有限元法基礎(chǔ)-12動力學(xué)問題

1、第十二章 動力學(xué)問題 12.1 動力學(xué)問題的有限元方程12.2 質(zhì)量矩陣與阻尼矩陣12.3 直接積分法12.4 特征值問題及解法12.5 振型疊加法12.6 減縮系統(tǒng)自由度的方法112. 動力學(xué)問題關(guān)鍵概念關(guān)鍵概念一致質(zhì)量矩陣一致質(zhì)量矩陣 團(tuán)聚質(zhì)量矩陣團(tuán)聚質(zhì)量矩陣振型阻尼矩陣振型阻尼矩陣 Rayleigh阻尼阻尼顯式積分顯式積分 隱式積分隱式積分Guyan減縮法減縮法 動力子結(jié)構(gòu)法動力子結(jié)構(gòu)法有限元法基礎(chǔ)212. 動力學(xué)問題12.1 12.1 動力學(xué)問題的有限元方程動力學(xué)問題的有限元方程（一）動力學(xué)問題的基本方程（一）動力學(xué)問題的基本方程平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系邊界條件

2、邊界條件初始條件初始條件有限元法基礎(chǔ)3,0V1() V2 V S Sij jiiiiji jj iijijklkliiuijjifuuuuDuunT在 中在 中在 中在上在上000( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )iiiiiiu x y zux y zu x y zux y zu x y zux y z12. 動力學(xué)問題（二）（二）Galerkin法法l 平衡方程和力的邊界條件的等效積分形式平衡方程和力的邊界條件的等效積分形式第一項(xiàng)分部積分第一項(xiàng)分部積分有限元法基礎(chǔ)4ijijklkliiiiiiVVVSDdVuuu dVu f dV

3、uTdS,0iij jiiiijjiVSufuu dVunT dS,iij jiijjijijVVVudVundV 12. 動力學(xué)問題（三）有限元離散（三）有限元離散l在動力學(xué)分析時，物理量是空間（在動力學(xué)分析時，物理量是空間（x, y, z）的函數(shù)，）的函數(shù)，也是時間（也是時間（t）的函數(shù)，是一個四維問題）的函數(shù)，是一個四維問題l有限元離散，或網(wǎng)格剖分是對空間域進(jìn)行，這一有限元離散，或網(wǎng)格剖分是對空間域進(jìn)行，這一步驟與靜力學(xué)問題分析時相同步驟與靜力學(xué)問題分析時相同l時間維的離散使用有限差分法處理時間維的離散使用有限差分法處理有限元法基礎(chǔ)512. 動力學(xué)問題（四）位移插值函數(shù)（四）位移插值函數(shù)

4、 只對空間域進(jìn)行離散，插值函數(shù)表示為只對空間域進(jìn)行離散，插值函數(shù)表示為寫成矩陣形式寫成矩陣形式有限元法基礎(chǔ)6111( , , , )( , , ) ( )( , , , )( , , ) ( )( , , , )( , , )( )niiiniiiniiiu x y z tN x y z u tv x y z tN x y z v tw x y z tN x y z w t插值函數(shù)插值函數(shù)與時間無關(guān)與時間無關(guān)euNq1( , , , )( )( , , , )( )( , , , )( )ieiiniu x y z tu tv x y z tv tw x y z tw tqu =qqq123

5、3niiNNNNNNI12. 動力學(xué)問題（五）有限元方程（五）有限元方程 將插值函數(shù)代入將插值函數(shù)代入Galerkin積分表達(dá)式，由積分表達(dá)式，由 的任的任意性得，系統(tǒng)的求解方程意性得，系統(tǒng)的求解方程其中其中有限元法基礎(chǔ)7q( )( )( )( )ttttMqCqKqQeeeeeeeeM =MC =CK =KQ =QeeeeeeTeTVVeTeTTVVSdVdVdVdV +dVMN NCN NKB DBQN fN T12. 動力學(xué)問題（六）典型的動力學(xué)問題（六）典型的動力學(xué)問題模態(tài)分析（模態(tài)分析（Modal Analysis） 確定結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特征確定結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特征瞬態(tài)分析（瞬態(tài)分析（Tra

