指數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題(問題詳解)

1、.指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù) yax (a0且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中x 是自變量，函數(shù)定義域是R2. 指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)：x， y=10 x ，y= 1x在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2 x ，y= 1圖象 .210xx我 們 觀 察 y= 2 x ， y=1， y= 10 x ， y=1圖象特征，就可以得到210y ax (a 0且a1) 圖象和性質(zhì)。a>10<a<1圖象66554433221111-4-2246-4-224600-1-1(1) 定義域： R性（2）值域：（0，+）質(zhì)（3）過點(diǎn)（ 0，1），即 x=0 時(shí)， y=1（4）在 R 上是增函數(shù)（4）在 R

2、 上是減函數(shù)指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)基本初等函數(shù)， 有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)題目類型較多， 同時(shí)也是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)和高考考查重點(diǎn)， 本文對此部分題目類型作了初步總結(jié)，與大家共同探討1比較大小例 1已知函數(shù) f (x)x2bxc 滿足 f (1x)f (1x) ，且 f (0)3 ，則 f (bx ) 與'.xf ( c )大小關(guān)系是 _分析：先求 b，c 值再比較大小，要注意bx， cx 取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)解：f (1 x)f (1 x) ，函數(shù)f ( x) 對稱軸是 x1 故 b 2，又 f (0)3 ， c3 函數(shù)f ( x) 在，1 上遞減，在 1， 上遞增若 x 0

3、，則 3x 2 x 1 ， f (3x ) f (2 x ) ；若 x0 ，則 3x2 x1 ， f (3 x )f (2 x ) 綜上可得 f (3 x ) f (2 x ) ，即 f (cx ) f (bx ) 評注：比較大小常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)單調(diào)性或中間量等對于含有參數(shù)大小比較問題，有時(shí)需要對參數(shù)進(jìn)行討論2求解有關(guān)指數(shù)不等式例 2 已知 (a22 a5)3 x(a22a 5)1 x ，則 x 取值范圍是 _分析：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解，注意底數(shù)取值范圍解： a25244 1，2a(a 1)函數(shù) y(a22a5) x 在 ( ， ) 上是增函數(shù)，1 3x1x ，解得 x4

4、 x 取值范圍是1 ， 4評注：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式， 需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同指數(shù)式，并判斷底數(shù)與 1 大小，對于含有參數(shù)要注意對參數(shù)進(jìn)行討論3求定義域及值域問題例 3求函數(shù) y1 6x 2 定義域和值域解：由題意可得 16x2 0 ，即 6x 2 1 ， x2 0 ，故 x 2 函數(shù) f (x) 定義域是 ，2 令 t6x 2 ，則 y1 t ，又 x 2 ， x2 0 0 6x2 1 ，即 0 t 1 0 1 t 1 ，即 0 y 1 '.函數(shù)值域是01， 評注：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域時(shí)，要注意定義域?qū)λ绊?最值問題例 4函數(shù) ya 2x2ax1(a0且 a1) 在

5、區(qū)間 11， 上有最大值14，則 a 值是 _分析：令 tax 可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問題，需注意換元后t 取值范圍解：令 tax ，則 t0 ，函數(shù) ya2 x2a x1 可化為 y (t 1)22 ，其對稱軸為t1當(dāng) a1 時(shí)， x11， ， 1 a x a ，即 1 t a aa當(dāng) ta 時(shí)，ymax(a1)2214 解得 a3 或 a5 （舍去）；當(dāng) 0 a1 時(shí)， x11， ， a ax 1 ，即 a t 1 ，aa1 時(shí)， ymax12 t1214 ，aa解得 a1 或 a1 （舍去）， a 值是 3 或 1 353評注：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求最值時(shí)注意一些方法運(yùn)用， 比如：換元

6、法，整體代入等5解指數(shù)方程例 5x 22 x80 解方程 33解：原方程可化為9 (3 x ) 280 3x9 0 ，令 t3x (t0) ，上述方程可化為9t 280t 90 ，解得 t9 或 t1（舍去）， 3x9， x2 ，經(jīng)檢驗(yàn)原方程9解是 x2 評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗(yàn)根6圖象變換及應(yīng)用問題例 6 為了得到函數(shù) y 9 3x5 圖象，可以把函數(shù) y3 x 圖象（）A向左平移 9 個(gè)單位長度，再向上平移5 個(gè)單位長度B向右平移 9 個(gè)單位長度，再向下平移5 個(gè)單位長度C向左平移 2 個(gè)單位長度，再向上平移5 個(gè)單位長度'.D向右平移 2 個(gè)單位

