雞兔同籠、盈虧、平均數(shù)問題含答案

1、雞兔同籠、盈虧、平均數(shù)問題一、 知識地圖二、 基礎(chǔ)知識公元855年唐朝，我國舉行最早的數(shù)學選拔賽，題目如下：一批強盜在樹林里商議怎樣瓜分搶來的布匹。若每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，問幾個強盜？幾匹布？（一） 雞兔同籠問題1 假設(shè)全是雞例如：雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？分析：假設(shè)全是雞，則有2×46=92（足），而實際上是128足，少了128-92=36（足），為什么少了36足呢？因為我們把一只兔當作一只雞來算時，就少算了2足，所以有36÷2=18（只）兔被我們當作雞來算，所以有雞46-18=28（只）。2 假設(shè)全是兔例如：雞兔同籠，頭共46，足共1

2、28，雞兔各幾只？分析：假設(shè)全是兔，則有4×46=184（足），而實際上是128足，多了184-128=56（足），為什么多了56足呢？因為我們把一只雞當作一只兔來算時，就多算了2足，所以有56÷2=28（只）雞被我們當作兔來算，所以有兔46-28=18（只）。3 “砍足法”例如： 雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？分析：假如砍去每只雞、每只兔一半的足，則雞就變成了“獨腳雞”，兔就變成了“雙腳兔”，則雞和兔足的總數(shù)就由128變成了64，而且有一只兔子，則足的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1，所以足的總數(shù)64與總頭數(shù)46的差，就是兔子的只數(shù)，即644618（只），則雞的只數(shù)就是

3、461828（只）。 （二） 盈虧問題盈虧問題，顧名思義有剩余就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經(jīng)常會產(chǎn)生這種盈虧現(xiàn)象。盈虧問題的關(guān)鍵是抓住兩次分配時盈虧總量的變化，我們把盈虧問題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”、“兩虧” 。1.“盈虧”型例如：學而思學校提高班的同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？分析：為什么第一次多9粒，而第二次還少6粒呢？因為兩次分配數(shù)量不一樣，第二次分配時不僅把第一次多出來的9粒分了，還要再添6粒才夠分，也就是說按第二種分配方案比第一次總共要多分9+6=15（粒），那為什么會有這種變化產(chǎn)生呢？因為第二次比第

4、一次每人多分了5-4=1（粒），那么要分15粒，就需要有15÷1=15（人），共有15×4+9=69（粒）。2.“盈盈”型明明過生日，同學們給他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少個同學？蛋糕的價錢是多少？分析：為什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？因為兩次分配數(shù)量不一樣，第二次分配時每人少出1元，也就是在第一次分配的基礎(chǔ)上給每個人退了1元錢，總共退回了8-4=4（元），所以共有4÷1=4（人），蛋糕價錢是8×4824（元）。3.“虧虧”型學而思學校新近一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人

5、發(fā)9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？分析：為什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？因為兩次分配數(shù)量不一樣，第二次分配時每人少發(fā)1本，也就是在第一次分配的基礎(chǔ)上從每個人那里拿回了1本書，總共拿回了9-2=7（本）書，所以共有7÷1=7（人），書有7×10961（本）。（三） 平均數(shù)問題（1）平均數(shù)=總數(shù)÷參與平均的事物個數(shù)平均數(shù)增量=總數(shù)增量÷參與平均的事物個數(shù)平均數(shù)減量=總數(shù)減量÷參與平均的事物個數(shù)（2）平均數(shù)問題最基本的原理是“移多補少”幾個數(shù)的平均數(shù)一定比其中最大的一個小且比其中最小的一個大三、 經(jīng)典透析【例1】 從前有座山，山里

