2020屆江蘇高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)課堂檢測(cè)：空間幾何體的表面積與體積

1、 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十六） 空間幾何體的表面積與體積 3 7t 3*2 54 ti P， 51 32 52 3 由V=3得旦 V2 冗 1 3 n 3 曲 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 解析：由題意得，底面對(duì)角線長(zhǎng)為 2 ,2,所以正四棱錐的高為 ，22 2 2= 所以 正四棱錐的體積 V = 1sh= 22X 2 =孕. 答案：晉 2. （2018 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）設(shè)棱長(zhǎng)為 a 的正方體的體積和表面積分別為 Vi, Si，底面半徑 解析：法一：由題意知 V1 = a3, S1 = 6a2, V2 =1 r3, S2= 2 n2, 3 得 a = r,從而 法二：不妨設(shè) V1= 27, V2=

2、9 n,故 V1 = a3= 27,即 a= 3,所以 S1 = 6a2 = 54. 如圖所示，又 V2 = 3hx 7tr2= 3 n3= 9n,即 r= 3,所以 l= 2r,即 S2=-2lx 2 n = , 2n*2 3 3 2 =9 . 2 n, 所以 S2= 9 2 n= n 答案： 冗 AA1C1C 的距離就是點(diǎn) B 到平面 AA1C1C 的距離，作 BH 丄 AC，垂足為點(diǎn) H ,由于 ABC 是 正二角形且邊長(zhǎng)為 4，所以 BH = 2、*3，從而二棱錐 A-A1EF 的體積 VA-A1EF = V E-A1AF = 1. （2018 徐州高三年級(jí)期中考試）各棱長(zhǎng)都為 2 的

3、正四棱錐的體積為 和高均為 r 的圓錐的體積和側(cè)面積分別為 V2, S2，若嚴(yán)=3,則學(xué)的值為 V2 n S2 3. （2018 南京二模）如圖，正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB = 4, AA1 = 解析：因?yàn)樵谡庵?ABC-A1B1C1中，AA1 / BB1, AA1 ?平面 AA1C1C, BB1?平面 AA1C1C，所以 BB1 /平面 AA1C1C，從而點(diǎn) E 到平面 6.若 E,F 分別是棱 BB1,CC1上的點(diǎn)，則三棱錐 A-A1EF 的體積是 5 i i i 訐厶AiAF BH = 3X 2X 6X 4X 2 3= 8 3. 答案：8 3 4. （2018 海安期中）

4、如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD -AiBiCiD 中，0 為底面 ABCD 的中心，則三棱錐 O -AIBCI的體積為 所以 B0 丄平面 AiOCi, B0 是三棱錐 B -AiOCi的高, i i 4 則三棱錐 O -AiBCi的體積為 3x 2X 2 2X 2X 2 = 4. 3 2 3 答案：4 5. （20i8 鹽城模擬）若一圓錐的底面半徑為 i,其側(cè)面積是底面積的 3 倍，則該圓錐的 體積為 _ . 解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 I，高為 h,則nX i X l = 3 nX i2,解得 l= 3, 則 h = 32- i2= 2 2, 故該圓錐的體積 V = 3nX i2X 2

5、 2= 今5. 3 3 答案：簣5 6. （20i8 蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）如圖，正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為 i, P 是棱BBi的中點(diǎn)，則四棱錐 P-AAiCiC 的體積為 _ . 解析：四棱錐 P-AAiCiC 可看作：半個(gè)正方體割去三棱錐 P-ABC 和 P-AiBiCi. i i i -id 所以 Vp.AAiCiC = 2VABCD-AiBiCiDi Vp-ABC- VP-AiBi Ci = ? i2= 3.解析：連結(jié) AC,因?yàn)閹缀误w是正方體, Ci C 8, 2. （2018 常州期中）如圖，一個(gè)實(shí)心六角螺帽毛坯 （正六棱柱）的底邊 長(zhǎng)為 4，高為 3，若在中間鉆一個(gè)圓柱

6、形孔后其表面積沒(méi)有變化，則孔的 半徑為 _ . 解析：設(shè)孔的半徑為 r，:此正六棱柱的底邊長(zhǎng)為 4，高為 3,在中 間鉆一個(gè)圓柱形孔后其表面積沒(méi)有變化，二 2x n2= 2nX 3，解得 r= 3,孔的半徑為 3. 答案：3 3. （2018 常州期末）以一個(gè)圓柱的下底面為底面， 并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐, 若所得的圓錐底面半徑等于圓錐的高，則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積的比值為 解析：如圖，由題意可得圓柱的側(cè)面積為 St = 2 nh = 2 %r2. 圓錐的母線 l=.h2+ r2= 2r, 故圓錐的側(cè)面積為 S2= 1 x 2 ur x 1= 2 n2, 所以 S2 : Si=2

7、: 2. 答案：2 4. （2018 蘇北四市一模）將斜邊長(zhǎng)為 4 的等腰直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周， 則所形成的幾何體的體積是 _ . 解析：因?yàn)榈妊苯侨切蔚男边呴L(zhǎng)為 4,所以斜邊上的高為 2,故旋轉(zhuǎn)后的幾何體為 兩個(gè)大小相等的圓錐的組合體，圓錐的底面半徑為 2,高為 2,因此，幾何體的體積為 V = 5. （2018 泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研 ）在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，P 為 AA1中點(diǎn)，Q 為 CC1的中點(diǎn)，AB = 2,則三棱錐 B-PQD 的體積為 _ . 解析：如圖，連結(jié) PQ,則 PQ/ AC,取 PQ 的中點(diǎn) G,連結(jié) BG, DG,可得 BG 丄 PQ

