中考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練：二次函數(shù)代數(shù)方面的應(yīng)用(含解析)

1、一、選擇題1. (2019 濰坊)拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1 .若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3 1=0 (t為實數(shù))在一1 V x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則 t的取值范圍是()A. 2<t<11B. t>2C. 6<t< 11 D. 2<t<6【答案】Ab【解析】由題意得：一1, b= 2,拋物線解析式為 y=x2-2x+3,當(dāng)一1vxv4時，其圖象如圖所不：2從圖象可以看出當(dāng) 2W tv11時，拋物線y=x22x+3與直線y=t有交點，故關(guān)于x的一元二次方程 x2+bx+3 1=0 (t為實數(shù))在一1vxv4的范圍內(nèi)有實數(shù)

2、根，則 t的取值范圍是2W t<11,故選擇A.方法二：把y=x2-2x+3-t ( - 1<x<4)的圖象向下平移 2個單位時圖象與x軸開始有交點，向下平移11個單位時開始無交點，故 2Wt<11,故選擇A.2. (2019 淄博)將二次函數(shù) y x2 4x a的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，若得到的函數(shù)圖象與直線y = 2有兩個交點，則a的取值范圍是()A. a>3B. a<3C. a>5D. a<5【答案】D.【解析】 y x2 4x a (x 2)2 (a 4),向左平移一個單位，再向上平移一個單位后的解析式為y (x 1)2

3、 (a 3),令 2 (x 1)2 (a 3),即 x2 2x a 4 0,由4 4(a 4)>0,得 a<5.3. (2019 湖州)已知a, b是非零實數(shù)，a b ,在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y1 = ax2 + bx與一次函數(shù)y2 = ax+ b的大致圖象不可能是()y【解析】由y ax2y axbbx解得x11yia bba,故直線與拋物線的兩個交點坐標(biāo)分別為(1, a+b)和V2 0b 一一 .（_ b, 0）,對于D選項，從直線過第一、二、四象限可知：a<0, b>0. a b , a+b<0.從而（1, a +ab）在第四象限，因此 D選項不正

4、確，故選 D.二、填空題14. （2019 安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于 x軸的直線l分別與函數(shù)y=x - a+1和y=x （2019濰坊）如圖，直線 y=x+1與拋物線y=x24x + 5交于A, B兩點，點P是y軸上的一個動點.當(dāng)4 PAB的周長最小時，SA PAB=.-2a x的圖象相交于 P, Q兩點，若平移直線l,可以使P, Q都在x軸的下方，則實數(shù) a的取值范圍是 .【答案】a> 1或av - 1【解析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意，畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合分析問題.本題問題的實質(zhì)是自變量 x在某個范圍

5、內(nèi)，兩個函數(shù)的值都小于0,即兩個函數(shù)交點中較小的值小于0.假設(shè)該兩個函數(shù)的交點位于 x軸上，則x-a+1=0, x = a1,代入二次函數(shù)的表達(dá)式中，得：（a-1）2-2a（a- 1）=0,解得：a= 1或a= - 1.當(dāng)a> 1時，隨著a的變大，直線向右平移運(yùn)動，拋物線向右、向下平移運(yùn)算，如圖，此時直線與拋物線的最底交點位于第四象限；當(dāng)av1時，隨著間的變大，直線向左平移運(yùn)動，拋物線向左、向下平移運(yùn)算，此時直線與拋物線的最底交點位于第三象限.綜上所述，a的取值范圍為a> 1或av 1.12【答案】一【解析】解方程組x 12，得:x 4x 5XiX2A (1, 2),(45),yi

6、V2作點A關(guān)于y軸的對稱點A：連接A'B交y軸于點P.0則 A' ( 1, 2).設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,則4k解得:3, 513135設(shè)直線AB與y軸的交點為C,則C (0, 1)A'B:PAB的周長最小時，點 P的坐標(biāo)為(0,Sa PAB=Sa PCB Sa PCA113113=(1) 4(1) 125251252.(2019 樂山) 如圖，點P是雙曲線C：(X0)上的一點，過點 P作x軸的垂線交直線 AB :k 22 于點Q,連結(jié)op , OQ.當(dāng)點p在曲線c上運(yùn)動，且點p在Q的上方時， POQ面積的最大值【答案】3P坐標(biāo)為(m,),mPQ，x軸，Q在【解

