2021年高考文科數(shù)學(xué)(人教A版)一輪復(fù)習(xí)講義：第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1、第 3 講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值一、知識(shí)梳理1 函數(shù)的極值函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x= a 的函數(shù)值 f(a)比它在點(diǎn) x= a 附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小， fa) = 0; 而且在點(diǎn) x= a 附近的左側(cè) f，x(0，右側(cè) f x) 0，則點(diǎn) a 叫做函數(shù) y= f(x)的極小值點(diǎn)，f(a) 叫做函數(shù) y = f(x)的極小值.函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x= b 的函數(shù)值 f(b)比它在點(diǎn) x= b 附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大， fb) = 0; 而且在點(diǎn) x= b 附近的左側(cè) f x) 0，右側(cè) fx(0，則點(diǎn) b 叫做函數(shù) y= f(x)的極大值點(diǎn)，f(b) 叫做函數(shù) y = f(x)

2、的極大值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.提醒(1)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能稱(chēng)為極值點(diǎn).(2) 在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)，極值不一定是唯一的，有可能有多個(gè)極大值或極小值.(3) 極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系.2.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù) f(x)在a, b上必有最大值與最小值.若函數(shù) f(x)在a, b上單調(diào)遞增，則 他為函數(shù)的最小值，血為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f(x)在a, b上單調(diào)遞減，則 回為函數(shù)的最大值，他為函數(shù)的最小值.提醒極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值,有最值的未必

3、有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值.常用結(jié)論記住兩個(gè)結(jié)論(1) 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)的極值點(diǎn)只有一個(gè)，則相應(yīng)極值點(diǎn)為函數(shù)最值點(diǎn).(2) 若函數(shù)在閉區(qū)間a, b的最值點(diǎn)不是端點(diǎn)，則最值點(diǎn)亦為極值點(diǎn).二、習(xí)題改編1. (選修 1-1P94 例 4 改編)若函數(shù) f(x)= 2x3 x2+ ax+ 3 在區(qū)間(1 , 1)內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為()A . ( 8, 4)B. 8, 4)C.(8, 4D.( m,8U4,+)答案：C2.(選修1-1P99A 組 T6 改編)函數(shù) f(x) = In x x 在區(qū)間(0, e上的最大值為()A . 1 e

4、B. 1C. e答案：BD. 0一、思考辨析判斷正誤(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的.()(2) 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).()(3) 函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()(4) 函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.()(5) 開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值.()答案：(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V二、易錯(cuò)糾偏常見(jiàn)誤區(qū)(1)利用極值求參數(shù)時(shí)忽略對(duì)所求參數(shù)的檢驗(yàn)；(2) 混淆極值與極值點(diǎn)的概念；(3) 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a, b)上不一定存在最值.1. 若函數(shù) f(x) = x(x c)2在 x= 2 處有極小值，則常數(shù) c 的值為_(kāi) .解析：

5、函數(shù) f(x)= x(x c)2的導(dǎo)數(shù)為 fk(=3X2 4cx+ c2,由題意知，在 x= 2 處的導(dǎo)數(shù)值 為 128c+ c2= 0,解得 c= 2 或 6,又函數(shù) f(x) = x(x c)2在 x= 2 處有極小值，故導(dǎo)數(shù)在 x =2 處左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，而當(dāng) c= 6 時(shí)，f(x)= x(x 6)2在 x= 2 處有極大值,故 c= 2.答案：22._函數(shù) g(x) = x2的極值點(diǎn)是 _， 函 數(shù)f(x)= (x 1)3的極值點(diǎn)_ (填“存在”或“不存在”).解析：結(jié)合函數(shù)圖象可知 g(x)= x2的極值點(diǎn)是 x= 0.因?yàn)?fx)= 3(x 1)20，所以 fx)=0 無(wú)變號(hào)零

6、點(diǎn)，故函數(shù) f(x) = (x 1)3不存在極值點(diǎn).答案：0 不存在3._函數(shù) g(x) = x2在1 , 2上的最小值和最大值分別是 _，在(1, 2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).解析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值的定義可得.答案：1 , 4 不存在函數(shù)的極值問(wèn)題(多維探究)角度一由圖象判斷函數(shù)的極值已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f刈的圖象如圖，則下列敘述正確的是 ( )A .函數(shù) f(x)在(一汽一 4)上單調(diào)遞減B .函數(shù) f(x)在 x= 2 處取得極大值C.函數(shù) f(x)在 x=- 4 處取得極值D .函數(shù) f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng) x 0,函數(shù)

7、 f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x2 時(shí)，fx) 0),當(dāng) a 1 0,即 a0,函數(shù) f(x)在(0, +)上單調(diào)遞增，無(wú)極小值.當(dāng) a 10,即 a1 時(shí)，由 fx)0,得 0 x0,得 xa 1,函數(shù) f(x)在(a 1, +)上單調(diào)遞增.f(x)極小值=f(a 1) = 1 + ln(a1)綜上所述,當(dāng) aw1 時(shí)，f(x)無(wú)極小值;當(dāng) a1 時(shí),f(x)極小值=1 + ln(a 1).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問(wèn)題的一般流程角度三 已知函數(shù)的極值求參數(shù)值 (范圍 )設(shè)函數(shù) f(x)= ax2 (3a + 1)x + 3a + 2ex.(1) 若曲線 y= f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線斜率為

