時(shí)間序列分析講義第01章差分方程

1、時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程1第一章差分方程差分方程是連續(xù)時(shí)間情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是時(shí)間序列方法的基 礎(chǔ)，也是分析時(shí)間序列動(dòng)態(tài)屬性的基本方法。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列或者金融時(shí)間序列方法主要處理具有隨機(jī)項(xiàng)的差分方程的求解問(wèn)題，因此，確定性差分方程理論是我們首先需要了解的重要內(nèi)容。 1.1一階差分方程假設(shè)利用變量yt表示隨著時(shí)間變量 t t 變化的某種事件的屬性或者結(jié)構(gòu)，則yt便是在時(shí)間 t t 可以觀測(cè)到的數(shù)據(jù)。假設(shè)yt受到前期取值 和其他外生變量wt的影響，并滿足下述方程：yt =：01ytWt(1.1)在上述方程當(dāng)中，由于yt僅線性地依賴前一個(gè)時(shí)間間隔自身的取值yt，因此稱具有

2、這種結(jié)構(gòu)的方程為一階線性差分方程。如果變量Wt是確定性變量，則此方程是確定性差分 方程；如果變量wt是隨機(jī)變量，貝U U此方程是隨機(jī)差分方程。在下面的分析中，我們假設(shè)wt是確定性變量。例1.11.1貨幣需求函數(shù)假設(shè)實(shí)際貨幣余額、實(shí)際收入、銀行儲(chǔ)蓄利率和商業(yè)票據(jù)利率的對(duì)數(shù)變量分別表示為mt、It、rbt和rct,則可以估計(jì)出美國(guó)貨幣需求函數(shù)為：mt=0.27 0.72mt0.19It-0.045rbt-0.019rct上述方程便是關(guān)于mt的一階線性差分方程?？梢酝ㄟ^(guò)此方程的求解和結(jié)構(gòu)分析，判斷 其他外生變量變化對(duì)貨幣需求的動(dòng)態(tài)影響。1.1.1差分方程求解：遞歸替代法差分方程求解就是將方程變量表示

3、為外生變量及其初值的函數(shù)形式，可以通過(guò)以前的數(shù)據(jù)計(jì)算出方程變量的當(dāng)前值。由于方程結(jié)構(gòu)對(duì)于每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)都是成立的，因此可以將(1.1)表示為多個(gè)方程：t = 0 : y = 1yn W0t =1 : y =、1y。W1aat t = =t t：yt = % 1 ytj wt依次進(jìn)行疊代可以得到：y1 = 01(0y-w0) w =0(11) ( 1)2y41w0wy2 = 0(1112)13y12w2w1w0aayt=廂寸卯+蜘技小回(1.2)i Wi =0上述表達(dá)式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通過(guò)代入方程進(jìn)行驗(yàn)證。上述通過(guò)疊代將yt表示為前期變量和初始值的形式，從中可以看出yt對(duì)

4、這些變量取值的依賴性和動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。1.1.2.差分方程的動(dòng)態(tài)分析：動(dòng)態(tài)乘子(dynamic multiplier)在差分方程的解當(dāng)中，可以分析外生變量，例如w0的變化對(duì) t t 階段以后的yt的影響。假設(shè)初始值v 4和w，wt不受到影響，則有：時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程2fw類似地，可以在解的表達(dá)式中進(jìn)行計(jì)算，得到：公二1:Wt(1.3)(1.4)上述乘子僅僅依賴參數(shù) 1 1和時(shí)間間隔j，并不依賴觀測(cè)值的具體時(shí)間階段，這一點(diǎn)在任何差分方程中都是適用的。例1.21.2貨幣需求的收入乘子在我們獲得的貨幣需求函數(shù)當(dāng)中，可以計(jì)算當(dāng)期收入一個(gè)單位的變化，對(duì)兩個(gè)階段以后貨幣需求的影響，即：:mt