6、nsient Analysis） 使用直接積分法或模態(tài)疊加法得到結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)使用直接積分法或模態(tài)疊加法得到結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)諧分析（諧分析（Harmonic Analysis） 線性結(jié)構(gòu)承受簡諧載荷的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)線性結(jié)構(gòu)承受簡諧載荷的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)譜分析（譜分析（Spectrum Analysis） 在響應(yīng)譜作用下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)在響應(yīng)譜作用下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng) 有限元法基礎(chǔ)812. 動力學(xué)問題12.2 12.2 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣l動力問題的質(zhì)量矩陣動力問題的質(zhì)量矩陣它與所使用的有限元列式的原理和位移插值函數(shù)保持它與所使用的有限元列式的原理和位移插值函數(shù)保持一致。一致。 假定質(zhì)量集中在節(jié)點(diǎn)上，導(dǎo)

7、出的質(zhì)量假定質(zhì)量集中在節(jié)點(diǎn)上，導(dǎo)出的質(zhì)量 矩陣是對角線矩陣，可提高計算效率。矩陣是對角線矩陣，可提高計算效率。有限元法基礎(chǔ)9eeTVdVMN N一致質(zhì)量矩陣一致質(zhì)量矩陣Consistent Mass團(tuán)聚質(zhì)量矩陣團(tuán)聚質(zhì)量矩陣Lumped Mass 12. 動力學(xué)問題l團(tuán)聚質(zhì)量矩陣的計算方法團(tuán)聚質(zhì)量矩陣的計算方法（1 1） 中每一行主元等于中每一行主元等于 中該行所有元素之和中該行所有元素之和（2 2） 中每一行主元等于中每一行主元等于 中該行主元乘以縮放中該行主元乘以縮放 因子因子 a 根據(jù)平動根據(jù)平動DOFDOF質(zhì)量守恒確定質(zhì)量守恒確定, ,即即有限元法基礎(chǔ)10elMeM10eneeikkli

8、jijijMMelMeM0eeiilijaijijMMeeiiViadVM()i與平動相關(guān)的行12. 動力學(xué)問題l振型阻尼矩陣振型阻尼矩陣 阻尼正比于質(zhì)點(diǎn)速度阻尼正比于質(zhì)點(diǎn)速度 阻尼正比于應(yīng)變速度阻尼正比于應(yīng)變速度這種阻尼稱為比例阻尼或振型阻尼，比例系數(shù)與固有這種阻尼稱為比例阻尼或振型阻尼，比例系數(shù)與固有頻率相關(guān)。頻率相關(guān)。 和和 與頻率無關(guān)，為常數(shù)。與頻率無關(guān)，為常數(shù)。 有限元法基礎(chǔ)11eeTVdVCN N阻尼矩陣與質(zhì)量矩陣或剛度矩陣成比例阻尼矩陣與質(zhì)量矩陣或剛度矩陣成比例eeTVdVCB DBRayleigh阻尼阻尼CMK12. 動力學(xué)問題12.3 12.3 直接積分法直接積分法 半離散的

9、動力學(xué)方程的解法分為兩類，一是直接半離散的動力學(xué)方程的解法分為兩類，一是直接進(jìn)行數(shù)值積分，一類是使用固有振型表達(dá)動態(tài)響應(yīng)，進(jìn)行數(shù)值積分，一類是使用固有振型表達(dá)動態(tài)響應(yīng)，稱為振型疊加法。稱為振型疊加法。 直接時間積分一般采用差分格式，分為顯式時間直接時間積分一般采用差分格式，分為顯式時間和隱式時間積分。和隱式時間積分。 顯式積分式條件穩(wěn)定的，隱式積分是無條件穩(wěn)定顯式積分式條件穩(wěn)定的，隱式積分是無條件穩(wěn)定的，各有優(yōu)缺點(diǎn)。的，各有優(yōu)缺點(diǎn)。有限元法基礎(chǔ)1212. 動力學(xué)問題12.3.1 12.3.1 中心差分法中心差分法 有限差分法的理論依據(jù)很簡單，以有限增量的比有限差分法的理論依據(jù)很簡單，以有限增量

10、的比值代替數(shù)學(xué)上的微分，速度表示為值代替數(shù)學(xué)上的微分，速度表示為中心差分格式為中心差分格式為有限元法基礎(chǔ)13duuudtt21()21(2)tttttttttuuutuuuut12. 動力學(xué)問題將中心差分格式應(yīng)用到有限元的半離散方程將中心差分格式應(yīng)用到有限元的半離散方程整理得遞推公式整理得遞推公式有限元法基礎(chǔ)142221111122tttttttttttMC qQKM qM -C q21122tttttttttttttMqqqCqqKqQ12. 動力學(xué)問題中心差分法求解運(yùn)動方程的步驟中心差分法求解運(yùn)動方程的步驟1.1.初始計算初始計算1 1）形成剛度矩陣）形成剛度矩陣K K、質(zhì)量矩陣、質(zhì)量矩陣

