函數(shù)的冪級數(shù)展開實(shí)用教案

1、1一、泰勒一、泰勒(ti l)(ti l)級數(shù)級數(shù)上式兩端(lin dun)逐項(xiàng)求導(dǎo)，得第1頁/共33頁第一頁，共34頁。2 )(! )1(!)(01)(xxananxfnnn且展開式是唯一(wi y)的. 第2頁/共33頁第二頁，共34頁。3定義(dngy)的泰勒(ti l)級數(shù). 的麥克勞林級數(shù)(j sh).第3頁/共33頁第三頁，共34頁。4二、泰勒二、泰勒(ti (ti l)l)公式公式第4頁/共33頁第四頁，共34頁。5上述(shngsh)公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式.證略.第5頁/共33頁第五頁，共34頁。6三、函數(shù)三、函數(shù)(hnsh)(hnsh)的的泰勒展開泰勒

2、展開證由泰勒(ti l)公式證明(zhngmng)是顯然的.第6頁/共33頁第六頁，共34頁。7 0)(!)0(nnnxnf函數(shù) f(x) 展開成冪級數(shù) 的具體步驟：2. 寫出冪級數(shù) ，并求其收斂域 D. 0)(!)0(nnnxnf如果(rgu)是,則 f(x)在 D上可展開成麥克勞林級數(shù) 第7頁/共33頁第七頁，共34頁。8例1解第8頁/共33頁第八頁，共34頁。9即證得第9頁/共33頁第九頁，共34頁。10第10頁/共33頁第十頁，共34頁。11例2解第11頁/共33頁第十一頁，共34頁。12第12頁/共33頁第十二頁，共34頁。13例3收斂(shulin)域?yàn)椋? n 不為正整數(shù))特別(

3、tbi)，牛頓(ni dn)二項(xiàng)展開式第13頁/共33頁第十三頁，共34頁。14 一般用間接法：根據(jù)展開式的唯一性, 利用已知展開式, 通過變量代換、 四則運(yùn)算、 恒等變形(bin xng)、 逐項(xiàng)求導(dǎo)、 逐項(xiàng)積分等方法, 求展開式 .例4所以(suy)第14頁/共33頁第十四頁，共34頁。15兩邊(lingbin)求導(dǎo), 得例5),( x第15頁/共33頁第十五頁，共34頁。16例6解第16頁/共33頁第十六頁，共34頁。17例7解第17頁/共33頁第十七頁，共34頁。18基本基本(jbn)(jbn)展開式展開式第18頁/共33頁第十八頁，共34頁。19( n 不為正整數(shù))特別(tbi)1,

4、 1( x第19頁/共33頁第十九頁，共34頁。20),( x),( x例8解所以(suy) 第20頁/共33頁第二十頁，共34頁。21例9解法(ji f)1,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn第21頁/共33頁第二十一頁，共34頁。22所以(suy)解法(ji f)2),( x),( x例9第22頁/共33頁第二十二頁，共34頁。23例10解1| x第23頁/共33頁第二十三頁，共34頁。24例11解第24頁/共33頁第二十四頁，共34頁。25例12解由冪級數(shù)展開式的唯一性， 因此(ync)，第25頁/共33頁第二十五頁，共34頁。26 以上討論的均為麥克勞林級數(shù)

5、(j sh)，下面討論一下一般的泰勒級數(shù)(j sh)：其收斂(shulin)域?yàn)镈， )(Dx 一般利用麥克勞林級數(shù)(j sh)間接展開.第26頁/共33頁第二十六頁，共34頁。27例13解第27頁/共33頁第二十七頁，共34頁。28例14解而第28頁/共33頁第二十八頁，共34頁。29；1|34| x例14展展開開函函數(shù)數(shù)2312 xx為為( (4 x) )的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 解第29頁/共33頁第二十九頁，共34頁。30例15解),( x第30頁/共33頁第三十頁，共34頁。31例16解),( x第31頁/共33頁第三十一頁，共34頁。32練習(xí)(linx)：P251 習(xí)題(xt)七第32頁/共33頁第三十二頁，共34頁。33感謝您的觀看(gunkn)！第33頁/共33頁第三十三頁，共34頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)1。上述公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式.。函數(shù) f(x) 展開成冪級數(shù) 的具體步驟：。如果是,則 f(x)在 D上可展開成麥克勞林級數(shù)。( n 不為正整數(shù))。一般用間接法：根據(jù)展開式的唯一性, 利用已知展開式, 通過變量(binlin