7、析】點P是雙曲線C : y4，入 一(x 0)上的一點，可設(shè)點 x1 八-x 2圖象上,2Q坐標(biāo)為(m,14,112=Xmx-( m 2= m 2 2m2414,1-m 2), pQ=f-(m 2), POQ面積 2m 23,當(dāng)m=2時， POQ面積的最大值為3.三、解答題22. (2019浙江省杭州市，22, 12分)(本題滿分12分)設(shè)二次函數(shù) y=(x-x 1)(x-x 2)( x 1,x2 是實數(shù))(1)甲求得當(dāng)x=0時，y=0;當(dāng)x=1時，y=0;乙求得當(dāng)x=1時，y=-1 .若甲求得的結(jié)果都正確你認(rèn)為乙求得22的結(jié)果正確嗎？說明理由.(2)寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸，并求該函數(shù)的最小

8、值.(用含x1,x2的代數(shù)式表示).(3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0 , m)和(1 , n)兩點(m, n 是實數(shù))，當(dāng) 0vx1x2v1 時.求證：0< mn< .160, 0), (1, 0),【解題過程】(1)當(dāng)x=0時，y=0;當(dāng)x=1時，y=0;二.二次函數(shù)經(jīng)過點(1- x1=0, x2=1,y=x (x-1 ) =x2-x ,當(dāng)x=時，y=-,，乙說點的不對;24工Xi + Z-l(X 1 n)(2)對稱軸為x=二，當(dāng)x=>_二時，y=-一!一2一是函數(shù)的最小值;224(3)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0, n)和(1, n)兩點，m=xx2, n=1-x 1-x2+x

9、%,1? 11? 1 Imn=-卬/)+1-(電下)4了-11 " 11 OVXYXzV 1, 0W-啊/)0W-叼？)+W4, 0V mn< .26. (2019 淮安)如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點 B的坐標(biāo)為(5, 0),點D的坐標(biāo)為(1, 3).(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點E是線段BD上的一點，過點 E作x軸的垂線，垂足為 F,且ED=EF,求點E的坐標(biāo)；G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由(3)試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點G,使得 ADG的面積是 BDG的面積的-?若存在，求出點5第26題圖第26題備用圖【解題過程】解：(1)二二

10、次函數(shù)的頂點 D的坐標(biāo)為(1, 3),且函數(shù)圖象過點 B(5, 0),.設(shè)函數(shù)解析式為y a(x 1)2 3,則a(5 1)23 2 x16316325x816(2)如圖所示,DBx.該二次的數(shù)的解析式為y(x 1)2 3,即16第26題答圖 .DCx 軸，EFx 軸, . BEFA BDC ,BE EFBD DC設(shè) EF=ED=m ,.m=旦8. ” 4 15"BF=3 8/ 5 5、 E （ 一）2 2r OF(3)根據(jù)題意知A、B兩點直線DGA、B兩點在直線DG的同旁，如圖的距離之比為2,則有35:3,3分兩種情形:BM 53164516點G為直線DH與拋物線y x216325

11、八人、人、一-x 的另個交一個交點,816G(0,345x 16163 2 3一 x -x168x得25 y1645或1645則有ANBMA、B兩點在直線DG的兩旁，如圖3,第26題答圖3,人 人 /日AH AN由 HAN s* HBN 得BH BM . AH=12 ,H(-15 , 0),又D的坐標(biāo)為(1 , 3).設(shè)DH的解析式為：y=kx+b ,15x bk b 3345.DH的解析式為y x .1616OA 3 一,OB 5直線DG經(jīng)過點O,其解析為y=3x.3x3 2 x16/日x25倚 y1615_ x 1或 ，45 y 3G(-15-45).綜上所述,存在符合條件的點G,其坐標(biāo)為

12、(0, 45)或(-15 45).16m ,y2 = 77 (m>0,x>0). x26. (2019 泰州)已知一次函數(shù) yi = kx+n(n< 0)和反比例函數(shù)如圖1,若n = 2,且函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過點A(3,4).求m、k的值；直接寫出當(dāng)y1>y2時x的范圍；(2)如圖2,過點P(1,0)作y軸的平行線l與函數(shù)y2的圖象相交于點B,與反比例函數(shù)y3="n(x>0)的圖象相交于點C.x若k= 2,直線l與函數(shù)y1的圖象相交于點 D.當(dāng)點過點B作x軸的平行線與函數(shù)y1的圖象相交于點【解題過程】(1).y2 =B、C、D中的一點到另外兩點的距