5、 2mt 2 ；:Wt.2 : Wt-：I t-：WtItIt利用差分方程解的具體系數(shù)，可以得到：些=0.19,81=0.72；：It從而可以得到二階乘子為:A =0昭8t注意到上述變量均是對(duì)數(shù)形式，因此實(shí)際上貨幣需求相對(duì)于兩個(gè)階段以前收入的彈性系數(shù)，這意味著收入增長(zhǎng)1%,將會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)階段以后貨幣需求增加0.098% ,其彈性是比較微弱的。定義1.11.1在一階線性差分方程中，下述乘子系列稱為yt相對(duì)于外生擾動(dòng)wt的反應(yīng)函數(shù)：Lj，j =0,1，:Wt顯然上述反應(yīng)函數(shù)是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)，其收斂性依賴于參數(shù)(1)當(dāng)0 cl c 1時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是單調(diào)收斂的；(2)當(dāng)-1e1。時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是震蕩收斂的；

6、(3)當(dāng)勺1時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是單調(diào)擴(kuò)張的；(4)當(dāng)-1時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是震蕩擴(kuò)張的；可以歸納描述反應(yīng)函數(shù)對(duì)于參數(shù)的依賴性：當(dāng)14 |1時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是發(fā)散的。一個(gè)特殊情形是將導(dǎo)致其后任何時(shí)間.;yt jLj = =1, :Wt為了分析乘子的持久作用，假設(shè)時(shí)間序列yt的現(xiàn)值貼現(xiàn)系數(shù)為P P , ,則未來(lái)所有時(shí)間的yt流貼現(xiàn)到現(xiàn)在的總值為：j=0如果Wt發(fā)生一個(gè)單位的變化，而Ws, s t不變，那么所產(chǎn)生的對(duì)于上述貼現(xiàn)量的影響 為邊際導(dǎo)數(shù)：*1的取值。(1.5)9 =1的情形，這時(shí)擾動(dòng)將形成持續(xù)的單一影響，即wt的一個(gè)單位變化yHj的一個(gè)單位變化：j =0,1,(1.6)時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程3

7、時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程4-yt .j二一1一a.如EjytG/徹t=如陽(yáng)-w=a所如=1對(duì)，卬51上述分析的是外生變量的暫時(shí)擾動(dòng)， 如果wt發(fā)生一個(gè)單位的變化，而且其后的ws,st也都發(fā)生一個(gè)單位的變化， 這意味著變化是持久的。 這時(shí)持久擾動(dòng)對(duì)于(t + j)時(shí)刻的yt+j的 影響乘數(shù)是：公公.= 丫.廠.1。fWtjWt 1；：Wt j當(dāng)|。11j =1,2，,P將 p p 階差分方程表示成為矩陣形式的好處在于，它可以進(jìn)行比較方便的疊代處理，同時(shí)可以更方便地進(jìn)行穩(wěn)定性分析。另外，差分方程的系數(shù)都體現(xiàn)在矩陣F的第一行上。進(jìn)行向前疊代，可以得到差分方程的矩陣解為：(1.7)(1.8)

8、例1.31.3貨幣需求的長(zhǎng)期收入彈性在例1.1中我們已經(jīng)獲得了貨幣的短期需求函數(shù)，從中可以求出貨幣需求的長(zhǎng)期收入彈性為：dmtdmtdWt0.19-=-x- =-=0.68dItdWtdIt1-0.72這說(shuō)明收入增加1%最終將導(dǎo)致貨幣需求增加0.68%,這是收入對(duì)于貨幣需求反饋的持久影響效果。如果換一個(gè)角度考察擾動(dòng)的影響，那么我們需要分析一個(gè)單位的外生擾動(dòng)對(duì)于 路徑的累積影響，這時(shí)可以將這種累積影響表示為：jfytj1j=0 ；：Wt1 - -由此可見(jiàn)，如果能夠估計(jì)出差分方程中的系數(shù)，并且了解差分方程解的結(jié)構(gòu)，經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行穩(wěn)定性的動(dòng)態(tài)分析。另外，我們也發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生變量對(duì)外生變量反應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)比較

9、敏感地依賴差分方程中的系數(shù)。 1.21.2P P 階差分方程如果在方程當(dāng)中允許yt依賴它的 p p 階前期值和輸入變量，則可以得到下述p p 階線性差分方程(將常數(shù)項(xiàng)歸納到外生變量當(dāng)中)：yt =yt2py Wt為了方便起見(jiàn)，將上述差分方程表示成為矩陣形式：t=FtiVt其中：yt以后(1.9)則可以對(duì)(1.10)(1.11)-yt 1-yt.ytq+,F=B七r*123Tp巾1Tp1000001000aaa-：00010 -Wt0，V Vt t= =03.0 -時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程5t=Ft1 FM - FVi Fvt-vt(1.12)利用fj表示矩陣F*中第 i i 行、第j

