鐵軍考研 提升最快的 線性代數(shù) 知識(shí),是行家 看了就知道

1、.節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿

2、羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄

3、袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂

4、袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿

5、螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆

6、蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄

7、肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁

8、羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆

9、羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆

10、袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄

11、螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁

12、蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿

13、蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃

14、羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁

15、羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈

16、衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆

17、袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃

18、螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀

19、蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈

20、肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅

21、羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃

22、袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀

23、袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅螞羈蒅莄袈襖蒄薆蟻節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀蒀薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈

24、螅肁薈蕆羈羇膄蝕螄羃膄螂聿節(jié)膃蒂袂膇膂薄肇肅膁蚆袀罿膀蝿蚃羋艿蒈衿膄羋薀蟻?lái)绷d螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅芁芅蚇螈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿莂薁羂裊莂蚄螅膃莁莃羀腿莀薆袃肅荿蚈肈羈莈螀袁芀莇 萬(wàn)學(xué)海文線性代數(shù)考研沖刺班講義 主講 鐵軍 教授線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占有重要地位，必須予以高度重視。線性代數(shù)試題的特點(diǎn)比較突出，以計(jì)算題為主，證明題為輔，主要用證明題的方法技巧來(lái)解決計(jì)算題。因此，必須掌握證明題的證明技巧，并會(huì)在計(jì)算題中靈活應(yīng)用。難點(diǎn)在于線性代數(shù)的內(nèi)容比較抽象，綜合性強(qiáng)，特別是關(guān)于向量的線性相關(guān)性、矩陣的秩與線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理的綜合題難度較大，必須突破這一難點(diǎn)。第一章 行列式 行列式的核心考點(diǎn)是掌握

25、計(jì)算行列式的方法，計(jì)算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開(kāi)公式將行列式降階。但在展開(kāi)之前往往先用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行恒等變形，化簡(jiǎn)之后再展開(kāi)。另外，用簡(jiǎn)單的遞推公式求行列式的方法也應(yīng)掌握?！究键c(diǎn)一】 形如的行列式稱為范德蒙行列式。范德蒙行列式的特點(diǎn)是：其每列元素 按的升冪排列，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，第二行的元素分別為每列元素的公比，且第一行元素為1. 范德蒙行列式的值為：【例1】計(jì)算四階行列式 （其中均不為0）【詳解】由范德蒙行列式=.【考點(diǎn)二】掌握簡(jiǎn)化行列式運(yùn)算的兩個(gè)重要公式：設(shè)是階方陣，是階方陣，則 （1）；（2）.【例2】設(shè)均是階矩陣， 則【詳解】直接利用上述公式簡(jiǎn)化行列式運(yùn)算。

26、而 ，。 于是 .【考點(diǎn)三】若行列式中含有變量，則該行列式展開(kāi)后成為關(guān)于的多項(xiàng)式，可考查該多項(xiàng)式的次數(shù)、零點(diǎn)等問(wèn)題?！纠?】 設(shè)行列式 則方程的根的個(gè)數(shù)為（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【考點(diǎn)四】計(jì)算代數(shù)余子式線性組合的值：1行列式元素的余子式和代數(shù)余子式：在行列式中，取元素，其中表示位于該行列式中第行、第列的一個(gè)元素，我們?nèi)サ羲诘牡谛泻偷诹械乃性兀咽Ｓ嗟膫€(gè)元素按其原來(lái)的位置關(guān)系組裝成一個(gè)新的階行列式，記作，并稱其為原行列式中元素的余子式。因?yàn)樵谠撔辛惺街幸还灿袀€(gè)元素，每個(gè)元素都有一個(gè)余子式，所以這個(gè)階行列式一共有個(gè)余子式. 如果在元素的之前加上符號(hào)，則稱其為元素的代數(shù)余子式，記