6、有個廟，廟里有許多小和尚，兩個小和尚用一根扁擔一個桶抬水，一個小和尚用一根扁擔兩個桶挑水，共用了38根扁擔和58個桶，那么有多少個小和尚抬水？多少個挑水？審題要點 雞兔同籠問題，假設(shè)法詳解過程 假設(shè)全是抬水，38根扁擔應擔38個桶，而實際上是58個桶，為什么少了58-38=20（個）桶呢？因為當我們把一個挑水的當作抬水的就會少算211（個）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁擔數(shù)是382018（根），抬水的人數(shù)是18×236人。專家點評：可以結(jié)合分析工具矩形圖，來看雞兔同籠問題：左圖假設(shè)全是抬水： （58-38×1）÷（2-1）=20（根） 2

7、0（人）挑水（38 -20）×2=36（人） 36（人）抬水右圖假設(shè)全是挑水： （38×2-58）÷（2-1）=18（根） 18×2=36（人）抬水 38-18=20（根） 20（人）挑水【例】某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣， 兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團（每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個小孩組成）來景點旅游，如果他們買團體票可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？ 審題要點 雞兔同籠問題的變形題詳解過程 每個三口之家可以少花30+40+4

8、0-32×3=14元，每個二口之家可以少花40+40-64=16元，如果這8個家庭都是三口之家，那么一共少花14×8=112元，所以這8個家庭中有（120-112）÷（16-14）=4個家庭是二口之家，所以這個旅游團一共有4×2+（8-4）×3=20人。專家點評：這道題，首先要考慮的是，怎么理解“少花120元”？跟單位少花情況有關(guān)，這里的單位：可以不同家庭為單位，也可以成人與小孩為單位。一方面，我們可以對兩種家庭的“少花”情況進行計算并比較，可以如題所解；另一方面，我們不妨以成人與孩子的“少花”情況進行計算并比較，可以另解如下：8個家庭，成人必

9、有16人，則每個成人將“少花”40-32=8元。所以應該總共少花 16×8=128（元）而實際少花相差 128-120=8（元）是因為每個小孩多花了32-30=2（元）所以，8÷2=4（人） 小孩人數(shù)16+4=20（人）旅游團一共人數(shù) 還有一點值得強調(diào)的是，我們在使用假設(shè)法的過程中，所采用的比較思想非常重要，在一種證明方法反證法中，假設(shè)法會又一次充當主角?！纠恐┲胗?條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)有蜘蛛、蜻蜓和蟬三種小蟲16只，共有110條腿和14對翅膀，每種小蟲各有幾只？審題要點 經(jīng)典雞兔同籠問題，用兩次假設(shè)法詳解過程 因為有三種動物，沒有辦法直

10、接用雞兔同籠解，所以我們想轉(zhuǎn)化為兩種動物就可以直接用了。我們先來看腿，發(fā)現(xiàn)蜻蜓和蟬有個共同點都是6條腿，那我們就把蜻蜓和蟬合并在一起，分為兩種動物：一種是6條腿，一種是8條腿。假設(shè)全是6條腿的，共有腿6×16=96（條），而實際上是110條，為什么少了110-96=14（條）腿呢？因為當我們把8條腿的蜘蛛當作6條腿算的，有一只蜘蛛就少算2條腿，所以有蜘蛛14÷2=7（只），所以蜻蜓和蟬有16-7=9（只）；我們再來看翅膀： 假設(shè)這9只全是蜻蜓，則應該有9×2=18（對）翅膀，比實際多了18-14=4（對），所以有蟬4÷1=4（只），則蜻蜓9-4=5（只）

11、。專家點評：如果我們感覺這樣的算術(shù)解法有點煩，不妨看看美麗的方程：設(shè)：蜘蛛有只，蜻蜓有y只，蟬有z只，得：（1）×6：（2）-（4）：2=14=7代入（1）式：y+z=9（5）（3）-（5）：y=5。代入（5）式：z=4。很多時候，我們發(fā)現(xiàn)清晰的等量關(guān)系，一定要用，從而可以減少“算理”的思考量，把這種思考量轉(zhuǎn)嫁給方程演算。對于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能輕松把握。請參見本書第十九講方程?！纠坷蠋熃o同學們分蘋果，每人分10個，就多出8個，每人分11個則正好分完，那么一共有多少名學生？多少個蘋果？審題要點 盈虧問題詳解過程 為什么第一次多8個，第二次不多也不少了呢？因為第二次每