13、離相等時E.當(dāng)mn的值取不大于1的任意實數(shù)時 k的值及定值.，求m- n的值;，點B、C間的距離A(3,4)y i= kx+n 的圖象上?(m>0,x>0),過點a(3,4), , 4=(-m= 12,，反比例函數(shù)表達(dá)式為 ，且n= 2,，4= 3k 2,，k= 2,所以一次函數(shù)表達(dá)式為y1=2x2.12-y2=.又點x由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點A的坐標(biāo)為(3,4),所以當(dāng)x>3時,y1>y2.(2)因為k= 2,所以一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x+n直線l過點P(1,0),. . D(1,2+ n),B(1,m),C(1,n),又點 B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等

14、，. BD = BC或BD = DC或BC=CD,，2+ n-m=m- n;或m - (2+ n)= 2+ n - n,或 m n= n (2+n),，可得m n=1 或 m - n= 4 或 m n= 2;由題意可知，B(1,m),C(1,n),當(dāng)y1=m 時,kx+n = m,/. x = 口即點 E 的橫坐標(biāo)為 -.d = BC+BE =kk, m nm n 1 kk= 1,從而 d = 1.=(mn)(11、-)1,.m-n的值取不大于1的任意實數(shù)時，d始終 k,1 c是一個定值,.-.10,k26. (2019 株洲)已知二次函數(shù)2y ax bx c(a 0).2pxc=-1.求該二

15、次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；定義：對于二次函數(shù)qx r(p 0),滿足方程 y x的x的值叫做該二次函數(shù)的不動點求證：二次函數(shù)2axbx c有兩個不同的 不動點1 3 .一 一一. 一. .一2.一 .(2)設(shè)b= 2 c ,如圖所不，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y ax bx c的圖象與x軸分別相交于不同的兩點 A( xi , 0), B(x2, 0),其中xi<0, x2>0,與y軸相交于點C,連結(jié)BC,點D在y軸 的正半軸上，且OC= OD ,又點E的坐標(biāo)為(1,0),過點D作垂直于y軸的直線與直線 CE相交于點F,滿足/ AFC = / ABC . FA的延長線與BC的延長

16、線相交于點 P,若PC'5,求該二次函數(shù)的PA5a2 1表達(dá)式.O【解題過程】解：(1)=2=1, b= 2, c= - 1, y=x2-2x-1= (x-1) 2-2頂點坐標(biāo)為(1,-2);當(dāng) y=x 時，x=x2-2x-1, x2-3x-1=0 , . =9+4=13>0，有兩個不相同的實數(shù)根，即有兩個“不動點”AE EFCE EB . DF/ OE OC=OD,.OE為乙CDF的中位線, . E(1,0) , C(0 , c);.CE= 1 C2 =EF . A(Xi,0),B(x 2, 0), .AE=1-xi, BE=x2-1 ,1- 1+c2=(1-x i)(x 2-

17、1)=X 1+X2-X 1X2-1 ,2 c b c b cc 2-a a ac2 21 3 c c2a2c(c2 2)2a ' c=-2a. . / AFC= / ABC / P=/ P . PFS PBAPC CFPA ABPC 、5PA V5a2 1 , CF=2CE,AB=x-X1,2.c2 1 l5b2 4ac 1 3.-,b=2c,c=-2a., a2=1,.a>0,a=1.''' b=-4 , c=-2 ,，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x-21, 2),另一個交點是該二B, C兩點，點O為坐標(biāo)原y=kx+4 與二次函數(shù) y=ax2+c22.

18、 (2019 安徽)一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖象的一個交點坐標(biāo)為( 次函數(shù)圖象的頂點.(1)求k, a, c的值；(2)過點A (0, m) (0<m<4)且垂直于y軸的與二次函數(shù) y=ax2+c的圖象相交于 點，記 W=OA 2+BC2,求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求 W的最小值.解：(1)因為點(1, 2)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上，所以2=k+4,因為一次函數(shù)圖象的另一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點，則(0, c)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上，即c=4.又點(1, 2)也在二次函數(shù) y=ax (2019 湖州)已知拋物線 y=2x2 4x+c與x軸有兩