27、作. 將兩邊都乘以得，因此，.2行列式元素的代數(shù)余子式的性質(zhì)和特點(diǎn)：設(shè)行列式（1）和的大小無(wú)關(guān)；（2） （稱為行列式按第行展開(kāi)） ， （稱為行列式按第列展開(kāi)） 代數(shù)余子式的這個(gè)性質(zhì)稱為行列式的按行按列展開(kāi)定理或行列式的按行按列展開(kāi)公式.顯然，行列式可按任何一行展開(kāi)，也可按任何一列展開(kāi)。 （3）. 這表示行列式一行的元素分別與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為. （4）利用行列式按行按列展開(kāi)公式計(jì)算代數(shù)余子式的代數(shù)和的方法：替換法。所謂替換法實(shí)質(zhì)上就是將行列式按行按列展開(kāi)公式反過(guò)來(lái)使用，我們?nèi)サ舸鷶?shù)余子式所在的第行的所有元素，換成代數(shù)余子式前面的系數(shù)，其余元素不變，按其原來(lái)的位置關(guān)系組裝成一

28、個(gè)新的階行列式，即.【例4】設(shè)4階行列式，求.【詳解】因?yàn)樵谥校辛惺降谝恍性氐拇鷶?shù)余子式前面的系數(shù)全為，所以使用替換法計(jì)算，即去掉代數(shù)余子式所在的第行的所有元素，換成代數(shù)余子式前面的系數(shù)，其余元素不變，按其原來(lái)的位置關(guān)系組裝成一個(gè)新的階行列式，即 （由于第一行和第四行對(duì)應(yīng)元素成比例）.【考點(diǎn)五】計(jì)算抽象矩陣的行列式：主要利用矩陣行列式的性質(zhì)。 設(shè)為階矩陣，則有（1）（2） （3） （4）設(shè)為階可逆矩陣，則 （5）利用行列式加法運(yùn)算的性質(zhì)： 設(shè)為維列向量，為維行向量，則 ， 【例5】設(shè)，且，則.【詳解】2.【例6】設(shè)為三階矩陣，為的個(gè)列向量，則（ ）（A） （B）（C）（D）【詳解】應(yīng)選【例

29、7】設(shè)階方陣的特征值為，且方陣與相似，是的伴隨矩陣，則行列式【詳解】， 存在可逆矩陣，使 ，于是， .第二章 矩陣矩陣是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象，有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)線性代數(shù)的目標(biāo)之一，就是要學(xué)會(huì)利用矩陣這一工具去刻畫你所面對(duì)的問(wèn)題，并能利用矩陣的運(yùn)算和性質(zhì)去解決問(wèn)題。 矩陣考試的重點(diǎn)是：矩陣的乘法運(yùn)算，逆矩陣，伴隨矩陣，初等矩陣，矩陣的秩。以計(jì)算題為主，技巧性強(qiáng)。對(duì)于矩陣每一種運(yùn)算一定要搞清三點(diǎn)：什么條件下可以運(yùn)算；運(yùn)算的結(jié)果是什么；如何運(yùn)算？【考點(diǎn)六】矩陣的乘法運(yùn)算：1、矩陣乘法沒(méi)有交換律：一般，因?yàn)橄嗯?，但不一定相配，即便相配也未必相等。因此矩陣相乘時(shí)要注意運(yùn)算次序。2、矩陣乘法不滿足消去

30、律，即由且，不能推出.因此，大家在遇到且時(shí)，不能隨便約分，但可以移項(xiàng)變?yōu)? 3、一般只有可交換時(shí)，才有但當(dāng)時(shí)不能推出可交換.【例8】設(shè)均為維列向量，且可逆，則【詳解】設(shè)，則 于是 ，.【例9】已知，設(shè)，則.【詳解】 【考點(diǎn)七】方陣的伴隨矩陣與可逆矩陣1方陣的伴隨矩陣：設(shè)方陣， 稱為方陣的伴隨矩陣。 其中：為方陣的行列式的的代數(shù)余子式。2方陣的逆矩陣：對(duì)于階方陣，如果有一個(gè)階方陣，使，則稱方陣是可逆的，并把方陣稱為方陣的逆矩陣。記 .3階方陣，的逆矩陣和伴隨矩陣滿足下面運(yùn)算規(guī)律：（1） （2） （3） （4）（5）， （6） （7） （8）（9） （10）（為常數(shù)，A為階矩陣，）（11）（A為階

