備考2022中考數(shù)學(xué)類型二 階梯費(fèi)用類問題（解析版）

1、類型二類型二 階梯費(fèi)用類問題階梯費(fèi)用類問題例 1某超市銷售一種商品，成本每千克 40 元，規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本，且不高于 80元經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每天的銷售量 y(kg)與每千克售價(jià) x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價(jià) x(元/kg)506070銷售量 y(kg)1008060(1)求 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)商品每天的總利潤(rùn)為 w(元)，求 w 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤(rùn)收入成本)；(3)試說明(2)中總利潤(rùn) w 隨售價(jià) x 的變化而變化的情況，并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】 （1）y2x200(40 x80)；（2）w=2x2280

2、x8 000(40 x80)；（3）當(dāng) x70 時(shí)，利潤(rùn) w 取得最大值，最大值為 1 800 元【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè) ykxb，其中 k，b 為待定的常數(shù)，由表中的數(shù)據(jù)得50kb100，60kb80，解得k2，b200，y2x200(40 x80)；(2)根據(jù)題意得 wy (x40)(2x200)(x40)2x2280 x8 000(40 x80)；(3)由(2)可知：w2(x70)21 800，當(dāng)售價(jià) x 在滿足 40 x70 的范圍內(nèi)，利潤(rùn) w隨著x的增大而增大； 當(dāng)售價(jià)在滿足 70 x80的范圍內(nèi)， 利潤(rùn)w隨著 x的增大而減小 當(dāng) x70 時(shí)，利潤(rùn) w 取得最大值，最大值為 1

3、800 元例 2襄陽市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號(hào)召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為 30 元/件，且年銷售量 y(萬件)關(guān)于售價(jià) x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式為：y2x140（40 x60） ，x80（60 x70）.(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)為 w(萬元)， 請(qǐng)直接寫出年利潤(rùn)關(guān)于售價(jià) x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià) x(元/件)為多少時(shí)，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于 750 萬元，試確定該產(chǎn)品的售價(jià) x(元/件)的取值范圍【答案】 （1）w2x2200 x4 200（40 x60） ，x21

4、10 x2 400（60 x70） ；（2）800 萬（3）45x55.【解析】(1)w2x2200 x4 200（40 x60） ，x2110 x2 400（60 x70） ；(2)由(1)知，當(dāng) 40 x60 時(shí)，w2(x50)2800.2600，w 最大值為 800 萬元答：當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)定為 50 元/件時(shí)，銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 800 萬元；(3)當(dāng) 40 x60 時(shí)，令 w750，得2(x50)2800750，解得 x145，x255.由函數(shù) w2(x50)2800 的性質(zhì)可知，當(dāng) 45x55 時(shí)，w750，當(dāng) 60 x70 時(shí)，w 最大值為 600750.答：要使企

5、業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于 750 萬元，該產(chǎn)品的銷售價(jià) x(元/件)的取值范圍為 45x55.例 3荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為 6 元，在整個(gè)銷售 旺 季 的 80 天 里 ， 銷 售 單 價(jià) p( 元 /kg) 與 時(shí) 間 第 t 天 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 為 p 14t16（1t40，t 為整數(shù)） ，12t46（41t80，t 為整數(shù)） ，日銷售量 y(kg)與時(shí)間第 t 天之間的函數(shù)關(guān)系如圖 331 所示(1)求日銷售量 y 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系式？(2)哪一天的日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤(rùn)不低于 2 400

6、元？(4)在實(shí)際銷售的前 40 天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售 1 kg 小龍蝦，就捐贈(zèng) m(m7)元給村里的特困戶在這前 40 天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間 t 的增大而增大，求m 的取值范圍【答案】 （1）y2t200(1t80，t 為整數(shù))； （2）w(p6)y（3）21 天（4）5m7.【解析】 (1)根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；(2)設(shè)日銷售利潤(rùn)為 w，分 1t40 和 41t80 兩種情況，根據(jù)“總利潤(rùn)每千克利潤(rùn)銷售”列出函數(shù)表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；(3)求出 w2 400 時(shí) x 的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；(4)依據(jù)(2)中相等關(guān)系列出函

7、數(shù)表達(dá)式，確定其對(duì)稱軸，由 1t40 且銷售利潤(rùn)隨時(shí)間 t的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案解：(1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為 yktb，將(1，198)，(80，40)代入，得198kb，4080kb，解得k2，b200，y2t200(1t80，t 為整數(shù))；(2)設(shè)日銷售利潤(rùn)為 w，則 w(p6)y，當(dāng) 1t40 時(shí)，w14t166(2t200)12(t30)22 450，當(dāng) t30 時(shí)，w最大2 450；當(dāng) 41t80 時(shí)，w12t466(2t200)(t90)2100，當(dāng) t41 時(shí)，w最大2 301，2 4502 301，第 30 天的日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 2 450 元；(3)由

