2020屆江蘇高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)課堂檢測(cè)：曲線與方程

1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)(五十)曲線與方程 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1 .方程( (x + y 一 1)寸 x - 1 = 0 表示的曲線是 _ . - x + y 一 1 = 0, - 解析：由(x+ y 1) x- 1= 0,得 或 x- 1 = 0,即卩 x+ y 1 = 0(x 1) v |x- 1 0 v 或 x= 1.所以方程表示的曲線是射線 x+ y 1 = 0(x 1)和直線 x= 1. 答案：射線 x+ y 1 = 0(x 1)和直線 x = 1 2. 平面上有三個(gè)點(diǎn) A( 2, y), B 0, y , C(x, y),若刀 B 丄C，則動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡方 程為 _ . 解析：

2、由題意得 AB = 2, y , 13 = x, 2，由 N丄 6C，得 N (C = 0，即 2x + 2 = 0，所以動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡方程為 y2= 8x. 答案：y2= 8x 3. (2018 江蘇太湖高級(jí)中學(xué)檢測(cè)) )若動(dòng)點(diǎn) P(x, y)滿足條件 N(x+ 4$+ y2 (x 4j+ y21 =6,則點(diǎn) P 的軌跡是 _ . 解析：|. x+ 4 2+ y2 , x 4 2+ y2|= 6 表示點(diǎn) P 到(4,0), ( 4,0)兩點(diǎn)的距離的差的絕 對(duì)值為 6，根據(jù)定義得點(diǎn) P 軌跡是雙曲線. 答案：雙曲線 4. 設(shè)點(diǎn) A 為圓(x 1)2+ /= 1 上的動(dòng)點(diǎn)，PA 是圓的切線，且

3、 PA= 1,貝 V P 點(diǎn)的軌跡方 程為 _ . 解析：如圖，設(shè) P(x, y),圓心為 MA 丄 PA,且 MA = 1，又因?yàn)?PA= 1, 所以 PM = MA2+ PA2= 2, 即 PM2= 2，所以(x 1)2+ /= 2. 答案：(x 1)2+ y2= 2 - B - B 2 _ 5.已知點(diǎn) A( 2,0), B(3,0)，動(dòng)點(diǎn) P(x, y),滿足 PA -PB = x 6,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方 程是 _ . 解析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn) P(x, y)滿足-只*6 = x2 6, 所以( (一 2 x, y) (3 x, y)= x2 6,即卩 y2= x, 所以動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程是

4、y2= x. 答案：y2= x 6.已知定點(diǎn) A(4,0)和圓 x2+ y2= 4 上的動(dòng)點(diǎn) B，動(dòng)點(diǎn) P(x, y)滿足6X +COB = 2 OP , 則點(diǎn) P 的軌跡方程為 _ 4+ xo= 2x, xo= 2x 4, 解析：設(shè) B(xo, yo)，由 得 - 又 AC = 2CB，所以(x a, y) = 2( x, b y), a = 3x, 即 S 3 b= 2y, 2 代入式整理可得 x2+y = 1. 4 2 答案：x2+ y = 1 4 3.已知 A( 1,0), B(1,0)兩點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn) M 作 x 軸的垂線，垂足為 N，若 MN2= AAN -NB , 當(dāng)& 0時(shí)

5、，動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡為 _ . 解析：設(shè) M(x, y),貝 U N(x,0),所以 麗P= y2, W? -3 =心 + 1,0) (1 x,0) = “1 x2), 所以 y= “1 x2)，即 A x+y2=人 2 變形為 x2+ y = 1.又因?yàn)锳V 0,所以動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡為雙 入 曲線. =o. 答案：雙曲線 4.設(shè)圓(x + 1)2+ y2= 25 的圓心為 C, A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)， Q 為圓周上任一點(diǎn)線段 AQ 的垂直平分線與 CQ 的連線交于點(diǎn) M，則 M 的軌跡方程為 _ 解析：因?yàn)?M 為 AQ 垂直平分線上一點(diǎn)， 則 AM = M Q, 所以 MC + MA =