31、矩陣，）（12）（A為任階矩陣，） （13） （14）（15）設(shè)A是階矩陣，則 4. 矩陣A可逆的充要條件：（1）存在階方陣B，使（2）（3）秩（A為階方陣）（4）A與同階單位矩陣E等價(jià)（5）A可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積（6）齊次線性方程組只有零解（7）對(duì)任意維列向量，非齊次線性方程組有唯一解。（8）A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)。（9）A的特征值均不為.【例10】設(shè)矩陣的伴隨矩陣且，求矩陣.【詳解】因?yàn)?，兩邊取逆矩陣得 所以 .【考點(diǎn)八】分塊矩陣：1. 只要把子塊或子矩陣當(dāng)做通常的矩陣元素，分塊矩陣的加、減、乘法、數(shù)乘與轉(zhuǎn)置等運(yùn)算就與通常矩陣的相應(yīng)運(yùn)算基本相同。2. 設(shè)A、B均為可逆方陣，

32、則 ?！纠?1】設(shè)A為階矩陣，為維列向量， 為常數(shù)，已知， ，則【詳解】.【例12】設(shè)，其中 ，求.【詳解】對(duì)矩陣做與相對(duì)應(yīng)的分塊為 令，其中，.于是有 易得 ， 則 【考點(diǎn)九】（1）對(duì)矩陣施行一次初等行變換，就相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì)矩陣施行一次初等列變換，就相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣（2）初等矩陣均可逆，而且初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣 = ，= ， =【例13】設(shè)， 令，則（ ）(A) . (B) . (C) .(D) . 【詳解】應(yīng)選(B).【考點(diǎn)十】矩陣的秩的性質(zhì)（）設(shè)A為矩陣，則.（）秩A=秩.（）設(shè)A、B均為矩陣，則.（）（）若可逆，則秩（）=秩B；若可

33、逆，則秩（）=秩A。（）設(shè)A為矩陣，B為矩陣，若，則。（）設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則.(8)設(shè)A是階矩陣，則 .【例14】設(shè)，為三階非零矩陣，且，則（ ） （A）時(shí)，必有.（B）時(shí)，必有. （C）時(shí)，必有. （D）時(shí)，必有.【詳解】選項(xiàng)（C）正確.【例15】設(shè)，若存在秩大于的三階矩陣，使得，則 【詳解】由，有,又因?yàn)椋?所以 ，于是， 。則，而，因此第三章 向量我們研究一個(gè)事物，總要研究其最基本的構(gòu)成.在線性代數(shù)中所研究對(duì)象的基本構(gòu)成是什么呢？就是向量.本章是考研復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。一定要吃透線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念、性質(zhì)和判別法，并能靈活運(yùn)用。熟記一些常見(jiàn)結(jié)論，并能將線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念

34、與矩陣的秩、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換、連接，開(kāi)闊思路，提高綜合能力?！纠?6】已知三維向量組：及均線性無(wú)關(guān).（1） 若向量不能由線性表示，證明線性無(wú)關(guān).（2） 證明存在非零向量，既能由線性表示，也能由線性表示.【例17】已知維向量組，其中維向量組線性無(wú)關(guān)，則（ ）（A）向量組線性無(wú)關(guān).（B）向量組線性無(wú)關(guān) . （C）向量組 線性無(wú)關(guān) . （D）向量組線性無(wú)關(guān).【詳解】選項(xiàng)（D）正確.【例18】向量組，的最大線性無(wú)關(guān)組不能是（ ）（A）（B）（C） （D）【詳解】，由于階梯形矩陣中有三個(gè)非零行和三個(gè)非零的階梯，所以原向量組的秩為.其最大線性無(wú)關(guān)組中含有三個(gè)向量，從每一個(gè)不同的階梯中取一列