8、(2)得當(dāng) 1t40 時(shí)，w12(t30)22 450，令 w2 400，即12(t30)22 4502 400，解得 t120，t240，由函數(shù) w12(t30)22 450 的圖象(如答圖)可知，當(dāng) 20t40 時(shí)，日銷售利潤(rùn)不低于2 400 元，圖 331第 3 題答圖而當(dāng) 41t80 時(shí)，w最大2 3012 400，t 的取值范圍是 20t40，共有 21 天符合條件；(4)設(shè)日銷售利潤(rùn)為 w，根據(jù)題意，得w14t166m(2t200)12t2(302m)t2 000200m，其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為 t2m30，w 隨 t 的增大而增大，且 1t40，由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知 2m3

9、040，解得 m5，又m7，5m7.例 4小慧和小聰沿圖 332中景區(qū)公路游覽小慧乘坐車速為 30 km/h 的電動(dòng)汽車，早上 7：00 從賓館出發(fā)，游玩后中午 12：00 回到賓館小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館，速度為 20 km/h，途中遇見小慧時(shí)，小慧恰好游完一景點(diǎn)后乘車前往下一景點(diǎn)，上午 10：00 小聰?shù)竭_(dá)賓館圖中的圖象分別表示兩人離賓館的路程 s(km)與時(shí)間 t(h)的函數(shù)關(guān)系試結(jié)合圖中信息回答：圖 332(1)小聰上午幾點(diǎn)鐘從飛瀑出發(fā)？(2)試求線段 ab，gh 的交點(diǎn) b 的坐標(biāo)，并說明它的實(shí)際意義；(3)如果小聰?shù)竭_(dá)賓館后，立即以 30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中

10、他幾點(diǎn)鐘遇見小慧？【答案】 （1）7:30（2）如下（3）11:00【解析】(1)小聰從飛瀑到賓館所用的時(shí)間為 50202.5(h)，小聰上午 10：00 到達(dá)賓館，小聰從飛瀑出發(fā)的時(shí)刻為 102.57.5，即 7：30.答：小聰早上 7：30 從飛瀑出發(fā)；(2)設(shè)直線 gh 的函數(shù)表達(dá)式為 sktb，由于點(diǎn) g 的坐標(biāo)為12，50，點(diǎn) h 的坐標(biāo)為(3，0)，則有5012kb，03kb，解得k20，b60，直線 gh 的函數(shù)表達(dá)式為 s20t60，又點(diǎn) b 的縱坐標(biāo)為 30，當(dāng) s30 時(shí)，得20t6030，解得 t32，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為32，30.答：點(diǎn) b 的實(shí)際意義是上午 8：30 小

11、慧與小聰在離賓館 30km(即景點(diǎn)草甸)處第一次相遇；(3)方法一：設(shè)直線 df 的函數(shù)表達(dá)式為 sk1tb1，該直線過點(diǎn) d 和 f(5，0)，由于小慧從飛瀑回到賓館所用時(shí)間為 503053(h)，小慧從飛瀑準(zhǔn)備返回時(shí) t553103(h)，即點(diǎn) d 的坐標(biāo)為103，50.則有103k1b150，5k1b10，解得k130，b1150.直線 df 的函數(shù)表達(dá)式為 s30t150，小聰上午 10： 00 到達(dá)賓館后立即以 30 km/h 的速度返回飛瀑，所需時(shí)間為 503053(h)如答圖，hm 為小聰返回時(shí) s 關(guān)于 t 的函數(shù)圖象，第 4 題答圖點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為 353143，m143，

12、50，設(shè)直線 hm 的函數(shù)表達(dá)式為 sk2tb2，該直線過點(diǎn) h(3，0)和 m143，50，則有50143k2b2，03k2b2，解得 k230，b290.直線 hm 的函數(shù)表達(dá)式為 s30t90，由 30t9030t150，解得 t4，即 11：00.答：小聰返回途中上午 11：00 遇見小慧；方法二：如答圖，過點(diǎn) e 作 eqx 軸于點(diǎn) q，由題意，可得點(diǎn) e 的縱坐標(biāo)為兩人相遇時(shí)距賓館的路程，又兩人速度均為 30 km/h，該路段兩人所花時(shí)間相同，即 hqqf，點(diǎn) e 的橫坐標(biāo)為 4.答：小聰返回途中上午 11：00 遇見小慧例 5月電科技有限公司用 160 萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用