19、個不同的交點. (1)求c的取值范圍； (2)若拋物線y= 2x2 4x+c經(jīng)過點A(2 , m)和點B(3 , n),試比較m和n的大小，并說明理由. 解：(1)二拋物線y=2x2-4x+c與x軸有兩個不同的交點， 方程2x24x+ c=0有兩個不相等的實數(shù)根. ( 4)24X2X0 0.+c的圖象上，所以2=a+c,從而a= - 2.(2)方法一：因為點 A的坐標(biāo)為(0, m) (0<m<4),過點A且垂直于y軸的直線與二次函數(shù) y= - 2x2+4的圖 象交于點B, C,所以可設(shè)點B的坐標(biāo)為(xo, m),由對稱性得點 C的坐標(biāo)為(-xo, m),故BC=2| xo |.又點

20、B在二次函數(shù)y= - 2x2+4的圖象上，所以2xo2+4=m ,即 xo2=2 m,從而 BC2=4 xo2=8 - 2m.2又 OA=m ,從而 W=OA 2+BC2=m2- 2m+8=(m - 1)2+7(0 < m< 4),所以m=1時，W有最小值7.1.(2019 臺州)已知函數(shù)y= x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,4).(1)求b,c滿足的關(guān)系式；(2)設(shè)該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是 (m,n),當(dāng)b的值變化時，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式；(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，當(dāng)5<x< 1時，函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.解：(1)將點(2

21、,4)代入 y=x2+bx+c,得 4= ( 2)22b+c,，c=2b,二. b,c 滿足的關(guān)系式是 c= 2b.(2)把 c=2b 代入 y= x2+bx+c,得 y = x2+bx+2b, .,頂點坐標(biāo)是(m,n),n = m2+bm+2b,且 m=-，即 b= 2m, n=2(3) m24m.n關(guān)于 m的函數(shù)解析式為 n=m24m.(4)由(2)的結(jié)論，畫出函數(shù)y=x2+bx+c和函數(shù)y=x24x的圖象；函數(shù)y=x2+bx+c的圖象不經(jīng)過第三象限，(5)4<- b < 0.當(dāng)一4<- b w 2,即4< b< 8時，如圖1所示,x= 1時，函數(shù)取到最大值

22、y= 1+3b,x = b時,22222.函數(shù)取到最小值y= 8b b ,.,. （1+3b）- 8b b = 16,即 b，4b 60=0,，b=6,b2= 10（舍去）;當(dāng)一2<一 - < 0,8b b, 二（25 4442即=忘b<4時，如圖2所示,x= 5時，函數(shù)取到最大值 y=25-3b,x=- b時，函數(shù)取到最小值 y =28b b23b）- . .c< 2即為所求.b-b- =16,gP b220b+36=0,.b1=2,b2=18（舍去）;綜上所述，b 的值為 2 或 6.(2)二.拋物線的對稱軸為 x =在拋物線對稱軸的右側(cè), ,2<3,m v

23、n.4=1,而 a=2>0,2 2y隨x的增大而增大.3. (2019 涼山)已知二次函數(shù)y=x2+x+a1-2的圖象與x軸交于A (x1 , 0)、B (x2, 0)兩點，且x11-2*2 d=1 ,求a的值.解：對于拋物線y=x2+x+a, 令 y=0x2+x+a=0, ,拋物線與x軸交于點A (x1, 0), (x2, 0),1- x1+x2=-1 , x1x2=a1x11x22x12乂2=1 , 1- x12+x22=x12x22, 1.(必 + 2)2-2 x1x2=x12x22, 代入 x1+x2=-1x1x2=a,有：1-2 a=a2,解得 a=-1.方程有兩個實數(shù)根，則4

24、 =1-4 a>0,解得av 1，.二a=-1- <2 .44. (2019 巴中)如圖，一次函數(shù) 于點 A(m,8)與點 B(4,2).k2y1 = k1x+b(k1,b為常數(shù)，k1 w 0)的圖象與反比例函數(shù)y2= x (k2 w 0,x>0)的圖象交求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式根據(jù)圖象說明，當(dāng)x為何值時，k1x+b x <0.解：因為點B(4,2)在反比例函數(shù)圖象上,2= k2，所以k2= 8，所以反比例函數(shù)解析式為y2= - (x>0),當(dāng)y= 8時,88?8=k1 + b 水=-2=x,所以x =表所以點A坐標(biāo)為(1,8),將a(1,8)，b(4,2)

25、代入y- k1x+b,可得?2 = 4k1+b，所以?% = 10 ,一次函數(shù)解析式為 yi = 2x+10; kix+b k2k2一 <0,即k1x+b< ,即y1<y2,因為A(1,8),B(4,2),由圖象可知 x的取值范圍為:0<x<1,或x>4.25. (2019 長沙)(10 分)已知拋物線 y=-2x 2+(b-2)x+(c-2020)(b, c 為常數(shù)).(1)(2)(3)c的取值范圍;若拋物線的頂點坐標(biāo)為(1 , 1),求b, c的值； 若拋物線上始終存在不重合的兩點關(guān)于原點對稱，求 在(1)的條件下，存在正實數(shù) m, n( RK n),當(dāng)