35、向量，則所在的列對(duì)應(yīng)的原向量就是原向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組.因此，最大線性無(wú)關(guān)組可以是，或，或，或，每組都有，因而最大線性無(wú)關(guān)組不能是，選項(xiàng)（D）正確.【例19】已知維向量組線性無(wú)關(guān)，則（ ）(A) 對(duì)任意一組數(shù)，都有.(B).(C) 中少于個(gè)向量構(gòu)成的向量組均線性相關(guān).(D 中任意兩個(gè)向量均線性無(wú)關(guān).【詳解】選項(xiàng)(D正確.【例20】設(shè)為階方陣，則（ ）(A) 若，則的某兩行元素一定成比例.(B) 若的某兩行元素不成比例，則.(C)若，則.(D若，則.【詳解】選項(xiàng)(D)正確.【例21】設(shè)階方陣， 。記向量組：，：，III：，如果向量組III線性相關(guān)，則（ ）(A) 向量組（）線性相關(guān) (B)

36、 向量組（）線性相關(guān) (C) 向量組（）與（）都線性相關(guān) (D) 向量組（）與（）至少有一個(gè)線性相關(guān)【詳解】選項(xiàng)(D)正確.因?yàn)榫€性相關(guān)，所以，又，所以選項(xiàng)(D)正確.?！究键c(diǎn)十一】1.（1）維向量可由線性表示秩=秩；（2）維向量不可由線性表示秩 秩（3）維向量可由線性表示，且表示法唯一秩=秩；（4）維向量可由線性表示，且表示法不唯一秩=秩；2令，則（1）維列向量組可由線性表示秩=秩，即.（2）維列向量組不可由線性表示秩秩，即.（3）維列向量組可由線性表示，且表示法唯一秩=秩，即.（4）維列向量組可由線性表示，且表示法不唯一秩=秩，即.3維列向量組與等價(jià)的充要條件為 ，其中 【例22】已知兩個(gè)

37、向量組與，問(wèn)取何值時(shí)，兩個(gè)向量組等價(jià)？并寫出等價(jià)時(shí)的線性表示式?！驹斀狻坑捎诰鶠樾邢蛄?，因此以向量為列構(gòu)成矩陣A，對(duì)A作初等行變換，得當(dāng)時(shí)，由于秩=秩=秩均可由線性表示，均可由線性表示。繼續(xù)將A化為階梯形，得。反之，可解得當(dāng)時(shí)，向量組與向量組等價(jià)。【例23】（1）設(shè)，；，. 問(wèn)為何值時(shí)，不能同時(shí)由線性表示. （2）設(shè)，問(wèn)為何值時(shí)，矩陣方程有解，有解時(shí)，求出其全部解.【詳解】對(duì)增廣矩陣作初等行變換，得（1）時(shí)，不能同時(shí)由線性表示. 任意時(shí)，能由線性表示，且表示法唯一. 其中的解為. 的解為. 又 時(shí)有無(wú)窮多解，能由線性表示，且表示法不唯一. 其中的解為，其中為任意實(shí)數(shù). 的解為，其中為任意實(shí)數(shù).

