復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

1、為常數(shù)）(x)x)(2(11)a0,lna(aa)a)(3 (xx且1)a, 0a (xlna1)xlog)(4(a且sinx(8)(cosx) e)e)(5 (xxx1(6)(lnx) cosx )sinx)(7 (基本求導(dǎo)公式基本求導(dǎo)公式: :知識回顧知識回顧：)( 0,)(1 (為常數(shù)特殊的：CCkbkx根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程可以用下面的流程圖來表示用下面的流程圖來表示 ）（給定函數(shù)xfy xxfxxfxy）（）（計算 0 x )(xAxy )()(xAxf 法則法則1 1: : 兩個函數(shù)的兩個函數(shù)的和（或差）的和（或差）的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，等于這兩

2、個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差），即：（或差），即：).()( )()(xgxfxgxf法則法則2:2:).( )(為常數(shù)CxfCxCf法則法則3:3:兩個函數(shù)的兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)積的導(dǎo)數(shù)，等于，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘乘以第二個函數(shù)以第二個函數(shù)加加上第一個函數(shù)上第一個函數(shù)乘乘以第二個函數(shù)以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)).()()()( )()(xgxfxgxfxgxf法則法則4 4 : :兩個函數(shù)的兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)商的導(dǎo)數(shù)，等于分，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方與分子的積，再除以分母的平方,

3、,即：即： )()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23) 1;yxxxyxyxyxx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy 簡單復(fù)合函數(shù)簡單復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù):)(ufy )(xu 由幾個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，叫復(fù)合函數(shù)由幾個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，叫復(fù)合函數(shù)由函數(shù)由函數(shù) 與與 復(fù)合而成復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是的函數(shù)一般形式是，其中其中u稱為中間變量稱為中間變量)(xfy目前我們所研

4、究的簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)目前我們所研究的簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅限于形如僅限于形如f（ax+b）的復(fù)合函數(shù)）的復(fù)合函數(shù)求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。2(32)yx方法一：方法一：22(32) (9124) 1812xyxxxx問題探究問題探究： 2(32)yx2()2uyuu(32)3xuxxuxuyy方法二：方法二：2yu32ux看作是函數(shù)看作是函數(shù) 和函數(shù)和函數(shù)復(fù)合函數(shù)，并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：復(fù)合函數(shù)，并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：兩個導(dǎo)數(shù)相乘，得兩個導(dǎo)數(shù)相乘，得 從而有從而有 12183) 23 ( 232 xxuuyxu將函數(shù)將函數(shù)； 問題探究問題探究： 考察函數(shù)考察函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5、。xy2sinxxxycossin22sin:一方面xxxxxxxxxx2cos2sin2cos2)(cossin2cos)(sin2)cossin2()2(sin22 xyxuxuyy另一方面：另一方面：復(fù)合函數(shù)，并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：復(fù)合函數(shù)，并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：兩個導(dǎo)數(shù)相乘，得兩個導(dǎo)數(shù)相乘，得 從而有從而有 x2cos2xy2sinuysin看作是函數(shù)看作是函數(shù) 和函數(shù)和函數(shù)xu2uuyucos)(sin2)2(xux將函數(shù)將函數(shù)2)(cos uuyxu分分解解求求導(dǎo)導(dǎo)相相乘乘回回代代建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué) 對于一般的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立對于一般的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立 。 復(fù)合函

6、數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)量對自變量的導(dǎo)數(shù) ，即，即一般地，我們有一般地，我們有u=ax+b時，有時，有ayyux即：若若 y=f(u),u=ax+b，則，則xuxuyyxuxuyy復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：(1)分解分解(2)求導(dǎo)求導(dǎo)(3)相乘相乘(4)回代回代 數(shù)學(xué)運用數(shù)學(xué)運用試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxy

7、xy數(shù)學(xué)運用數(shù)學(xué)運用求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxyxyuycos21xuuylnxuln)1cos(2xy)ln(ln xy 例例寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), ,并并求它們的導(dǎo)數(shù)。求它們的導(dǎo)數(shù)。 ，；，解：解： )1sin(22xxy1)ln(xxy 1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：xyeyxyxyx1ln)4( ;) 3(;)31 ()2( ;) 32() 1 (2322、求曲線、求曲線y=sin2x在點在點P(，0）處的）處的切線方程。切線方程。小結(jié)小結(jié) ： 復(fù)合

8、函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)； 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是： 分解分解求導(dǎo)求導(dǎo)相乘相乘回代回代 練習(xí)：練習(xí)：課本課本 P P2424 練習(xí)練習(xí)No.3No.3；課本課本 P P2222No.6. No.6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解解:)()(xxxxxxy12124333(2)51 xxy解解:)()(xxxxy115154)()(1161242233x

9、xxxx43121)( )(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx “可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加以證導(dǎo)數(shù)加以證明明:證證:當(dāng)當(dāng)f(x)為為可導(dǎo)的偶函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)時時,則則f(-x)=f(x).兩邊同時對兩邊同時對x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得: ,故故 為為 奇函數(shù)奇函數(shù).)()()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可證另一個命題同理可證另一個命題. 我們還可以證明類似的一個結(jié)論我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也

10、是周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).證證:設(shè)設(shè)f(x)為為可導(dǎo)的周期函數(shù)可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個為其一個周期周期,則對定義則對定義 域內(nèi)的每一個域內(nèi)的每一個x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時對兩邊同時對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得: 即即 也是以也是以T為為周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù).),()(xfTxTxf ).x (f)Tx (f) x (f例例5:設(shè)設(shè)f(x)可導(dǎo)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxx

11、xxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 說明說明:對于抽象函數(shù)的求導(dǎo)對于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則.求證雙曲線求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓與橢圓C2:4x2+9y2=72在交在交 點處的切線互相垂直點處的切線互相垂直.證證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標軸對稱由于曲線的圖形關(guān)于坐標軸對稱,故只需證明其中一故只需證明其中一 個交點處的切線互相垂直即可個交點處的切線互相垂直即可.聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,2),