。2.方程的解:判斷一個數是否是某方程的解,將其代入方程兩邊,看兩邊是否相等三、一元一次方程的解法1.方程的同解原理(等式的基本性質)性質1:等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式,所得結果仍是等式。性質2:等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(除數不能是零),所得結果仍是等式。注意

3、:分數的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數,分數的值不變。2.解一元一次方程的一般步驟:(1)去分母。在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數,依據等式基本性質2,注意防止漏乘(尤其整數項),注意添括號。(2)去括號。一般先去小括號,再去中括號,最后去大括號,依據去括號法則、分配律,注意變號,防止漏乘。(3)移項。把含有未知數的項都移到方程的一邊,其他項都移到方程的另一邊(記住移項要變號),依據等式基本性質1,移項要變號,不移不變號。(4)合并同類項。把方程化成axb(a0)的形式,依據合并同類項法則,計算要仔細,不要出差錯。(5)系數化為1。在方程兩邊都除以未知數的系數a,得到方程的解xb/

4、a ,依據等式基本性質2,計算要仔細,分子分母勿顛倒。說明:理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況,并能進行簡單應用:a0時,方程有唯一解xb/a ;a=0,b=0時,方程有無數個解;a=0,b0時,方程無解。四、列一元一次方程解應用題1.列一元一次方程解應用題的一般步驟:(1)審審題:認真審題,弄清題意,找出能夠表示本題含義的相等關系。(2)設設出未知數:根據提問,巧設未知數(3)列列出方程:設出未知數后,利用等量關系寫出等式,即列方程。(4)解解方程:解所列的方程,求出未知數的值(5)答檢驗,寫答案:檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解,是否符合實際,檢驗后寫出答案,注意帶上單位。2.常

5、見的一些等量關系(1)行程問題:距離=速度·時間(2)工程問題:工作量=工效·工時(3)比率問題:部分=全體·比率(4)順逆流問題:順流速度=靜水速度+水流速度,逆流速度=靜水速度-水流速度(5)商品價格問題:售價=定價·折·,利潤=售價-成本,(6)周長、面積、體積問題:c圓=2r,c長方形=2(a+b),c正方形=4a,s圓=r2,s長方形=ab, s正方形=a2,s環(huán)形=(r2-r2),v長方體=abc,v正方體=a3,v圓柱=r2h ,v圓錐=r2h.【例題1】(2020重慶)解一元一次方程12(x+1)1-13x時,去分母正確的是()

6、a3(x+1)12xb2(x+1)13xc2(x+1)63xd3(x+1)62x【答案】d【分析】根據等式的基本性質將方程兩邊都乘以6可得答案【解析】方程兩邊都乘以6,得:3(x+1)62x,【對點練習】解方程:(1)4x=3(2x);(2)【答案】見解析?!窘馕觥浚?)去括號得:4x=63x,移項得:x+3x=64,合并得:2x=2,系數化為1得:x=1(2)去分母得:5(x1)2(x+1)=2,去括號得:5x52x2=2,移項得:5x2x=2+5+2,合并得:3x=9,系數化1得:x=3【點撥】按照解一元一次方程的步驟解就可以,注意移項時正負號的變化?!纠}2】(2020杭州)以下是圓圓解

7、方程x+12-x-33=1的解答過程解:去分母,得3(x+1)2(x3)1去括號,得3x+12x+31移項,合并同類項,得x3圓圓的解答過程是否有錯誤?如果有錯誤,寫出正確的解答過程【答案】見解析?!窘馕觥恐苯永靡辉淮畏匠痰慕夥ㄟM而分析得出答案圓圓的解答過程有錯誤,正確的解答過程如下:去分母,得:3(x+1)2(x3)6去括號,得3x+32x+66移項,合并同類項,得x3【對點練習】(2019湖南湘西)若關于x的方程3xkx+20的解為2,則k的值為【答案】4【解析】考查一元一次方程的解關于x的方程3xkx+20的解為2,3×22k+20,解得:k4【點撥】將解帶入方程,得到含有