38、 （2）又上述結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，矩陣方程無(wú)解； 當(dāng)任意時(shí)，矩陣方程有唯一解 ，且 當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解，且，其中，為任意實(shí)數(shù).第四章 線性方程組 線性方程組的理論及其解法是線性代數(shù)課程中最重要的理論成果和內(nèi)容之一。線性方程組有三種等價(jià)形式：線性方程組形式，矩陣方程形式，向量的線性組合方程形式，在討論相關(guān)問(wèn)題時(shí)可以相互轉(zhuǎn)換。本章的題型均圍繞線性方程組解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)進(jìn)行，歷年的真題靈活多變，題目眾多，是復(fù)習(xí)中最好的資料?！究键c(diǎn)十二】齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的判定方法：（）向量組稱為的基礎(chǔ)解系，如果：（1）是的解（2）線性無(wú)關(guān)（3）的任一解都可由線性表出。的基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù)為-秩A。（）向量組稱為的基礎(chǔ)解系，

39、如果：（1）是的解（2）線性無(wú)關(guān)（3）秩A【例24】 設(shè)階矩陣的主對(duì)角線上的元素都是，其他元素都是，且方程組只有一個(gè)非零向量組成基礎(chǔ)解系，則?！驹斀狻俊！纠?5】設(shè)是矩陣，是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則秩（）=（ ）（A）（B）（C）（D） 【詳解】選項(xiàng)正確.【例26】通解是（ ） 【詳解】選項(xiàng)正確.【例27】是四階矩陣，設(shè)，其中向量組線性無(wú)關(guān)，且，則齊次線性方程組（ ）（A）有非零解，且通解為（為任意實(shí)數(shù)）（B）有非零解，且通解為（為任意實(shí)數(shù)）（C）有非零解，且通解為（為任意實(shí)數(shù)）（D）只有零解 【詳解】選項(xiàng)正確.【例28】設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，是的解，是 的解，則常數(shù).【詳解】或.【例29

40、】設(shè)，討論常數(shù)，求矩陣方程的解?！驹斀狻吭O(shè). ，由，分別考慮三個(gè)增廣矩陣，所以該矩陣方程有解的充要條件是每一增廣矩陣的秩都是2，經(jīng)計(jì)算知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有解，此時(shí)解可寫為 .【考點(diǎn)十三】非齊次線性方程組（1）非齊次線性方程組無(wú)解的充分必要條件是.（2）非齊次線性方程組（其中A是矩陣）有唯一解的充分必要條件是.（3）非齊次線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是.（4）設(shè)是（其中A是矩陣）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是任意常數(shù)，則非齊次線性方程組（其中A是矩陣）的全部解向量可表示為，這就是的通解.【例30】設(shè)為四維列向量，。已知的通解為 其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)。

41、令，試求的通解?！驹斀狻恳?yàn)?，且?，于是有 ，.可見(jiàn)線性無(wú)關(guān)，且為的特解。又由知為的非零解，可作為基礎(chǔ)解系，故的通解為，其中為任意常數(shù)?！纠?1】已知，是方程組的三個(gè)解，求此方程組的通解。【例32】設(shè)向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即。試證明：向量組線性無(wú)關(guān)?！驹斀狻吭O(shè)有一組數(shù)，使得。合并同類項(xiàng)，得。上式兩邊左乘矩陣A，得。是的解， 。而不是的解，因此而，所以，。又是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，該向量組線性無(wú)關(guān)，必有；而。向量組線性無(wú)關(guān)?！纠?3】設(shè)向量組是個(gè)維列向量，且已知 只有零解. 問(wèn)方程組 何時(shí)有非零解. 有非零解時(shí)，求出其通解. 何時(shí)只有零解，說(shuō)明理由.【詳解】只有零

42、解秩向量組線性無(wú)關(guān). 而 其中. ，（1）當(dāng)時(shí)，方程組只有零解.（2）當(dāng)時(shí)，. 因?yàn)椋?則方程組有通解，其中是任意常數(shù).第五章 特征值與特征向量本章所討論的矩陣均為方陣.矩陣的特征值和特征向量問(wèn)題是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，它不僅在理論上有重要意義，而且在工程技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用中也起著重要的作用。本章主要包括特征值與特征向量的計(jì)算及證明，特別是相似矩陣及矩陣對(duì)角化.前面學(xué)習(xí)的矩陣的秩的概念，就是矩陣的一個(gè)特征，我們已經(jīng)用“秩”刻畫了矩陣的很多性質(zhì)，諸如矩陣的可逆性，行向量組的線性相關(guān)性等.而矩陣的特征值和特征向量則是矩陣的又一特征.本章是數(shù)學(xué)一、二、三均包括的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)予以高度重視?！纠?4】