8、 0,求實(shí)數(shù) a 的值；(2) 若 f(x)在 x= 1 處取得極小值，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.【解】因?yàn)?f(x) =ax2(3a+ 1)x+ 3a+ 2ex,所以 fx) = ax2 (a+ 1)x + 1ex.f (= (2a 1)e2.21由題設(shè)知 f (=)0, 即(2a 1)e2= 0,解得 a =(2)由得 fx) = ax2 (a + 1)x+ 1ex= (ax 1)(x 1)ex.1若 a1,則當(dāng) x；, 1 時(shí)，fx)0.所以 f(x)在 x= 1 處取得極小值.若 aw1,則當(dāng) x (0, 1)時(shí)，ax 1 x 10.所以 1 不是 f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知，a 的取值

9、范圍是(1,+8).已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式： 根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0 和極值這兩個(gè)條件列方程組 ，利用待定系數(shù)法求解(2)驗(yàn)證： 因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件， 所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性提醒若函數(shù) y= f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有極值,那么 y= f(x)在(a, b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)， 即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值解析：選 A.fx) = (x1 2+ 2x m)ex.由題意知，f偉(3 m)e= 3e,所以 m= 0, f x)= (x2+ 2x)ex.當(dāng) x0 或 x0, f(x)是增函數(shù)；當(dāng)一 2x0 時(shí)，fx)0, f(x)是

10、減函數(shù).所 以當(dāng) x= 2時(shí)，f(x)取得極大值，f( 2) = 4e2.故選 A.2._ 已知 f(x)= x3+3ax2+ bx+ a2在 x= 1 處有極值 0，貝 V a b =_.解析：由題意得 fx) = 3x2+ 6ax+ b,貝 Va?+ 3a b 1 = 0,b 6a+ 3 = 0,a = 1,a= 2,解得或1x? x + 1令 g(x) = In x x+ x+ a 1, x (1, e),則 fx)= exg(x), gx) = x0 恒成立，所以 g(x)在(1, e)上單調(diào)遞減，所以 g(x)g(1) = a 1 0,所以 f x)= 0 在(1, e)內(nèi)無(wú)解.所以

11、函數(shù) f(x)在區(qū)間(1, e)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn).b = 3b= 9,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) a= 1, b = 3 時(shí)，函數(shù) f(x)在 x= 1 處無(wú)法取得極值，而 a= 2, b= 9 滿足題 意,故 a b= 7.答案：73.已知函數(shù) f(x) = ex( x+ In x+ a)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a 為常數(shù)，且 a0? 0 x1 , f x) 1,所以 f(x)在(0, 1)上單調(diào)x xx遞增，在(1,)上單調(diào)遞減.(其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).f(x)的定義域?yàn)?0,).由得 f(x)在 1, 1 上單調(diào)遞增，在(1, e上單調(diào)遞減，1 1所以 f(x)在 e，e 上的極大值為 f(1)= 1

12、1- In 1 = 0.I1111口 1又 fe= 1 e In一=2 e, f(e) =1 一一In e =一，且f-f(e).eeeee1所以 f(x)在 e，e 上的最大值為 0,最小值為 2 e.求函數(shù) f(x)在a, b上最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與 f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.若函數(shù)在閉區(qū)間a，b內(nèi)有極值，要先求出a，b上的極值，與 f(a)，f(b)比較，最大 的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.(3)函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.i 函數(shù) f(x

13、)=在一 3, i 上的最小值與最大值的和為()2x+131A.32B.3C. 1D. 0解析：2x (2x+ 1) 2x42x (x+ 1)1選 A. f x)=2=2, x -, 1 ,當(dāng) f x) = 0 時(shí)，x= 0;(2x+ 1)2(2x+ 1)251 當(dāng)一 3Wx 0 時(shí)，fx)0 ;當(dāng) 0 x0,31所以 f(x)在3，0 上是減函數(shù)，在(0 , 1上是增函數(shù)所以 f(x)min= f(0) = 0.11“八1又f 3 = 1，f(1)為1 所以 f(x)的最大值與最小值的和為2. (2020 東五校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)= ax+ ln x,其中 a 為常數(shù).(1)當(dāng) a =

14、 1 時(shí)，求 f(x)的最大值；若 f(x)在區(qū)間(0, e上的最大值為3,求 a 的值.解：(1)易知 f(x)的定義域?yàn)?0,),11 一 x當(dāng) a = 1 時(shí)，f(x) = x+ ln x, fx) = 1 +_=,令 f x) = 0,得 x= 1.x x當(dāng) 0 x0; 當(dāng) x1 時(shí)，fx) -，則 fx)(0,從而 f(x)在(0, e上是增函數(shù)，所以 f(x)max= f(e) = ae+ 10,e不符合題意；1112若 a0 得 a + -0,結(jié)合 x (0, e,解得 0 x；,exa111令 fx)0 得 a+ x0,結(jié)合 x (0, e,解得-x e.從而 f(x)在 0,；上為增函數(shù)， x aa1 1令1+ In - a = 3,得 In - a = 2,即 a = e2.在一；,e 上為減函數(shù)，所以 f(X)max= f 1= 1+ ln-.aaa1因?yàn)橐?e2-,則當(dāng) x J 2 時(shí)，f，x)0.(3)函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值.所以 f(x)在 x= 2 處取得極小值.1 1 若 a2,則當(dāng) x (0, 2)時(shí)，x 20, ax K qx 10.所以 2 不是 f(x)的極小值點(diǎn).一 1綜上可知，a 的取值范圍是 j,