11、M M和阻尼矩陣和阻尼矩陣C C2 2）給定）給定 ， 和和3 3）選擇時間步長）選擇時間步長 ，4 4）計算）計算5 5）形成有效質(zhì)量矩陣）形成有效質(zhì)量矩陣6 6）三角分解）三角分解 有限元法基礎(chǔ)150 q0q0 qtcrtt 20002tttqqqq2112ttMMCTMLDL12. 動力學(xué)問題2.2.對每一時間步長對每一時間步長1 1）計算時間）計算時間 t 的有效載荷的有效載荷2 2）求解時間）求解時間 的位移的位移3 3）如果需要計算時間）如果需要計算時間 t 的加速度和速度的加速度和速度 有限元法基礎(chǔ)16(0,2,)ttt 222112ttttttttQQKM qMC qttTtt

12、tLDL qQ21()21(2)tttttttttttttqqqqqqq12. 動力學(xué)問題特點(diǎn)特點(diǎn)（1 1）若已知）若已知 和和 可直接預(yù)測下一步的可直接預(yù)測下一步的 ，稱為逐步積分法。稱為逐步積分法。 如果質(zhì)量矩陣如果質(zhì)量矩陣M是對角的，是對角的，C也是對角或可以忽略，也是對角或可以忽略，則利用遞推公式求解時不需求解方程，直接可得下一則利用遞推公式求解時不需求解方程，直接可得下一時間步的預(yù)測值。時間步的預(yù)測值。有限元法基礎(chǔ)17ttqtqttq顯示時間積分顯示時間積分(Explicit Time Integral) 12. 動力學(xué)問題（2 2）當(dāng)）當(dāng)t=0時，需要時，需要 和和 ，因此必須用專

13、門的，因此必須用專門的起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去 的量，得的量，得初始加速度可用運(yùn)動方程求得初始加速度可用運(yùn)動方程求得有限元法基礎(chǔ)180qtq20002tttqqqqtt 10000()qMQ -Cq - Kq12. 動力學(xué)問題（3 3）中心差分是條件穩(wěn)定的，時間步長不能任意取，）中心差分是條件穩(wěn)定的，時間步長不能任意取，最大步長與計算的問題相關(guān)，以及網(wǎng)格剖分相關(guān)。最大步長與計算的問題相關(guān)，以及網(wǎng)格剖分相關(guān)。一般步長可取為一般步長可取為 為系統(tǒng)的最高階固有頻率，為系統(tǒng)的最高階固有頻率，Tn是系統(tǒng)的最小固有是系統(tǒng)的最小固有振動周期。實(shí)

14、際應(yīng)用中可以用系統(tǒng)中最小尺度單元的振動周期。實(shí)際應(yīng)用中可以用系統(tǒng)中最小尺度單元的最小振動周期代替系統(tǒng)的最小振動周期代替系統(tǒng)的Tn，因?yàn)?，因?yàn)?。 有限元法基礎(chǔ)192ncrnTtt n minennTT12. 動力學(xué)問題（4 4）時間步長的確定方式）時間步長的確定方式 a) a) 網(wǎng)格剖分后，找出尺寸最小的單元，形成單元網(wǎng)格剖分后，找出尺寸最小的單元，形成單元的特征方程的特征方程求出最大特征根求出最大特征根 ，得到，得到 。 b) b)網(wǎng)格剖分后，找出尺寸最小的單元的最小邊長網(wǎng)格剖分后，找出尺寸最小的單元的最小邊長 L，可以近似地估計可以近似地估計 ， ，由此，得，由此，得 ，稱為，稱為Cour