43、設(shè)X=(1 -1 2是矩陣A=的一個(gè)特征向量,則a ,b的值為（ ）（A） 5, 2 (B) 1, -3 (C) 3, 1 （D） 1, 3 (E) 2, 5【詳解】選項(xiàng)正確.【例35】（ ）（A）（B）（C）（D）【詳解】選項(xiàng)正確.【例36】已知線性方程組有無(wú)窮多解，而是三階矩陣，分別是關(guān)于特征值的三個(gè)特征向量，求.【詳解】化增廣矩陣為階梯形，有 由于方程組有無(wú)窮多解，得或.當(dāng)時(shí)，三個(gè)特征向量線性相關(guān)，不合題意，舍去。當(dāng)時(shí)，令，有，從而有【例37】已知是矩陣的特征向量，求的值，并證明A的任一特征向量均能由線性表出?！驹斀狻苛?，即， ，。又，是A的三重特征值。設(shè)，使，則，即同解方程組為其基礎(chǔ)解

44、系為。，即A的任一特征向量均能由線性表出?！纠?8】三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，屬于特征值的特征向量為，則屬于特征值的所有特征向量為（ ）（A）（B）（C）（D）【詳解】（D）.【例39】設(shè)是三階實(shí)對(duì)稱矩陣的三個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量依次為證明：（1）； （2）把用線性表出，并求.【證明】（1），則， 于是 .（2）令，于是有 【例40】已知，且A與B相似，求 的值?！驹斀狻坑捎贏與B相似，故A與B有相同的特征值。又，的特征值為，它們也是A的特征值。，。又，。又，解得?！纠?1】設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣.（1） 求一個(gè)正交矩陣及對(duì)角矩陣，使.（2） 求一個(gè)對(duì)稱矩陣，使.【詳解】（1）矩陣的特征方程為，

45、其特征值為.因?yàn)?的基礎(chǔ)解系為： 的基礎(chǔ)解系為：，所以 將單位化，將先正交化再單位化，之后將這三個(gè)向量組成一個(gè)正交矩陣 ， 且 （3） 顯然有 則令對(duì)稱矩陣，有 .【例42】設(shè)三階矩陣，且有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，是的二重特征值，則【詳解】因?yàn)?，所以任意兩行?duì)應(yīng)元素成比例，【例43】已知A是3階矩陣，A的每行元素之和為3，且線性齊次方程組有通解 ，其中是任意常數(shù). （1）證明：對(duì)任意的一個(gè)三維向量，向量的三個(gè)分量相等； （2）若，求.【詳解】（1）因?yàn)锳的每行元素之和為3，所以 ，即A有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為. 又由線性齊次方程組有通解，可知 A有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為. 因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，故

46、任意的一個(gè)三維向量均可由線性表示， 設(shè)，從而有 所以向量的三個(gè)分量相等. （2）若，令 ，解方程組得. .【例44】設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為，并且其中，.求的所有特征值及相應(yīng)的特征向量，并求矩陣及.【詳解】由于，所以必是的特征值. 令，則由題設(shè)知，.不妨設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的形式如下： 利用可知 ，則 .解方程組可得對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量為 ，令則 ，第六章 二次型二次型的研究起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式的問(wèn)題，它在數(shù)學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)中都有應(yīng)用。數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)三在考試中常考關(guān)于二次型和正定矩陣的大題,非常重要?！究键c(diǎn)十四】1合同矩陣：設(shè)A和B均為階方陣。若存在可逆矩陣P，

