《勾股定理的應(yīng)用》

勾股定理的應(yīng)用勾股定理是一個(gè)初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。勾股定理的應(yīng)用由數(shù)學(xué)網(wǎng)為你提供，歡迎大家學(xué)習(xí)。一、一周知識概述勾股定理可以解決直角三角形的許多問題，在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.(1)理解方向角等概念，根據(jù)題意畫出圖形，利用定理或逆定理解決航海中距離問題;(2)判定實(shí)際問題中兩線段是否垂直的問題。以已知線段為邊構(gòu)造三角形，根據(jù)三邊的長度，利用勾股定理的逆定理解題;(3)解決折疊問題。正確畫出折疊前、后的圖形，運(yùn)用勾股定理及方程的思想，用代數(shù)方法解題;(4)圓柱側(cè)面上兩點(diǎn)問題。轉(zhuǎn)化為將側(cè)面展開成平面長方形，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決;(5)其它涉及直角三角形的問題。二、重、難點(diǎn)知識應(yīng)用勾股定理及其逆定理對具體問題具體分析，靈活運(yùn)用定理是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。三、典型例題講解例1、有一圓柱形油罐，底面周長是12米，高是5米，現(xiàn)從油罐底部A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點(diǎn)的正上方B點(diǎn)，問梯子最短需多少米?分析：環(huán)繞油罐建梯子，想到將圓柱沿AB展開，得到一個(gè)長方形，由兩點(diǎn)之間，線段最短，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理解題.解：如圖所示，將圓柱的側(cè)面沿AB展開，得到長方形AA′B′B，則AB=A′B′=5米，AA′=BB′=12米，∠A′=90°.因此沿AB′建梯子，梯子最短.在RtAA′B′中，AB′2=A′A2+A′B′2=122+52=169.∴AB′=13(米).答：梯子最短需13米.例2、小明想知道旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了2米，當(dāng)他把繩子的下端拉開距旗桿底部8米時(shí)，發(fā)現(xiàn)繩子的末端剛好接觸地面，求旗桿的高度.分析：旗桿與地面垂直，繩子拉開后構(gòu)成直角三角形，其中一直角邊為8米，斜邊比另一直角邊長2米，根據(jù)勾股定理，可列方程求解.解：如圖所示，在RtABC中，∠B=90°，BC=8米，AC比AB長2米.設(shè)AB=x，則AC=x+2，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，∴(x+2)2=x2+82，∴x=15(米).答：旗桿的高度是15米.例3、在一棵樹的10 m高處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20 m的池塘A處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，試問這棵樹有多高?分析：如圖所示，一只猴子經(jīng)過的路徑B→C→A，共走了10+20=30(m)，另一只猴子經(jīng)過的路徑是B→D→A，也走了30 m，且樹垂直于地面，于是此問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解決.解：如圖所示，設(shè)BD=x，則CD=BD+BC=x+10.∴BC+CA=BD+DA=30，∴AD=30-BD=30-x.在RtADC中，AD2=CD2+AC2，∴(30-x)2=(x+10)2+202，解得x=5.∴CD=x+10=15(m).答：這棵樹高15 m.小結(jié)：此題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形，運(yùn)用勾股定理及方程的思想解決問題.例4、如圖所示，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)一拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么學(xué)校是否會(huì)受到噪聲的影響?說明理由，若受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米/時(shí)，則學(xué)校受影響的時(shí)間有多長?分析：學(xué)校A到公路MN的距離AB=PA=80(米)，因?yàn)?0<100，所以學(xué)校會(huì)受到噪聲的影響.要求受影響的時(shí)間，就需求出受影響時(shí)拖拉機(jī)行駛的路程，因此，在MN上找到兩點(diǎn)C，D，使AC=AD=100米，那么CD間的距離就是受影響時(shí)拖拉機(jī)行駛的路程，由勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，可求出C，D之間的距離.解：過A點(diǎn)作AB⊥MN，垂足為B，∠QPN=30°，∴AB=AP=×160=80(米).80<100，∴學(xué)校會(huì)受到噪聲的影響.在MN上找兩點(diǎn)C，D，使AC=AD=100(米).這說明拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到C處時(shí)，學(xué)校開始受到噪聲的影響，當(dāng)行駛到D處時(shí)，學(xué)校開始脫離噪聲的影響.由勾股定理，得BC2=AC2-AB2=1002-802=3600(米2)，∴BC=60米.∴CD=2BC=2×60=120米.∴學(xué)校受到噪聲影響的時(shí)間為120÷1000÷18=(時(shí))=24(秒).小結(jié)：解幾何類應(yīng)用題的關(guān)鍵，是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解.例5、如圖所示，南北線PQ為我國的領(lǐng)海線，PQ以東為我國的領(lǐng)海，以西為公海，晚上11時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏艇112號在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向有可疑船只C向我國領(lǐng)?？拷懔⒖掏ㄖ赑Q上B處巡邏的113號艇注意其動(dòng)向，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，A艇與可疑船只C之間的距離為10海里，A，B兩艇之間的距離為6海里，B艇與可疑船只C之間的距離為8海里，若該可疑船只航行的速度為12.8海里/時(shí).問該可疑船只最早在何時(shí)進(jìn)入我國領(lǐng)海?112號巡邏艇以怎樣的速度向西行駛能在可疑船只進(jìn)入我領(lǐng)海之前截住可疑船只?解：設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，則∠CDB =90°.AB=6，BC=8，AC=10.∴AB2+BC2=62+82=36+64=100=102=AC2.即AB2+BC2=AC2，∴ABC為直角三角形，∠ABC=90°.SABC=AB·BC=AC·BD，∴在RtBCD中，CD2=BC2-BD2=82-4.82=6.42，∴CD=6.4(海里).∴從C到D所需的時(shí)間為6.4÷12.8=0.5(時(shí))=30(分).∴該可疑船只最早在晚上11時(shí)58分進(jìn)入我國領(lǐng)海.又AC=10海里，CD=6.4海里，∴AD=AC-CD=10-6.4=3.6(海里)，∴112號巡艇從A到D所需速度為3.6÷0.5=7.2(海里/時(shí)).語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會(huì)大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時(shí),把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費(fèi)勁,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見”,如果有目的、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫作技巧,可以在讀中自然加強(qiáng)語感,增強(qiáng)語言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫作技巧和語感就會(huì)自然滲透到學(xué)生的語言意識之中,就會(huì)在寫作中自覺不自覺地加以運(yùn)用、創(chuàng)造和發(fā)展。這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價(jià)值、理想、學(xué)習(xí)、成長、責(zé)任、友誼、愛心、探索、環(huán)保等多