10、列元素，則方程系統(tǒng)(1.12)中的第一個(gè)方程可以表 示為：(t 1)(t 1)(t.1)(t)(t 1)(1)f(t-1)(t1)(t11)(t)(t-1/(1)11yi . f12y f1py f11Wof11W1頃3 f11WtjWt(1.13)需要注意，在p階差分方程的解中需要知道p個(gè)初值：(y，y,，y),以及從時(shí)刻0開始時(shí)的所有外生變量的當(dāng)前和歷史數(shù)據(jù)：(w0, w1，wt)。由于差分方程的解具有時(shí)間上的平移性，因此可以將上述方程(1.12)表示為：=Fj1-FjVt FitFv-(1.14)類似地，表示成為單方程形式：,-f(j 1) V f(j 1) V f(j 1) Vyj =

11、f11yt 1f12yt _2f1 pyt _p(j)(1.15)(1.15)f11Wtf11Wt 1f11Wt-jWt，j利用上述表達(dá)式，可以得到p p 階差分方程的動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為：Lj=竺蘭=倩)，j=0,1，；:Wt由此可見(jiàn)，動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子主要由矩陣Fj的首個(gè)元素確定。例1.4在 p p 階差分方程中，可以得到一次乘子為：I _yt 1. f(1)_.F- 1一-111 111:Wt二次乘子為:L二- -火火2=箱2)=Fj =j , 2 :Wt雖然可以進(jìn)一步通過(guò)疊代的方法求出更高階的反應(yīng)乘子，但是利用矩陣特征根表示則更為方便，主要能夠更為方便地求出矩陣Fj的首個(gè)位置的元素。根據(jù)定義，矩陣

12、 F F 的特征根是滿足下述的人值:|F -，Ip | = 0(1.16)一般情況下，可以根據(jù)行列式的性質(zhì)，將行列式方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。例1.5在二階差分方程當(dāng)中，特征方程為：(勺-赤).=人一1入一2=。1 一舄具體可以求解出兩個(gè)特征根為：& =11+的12+網(wǎng)2), 7吃=1(*1一J*12+4牝)(1.17)22上述特征根的表達(dá)式在討論二階線性差分方程解的穩(wěn)定性時(shí)，我們還要反復(fù)用到。距陣 F F 的特征根與 p p 階差分方程表達(dá)式之間的聯(lián)系可以由下述命題給出：命題1.1距陣 F F 的特征根滿足下述方程，此方程也稱為 p p 階線性差分方程的特征方程：，p _ 1，p】_2，p

13、一 , 一 .0p p證明：根據(jù)特征根的定義，可知特征根滿足：時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程6(1一，)23 p10 0|F7Jp|=01一九00001九p p 列乘以（1/人）加到第p1列，然后將第p1列乘以（1/兀）加到第p-2列，依次類推，可以將上述行列式方程變化為對(duì)角方程，并求出行列 式值為:P一2心一 .一=0p Ip這便是所求的 p p 階線性差分方程的特征方程。END如果知道 p p 階線性差分方程的特征方程及其特征根，不僅可以分析差分方程的動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子，而且可以求解出差分方程解析解的動(dòng)態(tài)形式。1.2.11.2.1具有相異特征根的 p p 階線性差分方程的通解根據(jù)線性代數(shù)的有

14、關(guān)定理，如果一個(gè)方陣具有相異特征根，則存在非奇異矩陣T T 將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線元素便是特征根：F=TAT,A= diag（&,，Ap）（1.18）這時(shí)矩陣 F F 的乘級(jí)或者藉方矩陣可以簡(jiǎn)單地表示為：Fj=（TAT）j=TAjT , Aj=diag（號(hào)，房）（1.19）假設(shè)變量tj和tij分別表示矩陣 T T 和T-1的第 i i 行、第j列元素，則可以將上述方程利用矩陣形式表示為：具有上述表達(dá)式以后，在差分方程的解：(j 1)(j 1)(j 1)yt fj-f11yt 4f12ytqf1 pyt -p(j)(j)(1).f11Wtf11Wt 1f11WtjJWt j中可以得到