7、長度，再向下平移5 個(gè)單位長度分析：注意先將函數(shù) y9 3x5 轉(zhuǎn)化為 t3x 25 ，再利用圖象平移規(guī)律進(jìn)行判斷解： y 9 3x5 3x 25 ，把函數(shù) y3x 圖象向左平移 2 個(gè)單位長度，再向上平移 5 個(gè)單位長度，可得到函數(shù) y 93x5 圖象，故選（ C）評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)重要方法，利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)圖象，并掌握圖象變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等習(xí)題1、比較下列各組數(shù)大?。?#39;.（1）若，比較與；'.（2）若，比較與；'.（3）若，比較與；'.（4）若，且，比較 a 與 b；'.（5）若，且，比

8、較 a 與 b'.解：（ 1）由，故，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)由'.，故'.（2）由，故又，故'.從而'.（3）由，因，故又'.，故從而'.（4）應(yīng)有因若，則又'.，故，這樣又因'.，故從而'.，這與已知矛盾'.（5）應(yīng)有因若，則又'.，故，這樣有又因'.，且，故從而'.，這與已知矛盾小結(jié)：比較通常借助相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、圖象來求解'.2，曲線分別是指數(shù)函數(shù),和'.圖象,則與 1 大小關(guān)系是 ().'.'.'.(分析 : 首先可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性

9、, 確定, 在'.軸右側(cè)令, 對應(yīng)函數(shù)值由小到大依次為'., 故應(yīng)選.小結(jié) : 這種類型題目是比較典型數(shù)形結(jié)合題目, 第(1) 題是由數(shù)到形轉(zhuǎn)化 , 第 (2) 題則是由圖到數(shù)翻譯 , 它主要目是提高學(xué)生識圖 , 用圖意識 . 求最值3，求下列函數(shù)定義域與值域 .14x+2x+1+1.(1)y 2 x 3 ; (2)y11解：(1) x-3 0， y2 x 3 定義域?yàn)?x xR且 x3. 又x310， 2 x 3 1，1y2 x 3 值域?yàn)?yy>0 且 y1.(2)y 4x+2x+1+1 定義域?yàn)镽. 2x>0, y 4x+2x+1+1 (2 x) 2+2

10、83; 2x+1(2 x+1) 2>1. y4x+2x+1 +1 值域?yàn)?y y>1.'.4，已知-1 x 2, 求函數(shù) f(x)=3+2 · 3x+1-9 x 最大值和最小值解：設(shè) t=3 x, 因?yàn)?-1 x 2，所以 1t9 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故當(dāng) t=33即 x=1 時(shí)， f(x) 取最大值 12，當(dāng) t=9 即 x=2 時(shí) f(x) 取最小值 -24 。5、設(shè)，求函數(shù)最大值和最小值'.分析：注意到，設(shè)，則原來函數(shù)成為，利用閉區(qū)間上二次函數(shù)值域求法，可求得函數(shù)最值'.解：設(shè)，由知，'.，函數(shù)成為，對稱

11、軸'.，故函數(shù)最小值為，因端點(diǎn)較'.距對稱軸遠(yuǎn)，故函數(shù)最大值為'.6（ 9 分）已知函數(shù) ya 2x2ax1(a1) 在區(qū)間 1,1 上最大值是 14，求 a值 .解： ya 2x當(dāng) a解得2a x1 ， ta=3 (1(a 1) ， 換元為 y t 22t 1( 1t a) ，對稱軸為 t1 .aa ，即 x=1 時(shí)取最大值，略 a= 5舍去 )7已知函數(shù)'.（且）'.（1）求最小值；（ 2）若，求取值范圍'.解：（ 1），當(dāng)即'.時(shí)，有最小值為'.（2），解得'.當(dāng)時(shí)，；'.當(dāng)時(shí)，8（10分）（1）已知f x2

12、m值；)是奇函數(shù)，求常數(shù) m(3x1（ 2）畫出函數(shù) y | 3x1| 圖象，并利用圖象回答： k為何值時(shí)，方程 |3 k無解？有一解？有兩解？解： （1）常數(shù) m=1（ 2）當(dāng) k<0時(shí)，直線 y=k與函數(shù) y | 3 x 1 | 圖象無交點(diǎn) , 即方程無解 ;當(dāng)k=0或 k 1時(shí), 直線 y=k與函數(shù) y | 3x 1| 圖象有唯一交點(diǎn)，所以方程有一解 ;當(dāng) 0<k<1 時(shí), 直線 y=k 與函數(shù) y | 3 x 1 | 圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程有兩解。'.9若函數(shù)是奇函數(shù)，求值'.解：為奇函數(shù)，即，'.則，'.10. 已知 9x-10