15、an，F(xiàn)riedrich和和Lewy條件。條件。有限元法基礎(chǔ)20( )2( )0eeKMn2/nnT /nTL C(/)CE/crtL C物理解釋：時間步長應(yīng)足夠小，以致于在單個時物理解釋：時間步長應(yīng)足夠小，以致于在單個時間步內(nèi)，傳播不會超過相鄰的兩個節(jié)點(diǎn)間的距離。間步內(nèi)，傳播不會超過相鄰的兩個節(jié)點(diǎn)間的距離。12. 動力學(xué)問題（5 5）中心差分的顯示算法，適合于由沖擊、碰撞、）中心差分的顯示算法，適合于由沖擊、碰撞、爆炸類型的載荷引起的波傳播問題的求解。爆炸類型的載荷引起的波傳播問題的求解。 因?yàn)檫@些問題本身就是在初始擾動后，按一定的因?yàn)檫@些問題本身就是在初始擾動后，按一定的波速波速C逐步在介

16、質(zhì)中傳播。逐步在介質(zhì)中傳播。 對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，采用顯示時間積分不太合對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，采用顯示時間積分不太合適。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)中低頻成分起主要作用，允適。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)中低頻成分起主要作用，允許大的時間步長。許大的時間步長。 有限元法基礎(chǔ)2112. 動力學(xué)問題l例：波的傳播例：波的傳播 均勻鋼桿，無阻尼，開始靜止，突均勻鋼桿，無阻尼，開始靜止，突然施加軸向端點(diǎn)力。用然施加軸向端點(diǎn)力。用4040個個2 2節(jié)點(diǎn)桿單元模擬，材料節(jié)點(diǎn)桿單元模擬，材料為線彈性。圖中為線彈性。圖中Cn為為Courant數(shù)，即實(shí)際步長與臨界數(shù)，即實(shí)際步長與臨界步長的比值。步長的比值。有限元法基礎(chǔ)2212. 動

17、力學(xué)問題有限元法基礎(chǔ)2312. 動力學(xué)問題有限元法基礎(chǔ)24初始速度為零，開始后在加載。初始速度為零，開始后在加載。12. 動力學(xué)問題12.3.2 12.3.2 Newmark法法 Newmark積分法假設(shè)，積分法假設(shè)，在在 的時間區(qū)域內(nèi)，有的時間區(qū)域內(nèi)，有其中，其中， 和和 是按積分精度、穩(wěn)定性和算法阻尼要求決是按積分精度、穩(wěn)定性和算法阻尼要求決定的參數(shù)，取不同的值代表不同的積分方案。定的參數(shù)，取不同的值代表不同的積分方案。有限元法基礎(chǔ)25ttt2(1)1()2tttttttttttttttt qqqqqqqqq12. 動力學(xué)問題l幾個特例幾個特例1 1） ，對應(yīng)于線性加速度法，即在時間步加速

18、，對應(yīng)于線性加速度法，即在時間步加速度內(nèi)線性變化度內(nèi)線性變化2 2） ，對應(yīng)于平均加速度法，即在時間步內(nèi)加，對應(yīng)于平均加速度法，即在時間步內(nèi)加速度取平均值速度取平均值有限元法基礎(chǔ)2611,6211,42() /(0)ttttttt qqqq1()(0)2ttttt qqq12. 動力學(xué)問題Newmark法的運(yùn)動方程法的運(yùn)動方程由由Newmark關(guān)系式，得關(guān)系式，得遞推公式為遞推公式為有限元法基礎(chǔ)27ttttttttMqCqKqQ2111()12tttttttttqqqqq22111112 112tttttttttttttttKMqQMqqqCqqtq12. 動力學(xué)問題Newmark法的計算步驟

19、法的計算步驟1.1.初始計算初始計算（1 1）形成剛度矩陣）形成剛度矩陣K，質(zhì)量矩陣，質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣和阻尼矩陣C（2）給定）給定 ， 和和（3）選擇時間步長）選擇時間步長 ，以及參數(shù)，以及參數(shù) 、 和積分常數(shù)和積分常數(shù)（4）形成有效剛度矩陣）形成有效剛度矩陣（5）三角分解）三角分解 有限元法基礎(chǔ)280 q0q0 qt012324567111121212ccccttttccctct 01cK = K +c M +CTK = LDL12. 動力學(xué)問題2.2.對每一時間步長對每一時間步長（1 1）計算時間）計算時間 的有效載荷的有效載荷（2）求解時間）求解時間 的位移的位移（3）計算時間）計算