15、動(dòng)態(tài)乘子為:究竟系數(shù)序列Cj取值如何，下述命題給出了它的具體表達(dá)式。命題1.2如果矩陣 F F 的特征根是相異的，則系數(shù)Cj可以表示為:乳 100 =0對(duì)上述行列式進(jìn)行初等變化，將第1 1 2 2t t t t- -tl2t22J p1tp2從中可以獲得：引）二&祀1/（頃21）t1t2tpt2 p七22 t2paa+.ji tp1tP2 tPP其中：Cj=t1jtj1,j =0,1，如此定義的序列具有下述約束條件C1C2 .Cp=1（1.19）（自行證明）：（1.20）(1.15)Lj=1)=GW +C2，-2 *CpAnp,j =0,1,(1.21), C2，2 Cp，ptpp0(

16、hptp1rpWt時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程7(1.22)時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程8證明：由于假設(shè)矩陣 F F 具有相異的特征根，因此對(duì)角化的非奇異矩陣可以由特征向量 構(gòu)造。令向量ti為：L =，：，：，i，1,i = 1,2，p其中是矩陣 F F 的第 i i 個(gè)特征根。經(jīng)過(guò)運(yùn)算可以得到：Fti = iti由此可知ti是矩陣 F F 的對(duì)應(yīng)特征根將矩陣TT=IP的第一列表示出來(lái)：PtP，1 tP1C1 =-: =0.778 , c2=2 =0.222(，2)2(/ - W)此方程的動(dòng)態(tài)乘子為：iiiLj =c1襯+c2九2=0.788(0.84)+0.222(0.24)j,

17、 j =0,1，在上述乘子的作用過(guò)程中，絕對(duì)值教大的特征根決定了乘子的收斂或者發(fā)散過(guò)程。情形下，如果-1是絕對(duì)值最大的特征根，則有：廣勺1、lim (-) = c1j cwt襯則動(dòng)態(tài)乘子的收斂或者發(fā)散是以指數(shù)速度進(jìn)行。當(dāng)一些特征根出現(xiàn)復(fù)數(shù)的時(shí)候， 差分方程解的性質(zhì)出現(xiàn)了新的變化，擾動(dòng)反應(yīng)函數(shù)將出K的特征向量，利用每個(gè)ti做列就可以得到矩陣 T T。尸 7AP宵pJ3Apt11t21t311-00ii1可以求解上述線性方程的解為:1t11ti（，1）（，1 f3 ）（，1 f p ）1（2 -1）（2 - 3） （2t1P 1)(， 2)(，p-，p。注意到：q =ti1t , i =1,2，P

18、,帶入上述表達(dá)式即可得到結(jié)論。 例1.6求解二階差分方程：yt=0.6ytw+0.2yt_2+wt解：該方程的特征方程為：2-0.6，-0.2 =0特征根為：1 /O兀=一(0.6十(0.6)2十4(0.2) )=0.84 ,21C2= 0.6 - . （0.6）24（0.2） - -0.242END（1.23）時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程9現(xiàn)一定的周期性質(zhì)。為此，我們討論二階差分方程的情形。當(dāng)I2+4今0時(shí)，特征方程具有共扼復(fù)根，可以表示為：蓋=a +bi ,晟=a bi,a =i/2, b =(1/2)(一12一42)1/2利用復(fù)數(shù)的三角函數(shù)或者指數(shù)表示法，可以將其寫作：1= Rco

19、si sin才=Rexp(iu) , R= a2b2,tan b/a這時(shí)動(dòng)態(tài)乘子可以表示為：；y t土ijjLj =- =cC2，2二(G C2)Rcos(W) (0 -C2)Rjsin( n j)；：Wt對(duì)于實(shí)系統(tǒng)的擾動(dòng)分析，上述反應(yīng)乘子應(yīng)該是實(shí)數(shù)。由于C1和C2也是共扼復(fù)數(shù)，因此有：c1=a+i B , c2=a -i P則有：:yt .jLj =-=2: Rjcos(u j) 2 - Rjsin(u j)(1.24):Wt如果 R=1,R=1,即復(fù)數(shù)處于單位圓上，則上述動(dòng)態(tài)乘子出現(xiàn)周期性變化，并且影響不會(huì)消失；如果 R1,R1,即復(fù)數(shù)處于單位圓內(nèi)，則上述動(dòng)態(tài)乘子按照周期方式進(jìn)行率減，其作