12、人多分了1個，所以有8÷1=8（人），蘋果8×10+8=88（個）。專家點評：請注意體會差量分析的應用。這是兩種方案之間的差異，而假設(shè)法是實際與假設(shè)之間的差異，兩者有著異曲同工之妙?！纠科て募业綄W校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校，那么皮皮家距離學校多遠？審題要點 需要轉(zhuǎn)化條件的盈虧問題詳解過程 根據(jù)題意，每分鐘走50米，遲到3分鐘，實際上就是還差50×3=150（米）到校；如果每分鐘60米，提前2分鐘到校，即到校后還可以多走60×2=120（米），第一次與第二次相差150+120270（米）

13、，也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮從家到學校所用時間是270÷（60-50）=27（分鐘），皮皮家到學校的距離是50×（27+3）=50×30=1500（米）。專家點評：兩種方案，除了速度差，更要感受到路程差，從而看到，這里的數(shù)量關(guān)系，竟然就是追及關(guān)系。從中體會一下“柳暗花明又一村”的數(shù)學美感吧。數(shù)學是好玩的！【例】國慶節(jié)快到了，學而思學校的少先隊員去擺花盆。如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完。問有多少少先隊員參加擺花盆活動，一共擺多少花盆？審題要點 需要轉(zhuǎn)化條件的盈虧問題詳解過程 我們可以把第二

14、個條件轉(zhuǎn)化為如果每人擺6盆花，還缺4盆，那么就是簡單的“一盈一虧”。人數(shù)： 3（64）×2÷（65）7（人），盆數(shù)：5×7338（盆）或6×7438（盆）。專家點評：轉(zhuǎn)化思想似乎有點玄，為什么我一定會想到：“把第二個條件轉(zhuǎn)化為如果每人擺6盆花，還缺4盆”？答案在于，我們應該在大方向上有感覺，這道題“每人擺5盆，還有3盆沒人擺；每人擺6盆，還”，“還”字后面的下文怎么接？接上了，轉(zhuǎn)化成功！記?。恨D(zhuǎn)化的關(guān)鍵在于我需要什么樣的條件！現(xiàn)有條件能否轉(zhuǎn)化為我要的條件？【例】有四個數(shù)，每次去掉一個數(shù)，將其余三個數(shù)求平均數(shù)，這樣算了四次，得下面四個數(shù)：36.4，47.8

15、，46.2，41.6，那么原來四個數(shù)的平均數(shù)是多少？審題要點 平均數(shù)問題詳解過程 設(shè)這四個數(shù)分別為A、B、C、D，根據(jù)條件則有：所以專家點評實際上，本題的情境可以換成“小明語文、數(shù)學、英語等幾門功課的平均分”，也可以換成“某四個小朋友稱體重，每三個人稱一次”，數(shù)量關(guān)系不變。這里要注意所求問題，不一定最后求平均數(shù)，也可能求這四個數(shù)各是多少。只要用四數(shù)總和與三數(shù)之和求差就行?！纠磕炒螖?shù)學競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現(xiàn)在將一等獎中最后4人調(diào)整為二等獎，這樣得二等獎的學生的平均分提高了1分，得一等獎的學生的平均分提高了3分，那么原來一等獎平均分比二等獎平均分多_分。審題要點 平均數(shù)增量詳解過