20、時間 的加速度和速度的加速度和速度有限元法基礎(chǔ)29ttTttttLDL qQ(0,2,)ttt 023145ttttttttttccccccQQMqqqCqqqtttt02367()tttttttttttttcccccqqqqqqqqq12. 動力學(xué)問題lNewmark法的特點(diǎn)法的特點(diǎn)（1 1）為隱式積分算法（）為隱式積分算法（Implicit Time Integral） 每一步都必須求解方程；每一步都必須求解方程；（2）當(dāng)）當(dāng) 時算法是無條件穩(wěn)定的，時算法是無條件穩(wěn)定的， 即時間步長得大小不影響解得穩(wěn)定性；即時間步長得大小不影響解得穩(wěn)定性；（3）當(dāng)）當(dāng) 時是條件穩(wěn)定的，時是條件穩(wěn)定的， ；

21、（4）Newmark法特別適合于時程較長的系統(tǒng)數(shù)瞬態(tài)法特別適合于時程較長的系統(tǒng)數(shù)瞬態(tài) 響應(yīng)分析，而且大時間步長可以濾掉高階不精確響應(yīng)分析，而且大時間步長可以濾掉高階不精確 模態(tài)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。模態(tài)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。有限元法基礎(chǔ)3020.5,0.25(0.5)0.5,0.5maxcritt 12. 動力學(xué)問題有限元法基礎(chǔ)3112. 動力學(xué)問題有限元法基礎(chǔ)3212. 動力學(xué)問題12.4 12.4 特征值問題及其解法特征值問題及其解法 系統(tǒng)的運(yùn)動方程為系統(tǒng)的運(yùn)動方程為 無阻尼自由振動退化為無阻尼自由振動退化為 設(shè)方程解的形式為設(shè)方程解的形式為 方程成為方程成為 有限元法基礎(chǔ)33( )( )( )(

22、 )ttttMqCqKqQ( )( )0ttMqKq( )i tteqq2()0i teMK q2()0KM q廣義特征值問題廣義特征值問題2 特征根特征向量q 12. 動力學(xué)問題四種類型的解法：四種類型的解法：l直接矢量迭代法（冪法）直接矢量迭代法（冪法）l矩陣變換法矩陣變換法l多項(xiàng)式迭代求解法（行列式搜索法）多項(xiàng)式迭代求解法（行列式搜索法）l利用特征多項(xiàng)式的利用特征多項(xiàng)式的Sturm序列特性求解法序列特性求解法 以及以及 iiiK =M()I ()TT K = M =對角陣單位陣( )det()0pKM( )det()pKM( )( )( )( )( )()det(),1,2,1rrrrr

23、iprnKM 12. 動力學(xué)問題12.4.1逆迭代法（冪法）逆迭代法（冪法） 對方程 取近似解 按以下迭代格式求解則序列 將收斂于相應(yīng)的特征根 的特征矢量。 K =M1x1(1,2,3)kkkKxMx12,x x 1 12. 動力學(xué)問題l因?yàn)閷θ我皇噶靠捎锰卣魇噶勘硎緸橐驗(yàn)閷θ我皇噶靠捎锰卣魇噶勘硎緸?代入方程代入方程 按迭代方程有按迭代方程有 若若 ，當(dāng)，當(dāng) 時，時， 110 x Mk 11kx11 niiix 1111 nniiiiiiixMMK12111 niiiixxKM1111111 kkknnkiiiiiiiix12n設(shè) 12. 動力學(xué)問題l為了使為了使Xi不受計算的影響，常常需要

24、歸一化不受計算的影響，常常需要?dú)w一化l正迭代法的計算方案正迭代法的計算方案 迭代格式迭代格式 若若 ，當(dāng)，當(dāng) 時，時，l特征根特征根 的近似解的近似解1111/21()kkkTkxxx M x11111/21()kkkkkTkMxKxxxx M x10Tnx Mk 1knx11111()kkkTkkxKxxxM x 12. 動力學(xué)問題12.4.2變換法變換法l 廣義特征值問題化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題廣義特征值問題化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題 有限元法中的質(zhì)量矩陣有限元法中的質(zhì)量矩陣M是對稱正定的，則是對稱正定的，則 故有故有 定義定義 得到得到TMSSTKMSS 1TS KS TS K 12. 動力學(xué)問題l標(biāo)

