近世代數(shù)課后習(xí)題參考答案張禾瑞-1

1、易讀文庫(kù)近世代數(shù)課后習(xí)題參考答案第一章 基本概念1集合1. B A,但B不是A的真子集，這個(gè)情況什么時(shí)候才能出現(xiàn) ？解？只有在A B時(shí),才能出現(xiàn)題中說(shuō)述情況證明 如下當(dāng)A B,但B不是A的真子集，可知凡是屬于 A而a B，顯然矛盾；若B A,但B不是A的真子集，可知凡屬于A的元不可能屬于 B,故A B2.假定 AB , A B ?,A n B=?解？此時(shí),A n B=A,這是因?yàn)锳 n B=A及由A B得A A n B=A,故A B A, A B B ,及由 A B得 A B B,故A B B,2映射1. A= 1,2,3,100，找一個(gè) A A到 A 的映射.解？此時(shí) 1 (a1, a2)

2、1 a1,a2 A2 (a1, a2 ) a1易證1, 2都是A A到A的映射.2在你為習(xí)題1所找到的映射之下，是不是A的每一個(gè)元都是 A A到A的一個(gè)元的的象？ 解？容易說(shuō)明在1之下，有A的元不是 A A的任何元的象；容易驗(yàn)證在2之下，A的每個(gè)元都是A A的象3代數(shù)運(yùn)算1. A=所有不等于零的偶數(shù).找到一個(gè)集合D ,使得普通除法是A A到D的代數(shù)運(yùn)算；是不是找的到這樣的D ?解?取 D為全體有理數(shù)集，易見(jiàn)普通除法是 A A到D的代數(shù)運(yùn)算；同時(shí)說(shuō)明這樣的 D不 只一個(gè).2. A a,b,c .規(guī)定A的兩個(gè)不同的代數(shù)運(yùn)算4結(jié)合律1. A=所有不等于零的實(shí)數(shù).是普通除法:a解？這個(gè)代數(shù)運(yùn)算不適合結(jié)

3、合律1(1 1) 2 -21 (1 2)2，從而(1a 這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合結(jié)合律b1) 2 1 (1 2).2. A=所有實(shí)數(shù).(a,b)a 2b a b這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合結(jié)合律解？這個(gè)代數(shù)運(yùn)算不適合結(jié)合律(a b) c a 2b 2c ,a (b c)a 2b 4c(a b) c a (b c)除非c 0.3. A = a,b,c,由表abca a b cbbcaccab所給的代數(shù)運(yùn)算適合不適合結(jié)合律？解？經(jīng)過(guò)27個(gè)結(jié)合等式后可以得出所給的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律.5交換律1. A=所有實(shí)數(shù).是普通減法：a b a b .這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合交換律解？ 一般地ab ba除非a b2. A

4、 a,b,c,d,由表abcdaabcdbbdacccabdddcab所給出代數(shù)運(yùn)算適合不適合交換律解 de a, cd d ?從而e d d e 故所給的代數(shù)運(yùn)算不適合交換律6分配律假定：，是A的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，并且適合結(jié)合律,適合兩個(gè)分配律證明 D)(印 b2) (a2 bi) (a2 b2)佝 bj (a2 bj (a1 b?)(a2b2)證佝 bj 佝 b2) (a2 bj(a2b2)?= (a1a?) b1 (a1a?)d=(a1a2)(b1b2)= a1(b1b2) a2(db2)(a1bi)(a2bi)b>)(a2d)7映射、變換1. A=所有0的實(shí)數(shù), A 所有實(shí)數(shù)找一個(gè)A