8、k的方程,再解這個方程即可?!纠}3】(2020內江)我國古代數學著作增刪算法統(tǒng)宗記載“繩索量竿”問題:“一條竿子一條索,索比竿子長一托折回索子卻量竿,卻比竿子短一托”其大意為:現有一根竿和一條繩索,用繩索去量竿,繩索比竿長5尺;如果將繩索對半折后再去量竿,就比竿短5尺設繩索長x尺則符合題意的方程是()a12x(x5)5b12x(x+5)+5c2x(x5)5d2x(x+5)+5【答案】a【分析】設繩索長x尺,則竿長(x5)尺,根據“將繩索對半折后再去量竿,就比竿短5尺”,即可得出關于x的一元一次方程,此題得解【解析】設繩索長x尺,則竿長(x5)尺,依題意,得:12x(x5)5【對點練習】(20

9、19襄陽)九章算術是我國古代數學名著,卷七“盈不足”中有題譯文如下:今有人合伙買羊,每人出5錢,會差45錢;每人出7錢,會差3錢問合伙人數、羊價各是多少?設合伙人數為x人,所列方程正確的是()a5x457x3b5x+457x+3cd【答案】b 【解析】設合伙人數為x人,依題意,得:5x+457x+3【點撥】以養(yǎng)總價格為不變量列含有未知數的等式?!纠}4】(2019湖北黃石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步”(出自九章算術)意思是:同樣時間段內,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步假定兩者步長相等,據此回答以下問題:(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,問孰

10、至于前,兩者幾何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人開始追趕,當走路慢的人再走600步時,請問誰在前面,兩人相隔多少步?(2)今不善行者先行兩百步,善行者追之,問幾何步及之?即:走路慢的人先走200步,請問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?【答案】(1)當走路慢的人再走600步時,走路快的人在前面,兩人相隔300步(2)走路快的人走500步才能追上走路慢的人【解析】(1)設當走路慢的人再走600步時,走路快的人的走x步,根據同樣時間段內,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步列方程求解即可。由題意得x:600100:60x10001000600100300所以當走路慢的人

11、再走600步時,走路快的人在前面,兩人相隔300步(2)設走路快的人走y步才能追上走路慢的人,根據同樣時間段內,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,及追及問題可列方程求解由題意得y200+yy500所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人【對點練習】(2019湖南岳陽)岳陽市整治農村“空心房”新模式,獲評全國改革開放40年地方改革創(chuàng)新40案例據了解,我市某地區(qū)對轄區(qū)內“空心房”進行整治,騰退土地1200畝用于復耕和改造,其中復耕土地面積比改造土地面積多600畝(1)求復耕土地和改造土地面積各為多少畝?(2)該地區(qū)對需改造的土地進行合理規(guī)劃,因地制宜建設若干花卉園和休閑小廣場,要求

12、休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的,求休閑小廣場總面積最多為多少畝?【答案】見解析?!窘馕觥浚?)設改造土地面積是x畝,則復耕土地面積是(600+x)畝根據“復耕土地面積+改造土地面積1200畝”列出方程并解答;由題意,得x+(600+x)1200,解得x300則600+x900所以改造土地面積是300畝,則復耕土地面積是900畝。(2)設休閑小廣場總面積是y畝,則花卉園總面積是(300y)畝,根據“休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的”列出不等式并解答由題意,得y(300y)解得y75故休閑小廣場總面積最多為75畝所以休閑小廣場總面積最多為75畝【點撥】根據“復耕土地面積+改造土地面積12

13、00畝”列出方程并解答是正確思路。一、選擇題1(2020金華)如圖,在編寫數學謎題時,“”內要求填寫同一個數字,若設“”內數字為x則列出方程正確的是()a3×2x+52xb3×20x+510x×2c3×20+x+520xd3×(20+x)+510x+2【答案】d【分析】直接利用表示十位數的方法進而得出等式即可【解析】設“”內數字為x,根據題意可得:3×(20+x)+510x+22.(2019貴州畢節(jié))如果3ab2m1與9abm+1是同類項,那么m等于()a2 b1 c1 d0【答案】a 【解析】根據同類項的定義得出m的方程解答即可根據

14、題意可得:2m1m+1,解得:m23.(2019杭州)已知九年級某班30位學生種樹72棵,男生每人種3棵樹,女生每人種2棵樹,設男生有x人,則()a2x+3(72x)30b3x+2(72x)30c2x+3(30x)72d3x+2(30x)72【答案】d【解析】設男生有x人,則女生(30x)人,根據題意可得:3x+2(30x)724(2020湖南長沙模擬)某車間有26名工人,每人每天可以生產800個螺釘或1000個螺母,1個螺釘需要配2個螺母,為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套設安排x名工人生產螺釘,則下面所列方程正確的是()a2×1000(26x)=800x b1000(13x)=80