6、 MC + M Q= CQ= 5, 故 M 的軌跡為以點(diǎn) C, A 為焦點(diǎn)的橢圓，所以 a = 2 c= 1, 2 2 4x 4y “ + = 1 25 21 5. 設(shè)過(guò)點(diǎn) P(x, y)的直線分別與 x 軸的正半軸和 y 軸的正半軸交于 A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 與 點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，0 為坐標(biāo)原點(diǎn).若貧=2PA，且66二 B = 1，則點(diǎn) P 的軌跡方程是 解析：設(shè) A(a,O), B(0, b), a0, b0. - - 由 BP = 2 PA，得(x, y- b)= 2(a x, - y), 即 a = 3x 0, b= 3y0. 即 66 = - 3x, 3y , 點(diǎn) Q(-x

7、, y),故由 0Q -AB = 1, 得(x, y) x, 3y = 1, 即；x2+ 3y2= 1. 3 2 2 故所求的軌跡方程為 x2 + 3y2= 1(x 0, y 0). 3 答案：尹2+ 3y2= 1(x 0, y 0) 2 6. (2019 揚(yáng)州一模) )如圖，已知橢圓+ y2= 1的焦點(diǎn)為F1 , F2 , 點(diǎn)P 為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò) F2作/ F1PF2的外角平分線的垂線， 垂足為點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn) Q 作 y 軸的垂線，垂足為 N ,線段 QN 的中點(diǎn)為 M，則點(diǎn) M 的軌跡方程為 _ . 解析：因?yàn)辄c(diǎn) F2關(guān)于/ F1PF2的外角平分線 PQ 的對(duì)稱點(diǎn) Q在直線 F1P 的延長(zhǎng)

8、線上, 答案： 2 2 4x 4y + = 1 則 b2= a2 2 21 -c= 21 所以橢圓的方程為 故 F1Q，= PF1+ PF 2= 2a= 4, 1 又 00 是厶 F2F1Q的中位線，所以 0Q=礦1 Q = 2, 設(shè) M(x, y),則 QQ2x, y), 所以有4X2+ y2= 4. 2 故點(diǎn) M 的軌跡方程為y + X2= 1. 4 2 答案：y+X2= 1 4 - - - - 7. _ 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，動(dòng)點(diǎn) P 和點(diǎn) M( 2,0), N(2,0)滿足|MN | |MP |+ MN -NP =0,則動(dòng)點(diǎn)P(X, y)的軌跡方程為 . 解析：因?yàn)閨MihN|

9、 IIMP汁 MrN 祁 =0, 所以 4 X + 2 2+ y2 + 4(X 2) = 0, 化簡(jiǎn)變形，得 y2= 8X. 答案：y2= 8X 8. (2019 通州一模)已知O C: (x+ 1)2+ y2= 36 及點(diǎn) A(1,0),點(diǎn) P 為圓上任意一點(diǎn)， AP 的垂直平分線交 CP 于點(diǎn) M，則點(diǎn) M 的軌跡方程為 _ . 解析：由圓的方程可知，圓心 C( 1,0),半徑等于 6，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(X, y), / AP 的垂直平分線交 CP 于 M , MA = MP , 又 MP + MC = 6,二 MC + MA = 6AC = 2，點(diǎn) M 滿足橢圓的定義，且 2a= 6,

10、2c= 2, 2 2 a= 3, c= 1,. b2= a2 c2= 8,二點(diǎn) M 的軌跡方程為 + y = 1. 2 2 答案：9+y=1 9 .已知長(zhǎng)為 1+ .2 的線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn) A, B 分別在X軸，y 軸上滑動(dòng)，P 是 AB 上 一點(diǎn)，且AP =孑-，求點(diǎn) P 的軌跡方程. 解：設(shè) A(X0,0), B(0, y0), P(X, y),由已知知-AP = jPB , - P -P 又 AP = (X XQ, y), PB = ( X, y。一 y), 所以 x XQ=今 x, y= (yo y), 得 xo= 1+ X, yo= (1 + 2)y. 因?yàn)?AB = 1+ 2