13、.3 x+90，求函數(shù) y=（ 1 ）x-1 -4 ·（ 1 ） x+2 最大值和最小值42解：由已知得（ 3x） 2-10 ·3x+90得（ 3x-9 ）（ 3x-1 ） 0 1 3x9 故 0x2而 y=( 1 ) x-1 -4 · ( 1 ) x+2= 4 ·（ 1 ）2x-4 ·（ 1 ）x+24222令 t= （ 1 ）x （ 1t 1）241 ）2+1則 y=f （t ）=4t 2 -4t+2=4 （t-2當(dāng) t= 1 即 x=1 時(shí)， ymin=1 2當(dāng) t=1 即 x=0 時(shí)， ymax=2'.11已知，求函數(shù)值域

14、9;.解：由得，即，解之得'.，于是，即'.，故所求函數(shù)值域?yàn)?2. (9 分) 求函數(shù) y2 x2 2x 2定義域，值域和單調(diào)區(qū)間定義域?yàn)?R 值域（ 0，8。（ 3）在（ - ， 1 上是增函數(shù)在 1，+）上是減函數(shù)。13 求函數(shù) y 1x 23x 2單調(diào)區(qū)間 .3分析 這是復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問題u,u x2-3x+2 ，其中 y 1u可設(shè) y 1為減函數(shù)33ux2-3x+2減區(qū)間就是原函數(shù)增區(qū)間 ( 即減減增 )ux2-3x+2 增區(qū)間就是原函數(shù)減區(qū)間 ( 即減、增減 )解：設(shè) y 1u,u x2-3x+2,y關(guān)于 u 遞減，3'.當(dāng) x (- ， 3 ) 時(shí)，

15、u 為減函數(shù)，2 y 關(guān)于 x 為增函數(shù)；當(dāng) x 3 ，+) 時(shí)，u 為增函數(shù)， y 關(guān)于 x 為減函數(shù) . 214 ，已知函數(shù) f(x) ax1x(a>0 且 a1).a1(1) 求 f(x) 定義域和值域； (2) 討論 f(x) 奇偶性； (3) 討論 f(x) 單調(diào)性 .解： (1) 易得 f(x) 定義域?yàn)?xxR.a x1xy1xy1設(shè) ya x1, 解得 a -y1 a >0當(dāng)且僅當(dāng) -y1>0時(shí)，方程有解 .解 - y 1 >0 得-1<y<1. y 1 f(x) 值域?yàn)?y-1 y1 .(2) f(-x) a ax1 1a x-f(x)且定

16、義域?yàn)?R， f(x) 是奇函數(shù) .x1 1a x(3)f(x) (ax1) 2 1-21.ax1a x1°當(dāng) a>1 時(shí)， ax+1 為增函數(shù)，且 ax +1>0.2為減函數(shù)，從而 f(x) 1-a x2 a x1 為增函數(shù) .2 °當(dāng) 0<a<1 時(shí)，類a x11a x1似地可得 f(x) a x1 為減函數(shù) .a x115、已知函數(shù) f （x） a2（a ），=2 x1R（ 1） 求證：對任何 aR，f （x）為增函數(shù)（ 2） 若 f （ x）為奇函數(shù)時(shí)，求 a 值。（ 1）證明：設(shè) x1x2f （x2） f （x1） =2(2 x22x1 )

17、0(1 2x1 )(12x2 )故對任何 aR，f （x）為增函數(shù)（2）Q xR ，又 f （x）為奇函數(shù)f (0)0得到 a10 。即 a1'.16、定義在 R 上奇函數(shù) f (x) 有最小正周期為2，且x (0,1)時(shí)， f (x)2x14 x（1）求 f ( x) 在 1，1 上解析式；（ 2）判斷 f ( x) 在（ 0， 1）上單調(diào)性；（3）當(dāng)為何值時(shí)，方程 f (x) =在 x 1,1 上有實(shí)數(shù)解 .解（ 1） xR上奇函數(shù) f (0)0又 2 為最小正周期 f (1)f (2 1)f ( 1)f (1)0設(shè) x（ 1，0），則 x（ 0， 1）， f (x)2x2 xf ( x)x4 x411 f ( x)2 x4x12 xx(-1,0)x1x2xx 2 x2x2 2 x1（ 2x1設(shè)f (x) f ( x )( 22)(22)12）40<x <x <112(4 x11)( 4x21)f