16、程 第一眼看這樣的圖，可能有點不夠清楚。別急，我們來慢慢欣賞！首先從總體來看，矩形橫向長度表示人數(shù)，豎向長度表示平均分，面積表示總分。請注意一下：d與e分別表示調(diào)整前的一等獎與二等獎的平均分；而a表示一等獎后4名同學的平均分。b與c表示調(diào)整后一等獎與二等獎的平均分。我們要求的量是de之間的平均分之差！我們要想一想，為什么這么一調(diào)整，一等獎的平均分高上去了，同時二等獎的平均分也高上去了呢？原因在于：前6名的 cd之間的面積移補到一等獎后4名da之間的面積部分了。根據(jù)面積相等，長與寬成反比關(guān)系，可知：cd之間的高度差da之間的高度差=46=23即3da之間的平均分之差=23。所以 da之間的平均分

17、之差=4.5（分），也就是說，這是后4名現(xiàn)在從原來的d降了4.5分。同理，后4人ab之間的面積=20人be之間的面積；所以 ab之間的高度差be之間的高度差=204=51所以 ab之間的平均分之差1=51，ab之間的平均分之差=5（分）所以de之間的平均分之差為4.5+5+1=10.5（分）專家點評對于平均數(shù)增量問題，用矩形圖，數(shù)形結(jié)合去分析，應該很舒服！要注意平均數(shù)問題最基本的原理是“移多補少”，另外要注意所要移補的是總量，而不是平均量。也就是平均分差量與人數(shù)的乘積。這段話請結(jié)合上面的圖形和分析理解，重要！【例】設(shè)四個不同的正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)組中，最小的數(shù)與其余三數(shù)的平均值之和為17，而最大的數(shù)

18、與其余三數(shù)的平均值之和為29。在滿足上述條件的所有數(shù)組中，其最大數(shù)的最大值是多少？審題要點 平均數(shù)與最值問題詳解過程 設(shè)這四個數(shù)從大到小依次為a、b、c、d，根據(jù)題意有 。 ，用式減去式，得 ，即a-d=18，a=18+d。因為b、c 分別至少比d大2和1，由式得 7+2d17， d5。由此得a=18+d23。所以a的最大值23，且當a、b、c、d依次為23，7，6，5時符合題意。專家點評：這里的所謂平均數(shù)，直接應用為表示3個數(shù)的總和。這是平均數(shù)關(guān)系中知道幾個數(shù)時最常用的思路。另外，對于不等式的求解，建議大家在理解了方程的恒等關(guān)系后，一并了解方程的恒不等關(guān)系。不等式兩邊同時加上相同的數(shù)或者同時

19、減去相同的數(shù)，或者同時乘以相同的正整數(shù)或者同時除以相同的正整數(shù)，其不等關(guān)系不變。（原來是什么符號，不用變號）如果是乘以或者除以一個相同的負數(shù)，則符號正好變反。這到初中會常用到。例如：7+2d17，兩邊同減7，得：2d10，兩邊同除以2，得： d5。四、 拓展訓練1. 雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數(shù)共274只，問雞、兔各幾只？初級點撥 雞兔同籠問題，假設(shè)法深度提示 設(shè)雞與兔只數(shù)一樣多全解過程 設(shè)雞與兔只數(shù)一樣多：274-2×26=222（只），每一對雞、兔共有足：2+4=6（只），雞兔共有對數(shù)（也就是兔子的只數(shù)）：222÷6=37（對），則雞有 37+26=63（只）。2.

20、 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？初級點撥 雞兔同籠問題，假設(shè)法深度提示 將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿全解過程 本題即中國古算名題“百僧分饃問題”。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。 假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300140=160（個）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少31=2（個），因為160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有10080=20（人）。3. 有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯

21、（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？初級點撥 需要轉(zhuǎn)化的雞兔同籠問題，找相同點轉(zhuǎn)化 深度提示 如果小明第一次測驗24題全對全解過程 如果小明第一次測驗24題全對，得5×24=120（分）。那么第二次只做對30-24=6（題）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）。兩次相差120-30=90（分）。比題目中條件相差10分，多了80分。說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少。第一次答對減少一題，少得5+1=6（分），而第二次答對