13、，成功研制出了一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為 4 元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量 y(萬件)與銷售價(jià)格 x(元/件)的關(guān)系如圖 333 所示，其中 ab 為反比例函數(shù)圖象的一部分，bc 為一次函數(shù)圖象的一部分設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)為 w(萬元)(注：若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn)；若上一年虧損，則虧損記做下一年的成本)圖 333(1)請(qǐng)求出 y(萬件)與 x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式(2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn) w(萬元)與 x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式， 并求出第一年年利潤(rùn)的最大值(3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品

14、第一年恰好按年利潤(rùn) w(萬元)取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格 x(元)定在 8 元以上(x8)，當(dāng)?shù)诙甑哪昀麧?rùn)不低于 103 萬元時(shí)，請(qǐng)結(jié)合年利潤(rùn) w(萬元)與銷售價(jià)格 x(元/件)的函數(shù)示意圖，求銷售價(jià)格 x(元/件)的取值范圍【答案】 （1）y160 x（4x8） ，x28（8x28） ；（2）當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為 16 元時(shí)，第一年的年利潤(rùn)的最大值為16 萬元 （3）當(dāng) 11x21 時(shí)，第二年的年利潤(rùn) w 不低于 103 萬元【解析】 (1)求 y(萬件)與 x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，是一個(gè)分段函數(shù)，已知點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待

15、定系數(shù)法可求；(2)根據(jù)“年利潤(rùn)年銷售量每件的利潤(rùn)成本(160萬元)”， 可求出年利潤(rùn)w(萬元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，但要注意的是和第(1)問一樣是分段函數(shù)，根據(jù)每段的函數(shù)特征分別求出最大值，再比較這兩個(gè)數(shù)值的大小，從而確定第一年的年利潤(rùn)的最大值；(3)根據(jù)條件“第二年的年利潤(rùn)不低于 103 萬元”， 可得 w103， 這是一個(gè)一元二次不等式，觀察年利潤(rùn) w(萬元)與銷售價(jià)格 x(元/件)的函數(shù)示意圖，從而得出結(jié)果解：(1)當(dāng) 4x8 時(shí)，設(shè) ykx，將 a(4，40)代入，得k440160.y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y160 x.當(dāng) 8x28 時(shí)， 設(shè) ykxb， 將 b(8

16、， 20)， c(28， 0)代入， 得8kb20，28kb0.解得k1，b28.y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 yx28.綜上所述，得 y160 x（4x8） ，x28（8x28） ；(2)當(dāng) 4x8 時(shí)，w(x4)y160(x4)160 x160640 x.w 隨著 x 的增大而增大，當(dāng) x8 時(shí)，wmax640880.當(dāng) 8x28 時(shí)，w(x4)y160 (x4)(x28)160 x232x272(x16)216.當(dāng) x16 時(shí)，wmax16.1680，當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為 16 元時(shí)，第一年的年利潤(rùn)的最大值為16 萬元(3)第一年的年利潤(rùn)為16 萬元16 萬元應(yīng)作為第二年的成本又x8，

17、第二年的年利潤(rùn) w(x4)(x28)16x232x128，令 w103，則x232x128103，解得 x111，x221.在平面直角坐標(biāo)系中，畫出 w 與 x 的函數(shù)示意圖如答圖，觀察示意圖可知：當(dāng) w103時(shí)，11x21.當(dāng) 11x21 時(shí)，第二年的年利潤(rùn) w 不低于 103 萬元例 6某水果店在兩周內(nèi)，將標(biāo)價(jià)為 10 元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為 8.1 元/斤，并且兩次降價(jià)的百分率相同(1)求該種水果每次降價(jià)的百分率；(2)從第一次降價(jià)的第 1 天算起， 第 x 天(x 為正數(shù))的售價(jià)、 銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示已知該種水果的進(jìn)價(jià)為 4.1 元/斤，設(shè)銷售該水

18、果第 x(天)的利潤(rùn)為 y(元)，求 y 與 x(1x15)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大？時(shí)間 x(天)1x99x15x15售價(jià)(元/斤)第 1 次降價(jià)后的價(jià)格第 2 次降價(jià)后的價(jià)格銷量(斤)803x120 x儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用(元)403x3x264x400(3)在(2)的條件下，若要使第 15 天的利潤(rùn)比(2)中最大利潤(rùn)最多少 127.5 元，則第 15 天在第 14 天的價(jià)格基礎(chǔ)上最多可降多少元？【答案】 （1）10（2）10（3）0.5 元【解析】 (1)設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為 x，則第一次降價(jià)后的價(jià)格為 10(1x)，第二次降價(jià)后的價(jià)格為 10(1x)2，進(jìn)而可得方程；(2)分兩種情