11、, 即 X2+ y0= (1 + 2)2, 所以 b+密X 2 + (1+邁)y】2=(1+何，2 化簡(jiǎn)得 2 + y2= 1. 2 即點(diǎn)P的軌跡方程為省+ y2= 1. 10.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) A(4,0)，且在 y 軸上截得弦 MN 的長(zhǎng)為 8. (1) 求動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程； (2) 已知點(diǎn) B( 1,0),設(shè)不垂直于 x 軸的直線 I 與軌跡 C 交于不同的兩點(diǎn) P, Q,若 x 軸 是/ PBQ 的角平分線，證明：直線 I 過(guò)定點(diǎn). 解：(1)如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為 O“x, y), 由題意OJA= O1M , 當(dāng) O1不在 y 軸上時(shí)，過(guò) O1作 0 訊丄 MN 交 MN 于 H

12、 , 則 H 是 MN 的中點(diǎn). 所以 O1M = x2+ 42, 又。1人人=寸寸(x- 4 2+y2, 所以寸(x 4$+ y2 =qx2+ 42，化簡(jiǎn)得 y2= 8x(x 豐 0). 當(dāng) O1在 y 軸上時(shí)，O1與 O 重合，點(diǎn) O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程 y2= 8x, 所以動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程為 y2= 8x. 證明：由題意，設(shè)直線 l 的方程為 y= kx+ b(kM 0), 2 Q(x2, y2),將 y= kx+ b 代入 y = 8x, 得 k2x2+ (2kb 8)x + b2= 0. 則= 32kb+ 64 0. 口 8 2kb 且 X1+ X2=記, 2 b

13、X1X2= 2, 因?yàn)?x 軸是/ PBQ 的角平分線，所以 一先=% , X1 + 1 X2+ 1 即 y1(x2+1) + y2( (x1 +1)= 0, (kx1+ b)(x2 + 1) + (kx2+ b)(x1 + 1) = 0, 2kx1X2+ (b+ k)(x1 + X2) + 2b= 0, 將代入得 2kb2+ (k+ b)(8 2kb)+ 2k2b= 0, 所以 k = b,此時(shí)0, 所以直線 l 的方程為 y= k(x 1)，即直線 l 過(guò)定點(diǎn)(1,0). 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知兩點(diǎn) M(1, 3), N(5,1)，若點(diǎn) C 的坐

14、標(biāo)滿足 OC = tOlvT - 2 + (1 t)ON(t R),且點(diǎn) C 的軌跡與拋物線 y= 4x 交于 A, B 兩點(diǎn). (1)求證：OA 丄 OB ; 在 x 軸上是否存在一點(diǎn) P(m,0)，使得過(guò)點(diǎn) P 任作一條拋物線的弦，并以該弦為直徑 的圓都過(guò)原點(diǎn)若存在，求出 m 的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：( (1)證明：由 = tOM + (1 t)Oh? (t R)，可知點(diǎn) C 的軌跡是 M , N 兩點(diǎn)所在的 直線， 所以點(diǎn) C 的軌跡方程為 y+ 3 =1 3 (x 1), 5 一 1 即 y= x 4. r y= x 4, 2 聯(lián)立2 化簡(jiǎn)得 x2 12x+ 16= 0, ly = 4x， 設(shè) C 的軌跡方程與拋物線 y2 = 4x 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 Ag, yj, B( (X2, y2), 則 x1+ x2= 12, x1x2= 16, y1y2= (X1 4)(x2 4)=咖一 4(x1 + x?) + 16= 16, 因?yàn)?OA B = x1x2+ y1y2= 16 16= 0, 所以 OA 丄 OB. (2)假設(shè)存在這樣的 P 點(diǎn)，并設(shè) AB 是過(guò)拋物線的弦，且 A(X1, y1), B(X2, y2),其方程 為 x= ny + m, 代入 y2= 4x 得 y2 4ny 4m=