22、增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分。兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）。（90-10）÷（6+10）=5（題）。因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)（全對）減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對30-19=11（題）。第一次得分5×19-1×（24- 19）=90。第二次得分8×11-2×（15-11）=80。4. 學而思學校提高班的同學去劃船。他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個班共有多少同學？ 初級點撥 盈虧問題，先增加一條船深度提示 先增加一條船，那么正好每條

23、船坐6人。然后去掉兩條船，就會余下6×212（名）同學。全解過程 先增加一條船，那么正好每條船坐6人。然后去掉兩條船，就會余下6×212（名）同學。改為每條船9人，也就是說，每條船增加963（人），正好可以把余下的12名同學全部安排上去，所以現(xiàn)在還有12÷34（條）船，而全班同學的人數(shù)是9×436（人）。5. 學而思學校給參加秋游的同學租了幾輛大轎車，若每輛車乘28人則有13名同學上不了車，若每輛車乘32人則還有3個空座。問：有多少名同學？多少輛車？初級點撥 需要轉(zhuǎn)化的盈虧問題，“每輛車乘28人則有13名同學上不了車”轉(zhuǎn)化為盈還是虧呢？深度提示 已知若每

24、輛車乘28人則有13名同學上不了車，可轉(zhuǎn)化為：每輛車乘28人多出13名同學；若每輛車乘32人則還有3個空座，可轉(zhuǎn)化為：每輛車乘32人少3人。全解過程 這種類型的題目要將其中的一個條件轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為基本的盈虧問題。已知若每輛車乘28人則有13名同學上不了車，可轉(zhuǎn)化為：每輛車乘28人多出13名同學；若每輛車乘32人則還有3個空座，可轉(zhuǎn)化為：每輛車乘32人少3人，問有多少名學生多少輛車？所以，車數(shù)：（13+3）÷（32-28）=4（輛），學生有：28×4+13=125（人）。6. 鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢

25、？初級點撥 需要轉(zhuǎn)化的盈虧問題，要么都轉(zhuǎn)換成鋼筆，要么都轉(zhuǎn)換成圓珠筆。深度提示 都轉(zhuǎn)換成鋼筆；買5支鋼筆差15角，買8支鋼筆差（12×86）=90角，這是雙虧：分差是8-5=3支，總差是90-15=75角，就是說多買3支，就多差75角；全解過程 此題的關(guān)鍵在于條件的轉(zhuǎn)換，要么都轉(zhuǎn)換成鋼筆，要么都轉(zhuǎn)換成圓珠筆。（法一）都轉(zhuǎn)換成鋼筆；買5支鋼筆差15角，買8支鋼筆差（12×86）=90角，這是雙虧：分差是8-5=3支，總差是90-15=75角，就是說多買3支，就多差75角；這樣就可求出1支鋼筆多少錢；繼而求出小明帶了多少錢。 鋼筆的價錢： （12×86）15÷

26、;（85）75÷325（角） 小明帶的錢數(shù)：25×51512515110（角）11（元）（法二）都轉(zhuǎn)換成圓珠筆；買5支圓珠筆多12×515=45角，買8支圓珠筆多6角。 圓珠筆的價錢（12×515）6÷（85）39÷313（角）小明帶的錢數(shù)13×861046110（角）11（元）。7. 某一筐水果中有蘋果和梨若干個。若每次拿出1個蘋果和1個梨，則拿到?jīng)]有蘋果時，還剩下50個梨；若每次拿走1個蘋果和3個梨，則拿到?jīng)]有梨時，蘋果還剩下50個。那么這筐水果共有 個。初級點撥 需要轉(zhuǎn)化的盈虧問題深度提示 若每次拿走1個蘋果和3個梨，則拿到?jīng)]有梨時，蘋果還剩下50個。由這個條件可以轉(zhuǎn)化為如果要蘋果全部拿走，梨還差50×3=150個，所以梨的個數(shù)比蘋果多50個，比蘋果的3倍少150個。全