15、0xc1000(26x)=2×800x d1000(26x)=800x【答案】c【解析】題目已經設出安排x名工人生產螺釘,則(26x)人生產螺母,由一個螺釘配兩個螺母可知螺母的個數是螺釘個數的2倍從而得出等量關系,就可以列出方程由題意得1000(26x)=2×800x,故c答案正確。二、填空題5(2020衢州)一元一次方程2x+13的解是x【答案】1【分析】將方程移項,然后再將系數化為1即可求得一元一次方程的解【解答】解;將方程移項得,2x2,系數化為1得,x16(2020株洲)關于x的方程3x8x的解為x【答案】4【分析】方程移項、合并同類項、把x系數化為1,即可求出解【

16、解析】方程3x8x,移項,得3xx8,合并同類項,得2x8解得x47(2020武威)暑假期間,亮視眼鏡店開展學生配鏡優(yōu)惠活動某款式眼鏡的廣告如下,請你為廣告牌填上原價原價:元暑假八折優(yōu)惠,現價:160元【答案】200【分析】設廣告牌上的原價為x元,根據現價原價×折扣率,即可得出關于x的一元一次方程,解之即可得出結論【解析】設廣告牌上的原價為x元,依題意,得:0.8x160,解得:x2008.(2019張家界)田畝比類乘除捷法是我國古代數學家楊輝的著作,其中有一個數學問題:“直田積八百六十四步,只云長闊共六十步,問長多闊幾何”意思是:一塊矩形田地的面積為864平方步,只知道它的長與寬共

17、60步,問它的長比寬多多少步?根據題意得,長比寬多步【答案】12 【解析】設長為x步,寬為(60x)步,x(60x)864,解得,x136,x224(舍去),當x36時,60x24,長比寬多:362412(步)9.方程(12x)=(3x+1)的解為_.【答案】x=【解析】這是一個帶分母的方程,所以要先去分母,再去括號,最后移項,化系數為1,從而得到方程的解7(12x)=3×2(3x+1)7+14x=18x+64x=13x=10.(2019貴州黔西南州)某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價,在某次電商購物節(jié)中,為促銷該商品,按標價8折銷售,售價為2240元,則這種商品的進價是

18、元【答案】2000【解析】一元一次方程的應用。設這種商品的進價是x元,由題意,得(1+40%)x×0.82240解得x200011.(2019貴州畢節(jié))某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價,在某次電商購物節(jié)中,為促銷該商品,按標價8折銷售,售價為2240元,則這種商品的進價是元【答案】2000【解析】設這種商品的進價是x元,根據提價之后打八折,售價為2240元,列方程解答即可由題意得,(1+40%)x×0.82240解得:x200012.(2019湖南湘西州)若關于x的方程3xkx+20的解為2,則k的值為【答案】4【解析】關于x的方程3xkx+20的解為2,3&

19、#215;22k+20,解得:k4三、解答題13.解方程:【答案】x=【解析】這是一個帶分母的方程,所以要先去分母,再去括號,最后移項,化系數為1,從而得到方程的解左右同乘12可得:32x(x1)=8(x1),化簡可得:3x+3=8x8,移項可得:5x=11,解可得x=故原方程的解為x=14解方程(1)4(x1)3(20x)=5(x2);(2)x=2【答案】見解析?!窘馕觥浚?)去括號得:4x460+3x=5x10移項得:4x+3x5x=4+6010合并得:2x=54系數化為1得:x=27;(2)去分母得:6x3(x1)=122(x+2)去括號得:6x3x+3=122x4移項得:6x3x+2x=1243合并得:5x=5系數化為1得:x=115(2020攀枝花)課外活動中一些學生分組參加活動,原來每組6人,后來重新編組,每組8人,這樣就比原來減少2組,問這些學生共有多少人?【答案】見解析?!痉治觥吭O這些學生共有x人,先表示出原來和后來各多少組,其等量關系為后來的比原來的少2組,根據此列方程求解【解析】設這些學生共有x人,根據題意得x6-x8=2,解得x48答:這些學生共有48人16(2020涼山州)解方程:x-x-22=1+2x-13【答案】見解析。【分析】根據解一元

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