25、準(zhǔn)特征值問題標(biāo)準(zhǔn)特征值問題 變換法中有變換法中有Jacobi法、法、Givens法、法、Householder，其實(shí)質(zhì)就，其實(shí)質(zhì)就是通過一系列的變換矩陣，將是通過一系列的變換矩陣，將M變換成單位矩陣，將變換成單位矩陣，將K變換成對變換成對角矩陣。角矩陣。nJacobi法法 標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的方程標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的方程 設(shè)完成第設(shè)完成第k步變換成為步變換成為 Pk 是正交矩陣是正交矩陣 ，即，即 K1TkkkkKP K PTkkP PI 12. 動力學(xué)問題nPk矩陣的構(gòu)造矩陣的構(gòu)造 12. 動力學(xué)問題n特點(diǎn)特點(diǎn) 在在 時，矩陣時，矩陣K趨于對角陣趨于對角陣 由于只能做有限次變換，因此最后的矩陣是對角

26、占由于只能做有限次變換，因此最后的矩陣是對角占優(yōu)優(yōu) 變換后的矩陣總是對稱的，可以減少計算次數(shù)變換后的矩陣總是對稱的，可以減少計算次數(shù) 在一次變換使非對角線為零元素，在下次變換中可在一次變換使非對角線為零元素，在下次變換中可能成為非零，因此收斂緩慢能成為非零，因此收斂緩慢 需要結(jié)合一些其他策略提高計算效率需要結(jié)合一些其他策略提高計算效率k 12. 動力學(xué)問題12.4.3 子空間迭代法子空間迭代法 子空間迭代法是求解大型特征值問題的低階特征值有效方子空間迭代法是求解大型特征值問題的低階特征值有效方法，它實(shí)際上是法，它實(shí)際上是Rayleigh-Ritz法和同時逆迭代法的組合法和同時逆迭代法的組合 。

27、l子空間迭代法的步驟子空間迭代法的步驟 1) 建立建立q個初始矢量個初始矢量 (qp, p是要計算的特征根個數(shù)，一般是要計算的特征根個數(shù)，一般q=min(2p,p+8) 2) 從從q個迭代矢量中使用逆迭代法和個迭代矢量中使用逆迭代法和Ritz分析抽取近似的特征分析抽取近似的特征根和特征矢量根和特征矢量 3) 迭代收斂后，使用迭代收斂后，使用Sturm序列檢查驗(yàn)證所得特征根和特征序列檢查驗(yàn)證所得特征根和特征矢量是否符合要求矢量是否符合要求 12. 動力學(xué)問題l子空間迭代法求解過程子空間迭代法求解過程 q個初始迭代矢量構(gòu)成個初始迭代矢量構(gòu)成nq階矩陣階矩陣 X1 第第k步迭代為步迭代為 形成子空間

28、投影矩陣形成子空間投影矩陣 求解子空間特征系統(tǒng)求解子空間特征系統(tǒng) 這是這是RayleighRitz分析，分析，Kk+1 是是qq計算近似特征矢量計算近似特征矢量Xk+1可作為新的迭代矩陣可作為新的迭代矩陣 ，當(dāng)，當(dāng) 時，時， 11,2,3,kkkKX= MX111111,TTkkkkkkKXKXM= XMX11111kkkkkKAMA111TkkkX= XAk 11,kk A 12. 動力學(xué)問題12.4.4 Lanczos法法 Lanczos方法目前被認(rèn)為是求解大型矩陣特征值問題的最有效方法目前被認(rèn)為是求解大型矩陣特征值問題的最有效方法，與子空間迭代法相比，其計算量要少得多。方法，與子空間迭代

29、法相比，其計算量要少得多。lLanczos變換變換 選取初始矢量選取初始矢量x, 并計算并計算 11/2()Txxx Mx 12. 動力學(xué)問題l理論上講，理論上講，xi （i i=1,2,n=1,2,n）是關(guān)于）是關(guān)于M M正交的，正交的，即即l定義矩陣定義矩陣 滿足關(guān)系滿足關(guān)系 12. 動力學(xué)問題l經(jīng)過經(jīng)過Lanczos 變換后矩陣成為變換后矩陣成為 三對角陣的證明三對角陣的證明 12. 動力學(xué)問題l廣義特征值方程的變形廣義特征值方程的變形l使用變換使用變換 可得方程可得方程l可見可見Tn特征根是廣義特征根問題的倒數(shù)特征根是廣義特征根問題的倒數(shù) 12. 動力學(xué)問題l由于截斷誤差由于截斷誤差X