20、用慢慢消失；如果 R R1,1,即復(fù)數(shù)處于單位圓外，則上述動(dòng)態(tài)乘子按照周期方式進(jìn)行擴(kuò)散，其作 用將逐漸增強(qiáng)。例1.7求解二階差分方程：yt=0.5yt0.8yt/+wt解：該方程的特征方程為：2-0.5，0.8=0特征根為：1C& =(0.5+、(0.5)2-4(0.8) )=0.25+0.86i ,21C2=0.5 -(0.5)2-4(0.8) =0.25 -0.86i上述共扼復(fù)數(shù)的模為：R=W(0.25)2(0.86)2-=0.9因?yàn)?R R 1 1 , ,由此可知其動(dòng)態(tài)乘子呈現(xiàn)收斂趨勢(shì)?？梢跃唧w計(jì)算出其震蕩的周期模式。cos(6) =a/R=0.28 ,8=1.29由此可知?jiǎng)討B(tài)乘

21、子的周期為：由此可知?jiǎng)討B(tài)乘子的時(shí)間軌跡上，大于4.9個(gè)時(shí)間階段便出現(xiàn)一次高峰。1.2.2具有相異特征根的二階線性差分方程的通解針對(duì)具體的二階線性差分方程，可以討論解的性質(zhì)與參數(shù)02之間的關(guān)系。a.當(dāng)宥+4% 0時(shí)，參數(shù)取值處于拋物線 由2=的下方。這時(shí)特征方程具有復(fù)特征根，且復(fù)數(shù)的模為：R2=a2b2=(1/2)2-(1242)/4=2因此，當(dāng)0頊21時(shí)是震蕩發(fā)散的。時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程10b.當(dāng)特征根為實(shí)數(shù)時(shí)，我們分析最大特征根和最小特征的性質(zhì)。此時(shí)92十4。20,且時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程11，1 =1 1 .2422 =11一. 1242-1 =11 . 1242

22、1當(dāng)且僅當(dāng)1%22，或者，底1同理，使得不等式 舄2_1成立的參數(shù)解為：。1+。1因此當(dāng)特征方程具有相異實(shí)根的時(shí)候，穩(wěn)定性要求參數(shù)落入拋物線上的三角形區(qū)域內(nèi)。c.類似地可以說(shuō)明，當(dāng)特征方程具有相等實(shí)根的時(shí)候，即處于三角形內(nèi)的拋物線上時(shí)， 方程仍然具有穩(wěn)定解，同時(shí)動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子也是收斂的。1.2.31.2.3具有重復(fù)特征根的 p p 階線性差分方程的通解在更為一般的情形下，矩陣 F F 可能具有重復(fù)的特征根，即具有重根。此時(shí)可以利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型表示差分方程的解及其動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子。下面以二階差分方程為例說(shuō)明。假設(shè)二階差分方程具有重根，則可以將矩陣1|F =TT -一。-計(jì)算矩陣乘積得到：其j門F

23、j=TJ.一0j于是動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子可以表示為:Lj =-烏?）-kj k2jjwt 1.31.3長(zhǎng)期和現(xiàn)值的計(jì)算如果矩陣F的所有特征根均落在單位圓內(nèi)（即所有特征根的模小于1）,當(dāng)時(shí)間間隔j逐漸增大時(shí)，矩陣乘積Fj將趨于零矩陣。如果外生變量wt和yt的數(shù)據(jù)均是有界的，貝U可以利用wt的所有歷史數(shù)據(jù)表示差分方程的一個(gè)解：yt=wt、1Wtj一2Wn一3Wt其中平=f1i），即矩陣Fj中的（1, 1）位置元素?？梢栽诰仃嚤硎鞠拢?jì)算wt的一個(gè)暫時(shí)性變化形成的對(duì)yt現(xiàn)值的影響。注意到利用向量求導(dǎo)得到：:Vt這樣一來(lái)，現(xiàn)值影響乘子可以表示為:二t j=上舊=（）vt_j =e.-上述矩陣級(jí)數(shù)收斂的條件是F F 所有特征根的模均小于P w。此時(shí)，wt的一個(gè)暫時(shí)性變F