5、與A間的意義映射證 ：a a log a因?yàn)閍是大于零的實(shí)數(shù)，所以log a是實(shí)數(shù)即 a A,而a A,而且a b log a logb.因此 是A到A的映射.又給了一個(gè) A的任意元a,一定有一個(gè) A的元a，滿足log a a，因此 是A到A的滿射.a a log a b b log b若a b,貝V log a logb .即 a b a b因此 又是A到A的單射總之,是A到A的一一映射.2. A=所有 0的實(shí)數(shù), A 所有實(shí)數(shù)a,0 a 1.找一個(gè)A到A的滿射.證 :a a sin a ,容易驗(yàn)證是A到A的滿射.3.假定 是A與A間的一個(gè)一一映射,a是A的一個(gè)元.(A)?1(a)?若是A的

6、一個(gè)一變換，這兩個(gè)問(wèn)題的回答又該是什么？解1(a)a,1 (a) a ?未必有意義；當(dāng)是A的一一變換時(shí)，1(a)a, 1(a)a.8同態(tài)1. A=所有實(shí)數(shù)x, A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一個(gè)子集 A的同態(tài)滿射？a) xx b)x 2x c)xx2 d)x x證a)濕然A 所有 0的實(shí)數(shù).又由于 xy xy X y可知x x是A到A的同態(tài)滿射.b) 由于xy 2xy (2x)(2y)(除非xy 0)所以x2x不是A到A的同態(tài)滿射.c) 由于xy(xy)2 (x)2(y)2,易知x x2是A到A的同態(tài)滿射.這里A=所有0的實(shí)數(shù).d) 一般來(lái)說(shuō)，xy ( x)( y),:所以x

7、x不是A到A的同態(tài)滿射2. 假定A和A對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 和 來(lái)說(shuō)同態(tài)，A和A對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 和 來(lái)說(shuō)同態(tài), 證明A和A對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 和來(lái)說(shuō)同態(tài)。證：用射.1: a a表示A到A的冋態(tài)滿射，2 a a:a a2【(a)i,容易驗(yàn)證 是A到A的滿射2【i(a b)2【(a b) a bA的關(guān)于代數(shù)運(yùn)算，來(lái)說(shuō)的同態(tài)滿射。表示A到A的冋態(tài)滿所以令a b是A和9同構(gòu)、自同構(gòu)1. A=a,b,c，代數(shù)運(yùn)算由下表給定ab cac c cbcc cccc c找出所有A的一一變換.對(duì)于代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)，這些一一變換是否是A的子同構(gòu).證:所有A的變換有6個(gè)i :aa bb c c2:ab ba c c3：ab bc c a

8、4:ac bb c a5: ac ba c b6:aa bc c b容易驗(yàn)證i及2是A的子同構(gòu).2. A=所有有理數(shù),找一個(gè)A的對(duì)于普通加法來(lái)說(shuō)的子同構(gòu)（映射x x除外）證 ：x2x,對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)是A的一個(gè)子同構(gòu)，驗(yàn)證這一點(diǎn)是容易的3. A 所有有理數(shù); A的代數(shù)運(yùn)算是普通加法.A 所有 0的有理數(shù) A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法.證明對(duì)于給的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)，A與A間沒(méi)有同構(gòu)映射存在（現(xiàn)決定0在一個(gè)同構(gòu)映射之下的象）證：設(shè)A與A間有同構(gòu)映射 存在,先看在之下0的象0a0再看在之下某一兀a的象a a,那么 0 aaoa .但0 a a.所以a0aaa 0,故必ao1,即01對(duì)1 A來(lái)說(shuō)，在之下設(shè)有x0 A，x1由于是一同構(gòu)映射，于是x x2x1 ( 1)( 1)但又知，01,故2x 0,從而x0,與x0矛盾.>10等價(jià)關(guān)系與集合的分類(lèi)1. A=所有實(shí)數(shù), A的元間的關(guān)系 以及 是不是等價(jià)關(guān)系？解?>不是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)閍不大于a不是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)? 1但1不大于等于2.2有人說(shuō):假如一個(gè)關(guān)系 R適合對(duì)稱(chēng)和推移律，那么它也適合反射律.他的推論方法是：因?yàn)镽適合對(duì)稱(chēng)律aRb bRa 因?yàn)镽適合推移律a