30、i并不一定是正交并不一定是正交l為了計算效率，而且多數(shù)情況下，只需計算一部分低階特征值，為了計算效率，而且多數(shù)情況下，只需計算一部分低階特征值，因此變換只需進(jìn)行因此變換只需進(jìn)行q(n)步，這就是截斷的步，這就是截斷的Lanczos變換變換這樣這樣Tq是原問題的子空間，類似于是原問題的子空間，類似于Rayleigh-Ritz法、子空間迭法、子空間迭代法。代法。 12. 動力學(xué)問題12.5 12.5 振型疊加法（振型疊加法（Modal Superposition）（一）固有振型及性質(zhì)（一）固有振型及性質(zhì) 對于無阻尼的自由振動問題的運(yùn)動方程為對于無阻尼的自由振動問題的運(yùn)動方程為 設(shè)設(shè)有有求解方程，得

31、求解方程，得n n個固有頻率和特征向量個固有頻率和特征向量其中其中有限元法基礎(chǔ)49 0MqKq( )i tteq2()-0KM q,(1, )iiin 120n1TiiM12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)50根據(jù)求特征根的方程，有根據(jù)求特征根的方程，有兩式分別左乘兩式分別左乘 和和 后相減，得后相減，得當(dāng)當(dāng) 不為零時，有不為零時，有22iiijjjMKMK22()0Tijji MTjTi22ij0TjiM10TjiijijM固有振型關(guān)于固有振型關(guān)于MM正交正交12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)51利用特征向量的正交性，可得利用特征向量的正交性，可得定義定義則有則有20TijiijijK212212

32、200nn TTM 12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)52（二）系統(tǒng)的動力響應(yīng)（二）系統(tǒng)的動力響應(yīng)1.位移基向量的變換位移基向量的變換以特征向量表示位移以特征向量表示位移表達(dá)式的意義是將表達(dá)式的意義是將q(t)看成看成 線性組合，而線性組合，而 看成是看成是廣義的位移基向量，廣義的位移基向量，xi是廣義位移值。是廣義位移值。代入系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并利用代入系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并利用 的正交性質(zhì)，得的正交性質(zhì)，得初始條件為初始條件為 1( )( )niiittxqx ii ( )( )( )( )( )TTtttttxCxxQR0000TTxMqxMq12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)53設(shè)阻尼為振型

33、阻尼，利用設(shè)阻尼為振型阻尼，利用 正交性質(zhì)正交性質(zhì)其中其中 為的為的i階振型阻尼比。這樣方程解耦，成為階振型阻尼比。這樣方程解耦，成為 20Tiijiijij Ci2( )2( )( )( )(1,2, )iiiiiiix tx tx tr tin每一個方程相當(dāng)于一個單自由度系統(tǒng)的振動方程每一個方程相當(dāng)于一個單自由度系統(tǒng)的振動方程12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)54l特例特例1）設(shè)）設(shè)Q(t)可分解為空間函數(shù)和時間函數(shù)表示可分解為空間函數(shù)和時間函數(shù)表示如果如果F(s)與與 正交，正交， ，這表明系統(tǒng)中將，這表明系統(tǒng)中將不包含不包含 響應(yīng)成分，也就是說響應(yīng)成分，也就是說Q(s,t)不能激起與不能

34、激起與F(s)正正交的振型。交的振型。2）( )( ) ( )( )( ) ( )( )TiiitsttstftiQFrFi0,( )0iix tri12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)552）如果對）如果對 作作Fourier分析，可得到所包含的各個分析，可得到所包含的各個頻率成分及幅值。根據(jù)其中應(yīng)予考慮的最高階頻率頻率成分及幅值。根據(jù)其中應(yīng)予考慮的最高階頻率可以確定進(jìn)行積分的最高階可以確定進(jìn)行積分的最高階 ，例如選擇，例如選擇 。綜合起來，通常在實(shí)際分析時，求解的單自由度方程綜合起來，通常在實(shí)際分析時，求解的單自由度方程數(shù)遠(yuǎn)低于系統(tǒng)的自由度數(shù)數(shù)遠(yuǎn)低于系統(tǒng)的自由度數(shù)n。( ) tp10p12.