8、, DG 丄 P Q 又 BG n DG = G,貝 U PQ!平面 BGD , 在 Rt BPG 中，由 BP= 5, PG= .2,可得 BG = 3，同理可得 DG =.3,則厶 BDG 邊 BD 上的高為 .32- 22 =1 ，所以 S BDG = x 2 2 X 1= 2，貝U VB-PQD= 1X 一 2X 2 2= 3. 答案: 6. （2019 鹽城檢測(cè)）有一個(gè)用橡皮泥制作的半徑為 4 的球，現(xiàn)要將該球所用的橡皮泥制 作成一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，使圓柱和圓錐有相同的底面半徑和相等的高，若它們的高為2X 3 nX 22x 2= 3 16 n 3 . 答案: 16 n 3 則它們的底

9、面半徑為 _ 解析：由已知可得球的體積為 V = 4nX 43= 256 n設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為 r,則圓柱 和圓錐的體積和為 8 曲2 + 8 2 = ，解得 r = 2/2. 3 3 答案：2 2 7. （2018 啟東調(diào)研）如圖，Rt ABC 的外接圓O O 的半徑為 5, CE 垂直于O O 所在的平面，BD / CE , CE = 4, BD = 2, ED = 2,10, 若 M為 ED 的中點(diǎn)，貝U VM-ACB = _ . 解析：如圖，過(guò) D 作 DH 丄 CE 于 H，貝 U BC= DH，在 Rt EDH 中，由 ED = 2 10, EH = EC DB = 2，得

10、BC = DH = 6，所以在 Rt ABC 中，AB = 10, BC = 6,所以 AC = 8，即 SAABC = 24,又因?yàn)?CE 垂直于 O O 所在的平面，BD / CE, M 為 ED 的中點(diǎn)，所以 M 到 1 平面 ABC 的距離為 3，所以 VM-ACB = SABCX 3= 24. 答案：24 8. （2018 連云港調(diào)研）已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為 4,底面 邊長(zhǎng)為 2申申，則該球的表面積為 _ . 解析：如圖，正四棱錐 P-ABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1 上,設(shè)球的半徑為 R,因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為 2 2,所以 AC= 4.在 Rt A

11、OO1 中，R2= （4 R）2 + 22,所以 R = 5，所以球的表面積 S = 4 UR2= 25 n. 答案：25 n 9. （2018 蘇州期末）如圖，在體積為 V1的圓柱中挖去以圓柱上下底面為 底面、共頂點(diǎn)的兩個(gè)圓錐，剩余部分的體積為 V2,則= _ . V1 解析：設(shè)圓錐與圓柱的底面面積為 S,高為 h, 所以 V1= Sh, V2= Sh ；Sh= TSh,則警警= 3 3 V1 3 2 答案：2 10. 一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為 r 的鐵球，并 向容器內(nèi)注水，使水面恰好與鐵球面相切將球取出后，容器內(nèi)的水深是多少？ 解：如圖，作軸截面，設(shè)球未

12、取出時(shí)，水面高 PC = h,球取出后， 水面高 PH = x.根據(jù)題設(shè)條件可得 AC = 3r, PC= 3r，則以 AB 為底 1 1 面直徑的圓錐容積為 V圓錐=3 nX AC2X PC= - n( 3r)2 X 3r = 3 nr3. 3 3 3 nr . 球取出后，水面下降到 EF，水的體積為 1 2 1 2 1 3 V 水=3 nX EH X PH = 3 n PH tan 30 PH = - nc . 又 V水=V圓錐一 V球，則1 TX3= 3 ur3 冗 r3, 9 3 解得 x = 15r.故球取出后，容器內(nèi)水深為 即 15r. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1.已知直三

13、棱柱 ABC-A1B1C1的 6 個(gè)頂點(diǎn)都在球 0 的球面上，若 AB = 3, AC= 4, AB 丄 AC, AA1= 12,則球 O 的半徑為 _ 解析：如圖，由球心作平面 ABC 的垂線，則垂足為 BC 的中點(diǎn) M.又 AM = 1BC= ；,32+ 42= 2, OM = *AA1 = 6,所以球 O 的半徑 R= OA = + 62=學(xué). 答案：學(xué) 2.三棱錐 P-ABC 中，PA 丄平面 ABC 且 PA= 2, ABC 是邊長(zhǎng)為-3 的等邊三角形， 則該三棱錐外接球的表面積為 _ . 解析：由題意得，此三棱錐外接球即為以 ABC 為底面、以 PA 為高的正三棱柱的外 接球，因?yàn)?/p>

14、 ABC 的外接圓半徑 r= X 3X 2= 1,外接球球心到 ABC 的外接圓圓心的 23 距離 d= 1,所以外接球的半徑 R= .r2+ d2= 2,所以三棱錐外接球的表面積 S= 4 冗 R2= 8n. 答案：8n 3.如圖是一個(gè)以 A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何 體，截面為 ABC，已知 A1B1= B1C1 = 2,Z 人伯16= 90 AAj = 4, =3, CC1= 2，求: (1)該幾何體的體積. 截面 ABC 的面積. 解：( (1)過(guò) C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1, BB1分別于 點(diǎn) A2, B2. 由直三棱柱性質(zhì)及/ AIBICI = 90 可知 B2C 丄平面 ABB2A2，則該幾何體的BB1 B A C| 體積 V = 1 1 1 VA1B1C1-A2B2C+ VC-ABB2A2 = 2 X 2X 2 X 2 + 宅宅(1 + 2) X 2 X 2 = 6. (2)在厶 ABC 中，AB = 22+ 4- 3 2= 5, BC= ,22+ 3-2 2=