26、 m< xw n時，恰好有 一m < 1 < n,求 m,2m 1 y 2 2n 1n的值.【解題過程】(1)由題可設(shè)：y= - 2(x1)2+1,去括號得：y= - 2x2+4x1b 2 4c 2020b 6c 2019(2)設(shè)拋物線上關(guān)于原點對稱且不重合的兩點坐標(biāo)分別為(xo, yo), (-xo,yo),代入解析式可得:-2一yo2xob 2 Xo c 2020_2._yo2xo b 2 Xo c 2。2。，兩式相加可得：- 4xo2 + 2(c2o2o)=o,.c=2xo2+2o2o,O2o2o(3)由可知拋物線 y= 2x2+4x1= 2(x 1)2+1 ,y W

27、1 ,ovmvn,當(dāng) mWxWn 時，恰好有 m 1 n, /. y 2m 1 y 2 2n 1 n一 1 即 m>1, - 1< m< n,m;拋物線對稱軸 x=1 ,開口向下，當(dāng) mWxWn時，y隨x增大而減小,當(dāng) x=m 時，ymax= 2m2+4m1,當(dāng) x=n 時，ymax= 2n2+4n1,21G112n4n1一又丁 - y .：,nm2m24m11 m將整理得：2n34n2+n+1=o ,變形得：(2n3-2n2)-(2n2-n-1)=o,即 2n2(n 1) (2n + 1)(n 1)=o , (n- 1)(2n2-2n- 1)=o,n> 1, 2n2-

28、2n-1=o,同理整理得：(m1)(2m2 2m1)=o ,13 人，1<m<n,，m1=1, m2=-(舍去),1. 3m3 = -2一(舍去)，綜上所述：m=1 ,13n=2、解答題24. (2019 仙桃)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線-2C： y=ax+2x 1(aw0)和直線 l： y=kx+b,點 A( 3,3), B(1, 1)均在直線l上.(1)若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a=-1 ,二次函數(shù)y=ax2+2x- 1的自變量x滿足m< x< m+2時，函數(shù)y的最大值為4, 求m的值;(3)若拋物線C與線卷AB有兩個不同的交點，請直接寫

29、出a的取值范圍.解析：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系.(1)先求出直線的解析式，然后將二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式組成方程組， 利用根的判別式0,求出a的取值范圍；(2)對自變量的取值范圍在對稱軸的左、 右兩側(cè)進(jìn)行分類，結(jié)合增減性求出 m的值；(3)由于拋物線經(jīng)過(0,-1)這一定點，將拋物線分開口向上和開 口向下兩種情況求出 a的取值范圍.1232答案：解：(1)將 A(3, 3), B(1, 1)代入 y=kx+b 中得：3k b k b 113，直線i的解析式為：y - x -.22拋物線C與直線l有交點,.ax2+2x-1= 1x 23有實數(shù)根,22ax2+3x+1=0,

30、 =9-8a > 0, a9 口.a的取值范圍是a g且aw 0.8(2)當(dāng) a=-1 時，拋物線為：y=-x 2+2x-1=-(x-1) 2,對稱軸為 x=1,當(dāng)m<x< m+2在對稱軸的左側(cè)時，即 m+2<1時，m<-1,y隨x的增大而增大, 當(dāng)x=m+2時，函數(shù)y的最大值為-4 ,m=-3;當(dāng)m<x< m+2在對稱軸白左側(cè)時，即m>1時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=m時，函數(shù)y的最大值為-4 ,m=3.當(dāng)a<0時，對稱軸x=12f 0,將 B(1, 1)代入 y=ax+2x 1 得,a=-2,a當(dāng)aW-2時，拋物線C與線段娜B健個和8飽凱8頁)當(dāng)a>0時，對稱軸x1 八2一 p。，將 A( 3, 3)代入 y=ax+2x 1 得，a a49 當(dāng)一 a 時，拋物線C與線段AB有兩個不同的交點。9849 .綜上所述：拋物線 C與線段AB有兩個不同的交點時，一 a或aW-2.9826. (2019 北京)21在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y =ax +bx-與y軸