47、使，則稱A與B合同。2注意矩陣合同、等價(jià)、相似的關(guān)系：若A與B合同，則存在可逆陣P，使，A與B等價(jià)，但不一定相似。若存在正交矩陣P使，則A與B合同，相似且等價(jià)。若A與B相似，則A與B不一定合同，但A與B等價(jià)?！纠?5】設(shè)，則A與B（ ）。（A）合同且相似（B）不合同但相似（C）合同但不相似（D）不合同且不相似。【詳解】A與B既相似又合同，應(yīng)選（A）?！纠?6】二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為?！驹斀狻刻卣髦捣謩e為，所以正、負(fù)慣性指數(shù)分別為2，1?！究键c(diǎn)十五】1用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法與步驟與用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱矩陣為相似對(duì)角矩陣基本相同。求出二次型的矩陣A，化二次型為矩陣形式，即。令或，求出

48、A的特征值。令，求出其基礎(chǔ)解系，即所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量。用施密特正交化方法，將正交化，再單位化，求出正交單位向量組。令，則P為正交矩陣。令，則 為正交變換。將代入原二次型，得2若A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在可逆陣P，及可逆變換，使二次型化為規(guī)范形：。注意：可逆變換不一定是正交變換?！纠?7】已知向量是二次型的矩陣A的特征向量，求正交變換化該二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求可逆線性變換化該二次型為規(guī)范型?！驹斀狻坑质茿的特征向量，設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征值為，有即即，則。計(jì)算A的特征多項(xiàng)式則A的特征值為，。解方程組得，其基礎(chǔ)解系為。又解方程組得，即，其基礎(chǔ)解系為。令，則P為正交矩陣，作正交變換，得?！究键c(diǎn)十六】1設(shè)有

49、實(shí)二次型，若對(duì)任何，都有，則稱是正定二次型，稱A為正定矩陣。2元實(shí)二次型或階方陣A正定的充要條件是下列條件之一成立：（1）任，恒有。（2）的標(biāo)準(zhǔn)型中的個(gè)系數(shù)全大于0。（3）A的特征值全大于0。（4）A的正慣性指數(shù)為。（5）A的各階順序主子式均大于0。（6）A與單位矩陣合同，即存在可逆陣P，使。（7）存在可逆矩陣，使?！纠?8】當(dāng)實(shí)數(shù)滿足條件時(shí)，二次型是正定二次型.【詳解】.【例49】設(shè)A是階正定矩陣，是維非零列向量，且當(dāng)時(shí)有 。證明：向量組線性無(wú)關(guān).【詳解】令.兩邊同時(shí)左乘，有 . ，為正定矩陣且，兩邊再同時(shí)左乘，同理可證，向量組線性無(wú)關(guān)。【考點(diǎn)十七】向量空間 1設(shè)與是維向量空間的兩個(gè)基，且則

50、其中，稱C為由基到基的過(guò)渡矩陣，且該矩陣C為可逆矩陣。 2設(shè)維向量空間有兩組基及，且，則坐標(biāo)變換公式為，其中C為由基到基的過(guò)渡矩陣。【例50】設(shè) 是中的兩個(gè)基，則由基到基的過(guò)渡矩陣為【詳解】，則 . 蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃

51、薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃

52、蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄

53、薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿袆肈莂蟻肂羄蒁螄襖芃蒁蒃蚇腿蒀薅袃膅葿螈蚆肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆蒆螞罿膂蒅螄螂肈薅蒄羈羄薄薆螀節(jié)薃蠆羆羋薂袁蝿膄薁薁肄肀膈蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅裊膁芅薇肁肇芄蠆襖羃芃螂蚆莁芃薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿芀蒆螃羅艿薈羈芄莈蝕螁膀莇螃羇肆莇蒂螀肂莆蚅肅羈蒞螇?mèng)缕P莄蕆肅膂莃蕿