35、動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)562.求解單自由度系統(tǒng)振動方程求解單自由度系統(tǒng)振動方程 杜哈美積分時將任意激振力分解為為沖量的連續(xù)杜哈美積分時將任意激振力分解為為沖量的連續(xù)作用，分別求出個系統(tǒng)的響應(yīng)，然后疊加起來，即作用，分別求出個系統(tǒng)的響應(yīng)，然后疊加起來，即ai和和bi由初始條件確定。由初始條件確定。()01( )( )sin()(sincos)iiiitttiiiiiiiix tr t etdeatbt 21iii一般杜哈美積分需數(shù)值積分計算一般杜哈美積分需數(shù)值積分計算12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)573. 振型疊加得到系統(tǒng)響應(yīng)振型疊加得到系統(tǒng)響應(yīng) 獲得每個振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來，得到系

36、獲得每個振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來，得到系統(tǒng)的響應(yīng)，即統(tǒng)的響應(yīng)，即a)b) c) 振型迭代法不使用于非線性系統(tǒng)。振型迭代法不使用于非線性系統(tǒng)。1( )( )niiiq tx t12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)583. 振型疊加得到系統(tǒng)響應(yīng)振型疊加得到系統(tǒng)響應(yīng) 獲得每個振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來，得到系獲得每個振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來，得到系統(tǒng)的響應(yīng)，即統(tǒng)的響應(yīng)，即在實(shí)際運(yùn)用中，所取的振型數(shù)遠(yuǎn)小于在實(shí)際運(yùn)用中，所取的振型數(shù)遠(yuǎn)小于n，能大大提高，能大大提高計算效率。計算效率。1( )( )niiiq tx t12. 動力學(xué)問題 有限元法基礎(chǔ)59l特點(diǎn)特點(diǎn)a) 振型疊加中使用振型疊加中使用n

37、個單自由度方程求解，應(yīng)與直接個單自由度方程求解，應(yīng)與直接積分的結(jié)果一致；積分的結(jié)果一致；b) 振型疊加法比直接積分法節(jié)省時間，尤其是在選振型疊加法比直接積分法節(jié)省時間，尤其是在選取少量的單自由度方程的情況；取少量的單自由度方程的情況；c) 振型迭代法不使用于非線性系統(tǒng)。振型迭代法不使用于非線性系統(tǒng)。12. 動力學(xué)問題12.6 12.6 減縮系統(tǒng)自由度的方法減縮系統(tǒng)自由度的方法12.6.1 12.6.1 GuyanGuyan減縮法減縮法 GuyanGuyan減縮法又稱為主從節(jié)點(diǎn)法。設(shè)節(jié)點(diǎn)位移列陣減縮法又稱為主從節(jié)點(diǎn)法。設(shè)節(jié)點(diǎn)位移列陣q，分為主自由度分為主自由度qm和從自由度和從自由度qs兩部分，

38、并設(shè)兩部分，并設(shè)ns和和nm分別為分別為qs和和qm中的個數(shù)，有中的個數(shù)，有 有限元法基礎(chǔ)60smqTq*mmms qIq =qT qqT12. 動力學(xué)問題12.6 12.6 減縮系統(tǒng)自由度的方法減縮系統(tǒng)自由度的方法12.6.1 12.6.1 GuyanGuyan減縮法減縮法 GuyanGuyan減縮法又稱為主從節(jié)點(diǎn)法。設(shè)節(jié)點(diǎn)位移列陣減縮法又稱為主從節(jié)點(diǎn)法。設(shè)節(jié)點(diǎn)位移列陣q，分為主自由度分為主自由度qm和從自由度和從自由度qs兩部分，并設(shè)兩部分，并設(shè)ns和和nm分別為分別為qs和和qm中的個數(shù)，有中的個數(shù)，有 有限元法基礎(chǔ)61smqTq*mmms qIq =qT qqT12. 動力學(xué)問題考慮無

39、阻尼自由振動，方程考慮無阻尼自由振動，方程代入關(guān)系式，并右乘代入關(guān)系式，并右乘 ，得，得 有限元法基礎(chǔ)62Mq+ Kq = 0*TT*()()TTmmTMT q + TKTq = 0*()()TTMTMTKTKT系統(tǒng)方程從系統(tǒng)方程從n n降為降為n nmm12. 動力學(xué)問題lGuyanGuyan法以靜力減縮的方式，導(dǎo)出法以靜力減縮的方式，導(dǎo)出為主自由度為主自由度qm和從自和從自由度由度qs關(guān)系式，即關(guān)系式，即 有限元法基礎(chǔ)6300mmmsmsmsss KKqKq =KKq1sssmT =KK10smmsssssssmm K qK qqKK q*1111*1Tmmsssmsmsmsssmsmss