方差分析Analysis of Variance

1、1 因素也稱為因素也稱為處理處理，每，每一處理因素至少有兩個一處理因素至少有兩個水平水平(level)（也稱（也稱“處理組處理組”）。）。 一個一個因素因素（水平水平間獨立）間獨立） 單向方差分析單向方差分析 兩個兩個因素因素（水平水平間獨立或相關(guān)）間獨立或相關(guān)）雙向方差分析雙向方差分析 一個個體多個測量值一個個體多個測量值重復測量資料的方差分析重復測量資料的方差分析 ANOVA與回歸分析相結(jié)合與回歸分析相結(jié)合協(xié)方差分析協(xié)方差分析 目的：目的：用這類資料的樣本信息來推斷各處理組間用這類資料的樣本信息來推斷各處理組間多個總多個總體均數(shù)體均數(shù)的差別有無統(tǒng)計學意義。的差別有無統(tǒng)計學意義。2SiS1S

2、2S3S4合計值5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 34 ANOVA ANOVA 由英國統(tǒng)由英國統(tǒng)計學家計學家R.A.FisherR.A.Fisher首首創(chuàng)，為紀念創(chuàng)，為紀念FisherFisher，以以F F命名，故方差分析命名，故方差分析又稱又稱 F F 檢驗檢驗 （F F testtest）。用于推斷）。用于推斷多多個總體均數(shù)個總體均數(shù)有無差異有無差異 5第十章第十章 單向方差分析單向方差分析One-way analysis of variance第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本思想方差分析的基本思想 將所有測量值間的總變異總變異按照其變異的來源分解為多個部份分解為多個部份，然

3、后進行比較，評價由某種因素某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計學意義。6組間變異組間變異總變異總變異組內(nèi)變異組內(nèi)變異71. 總變異總變異（Total variation）：全部測量值）：全部測量值Yij與與總均數(shù)總均數(shù) 間的差異間的差異 2. 組間變異組間變異（ between group variation ）：各）：各組的均數(shù)組的均數(shù) 與總均數(shù)與總均數(shù) 間的差異間的差異3. 組內(nèi)變異組內(nèi)變異（within group variation )：每組的：每組的每個測量值每個測量值Yij與該組均數(shù)與該組均數(shù) 的差異的差異下面用下面用離均差平方和離均差平方和(sum of squares of (su

4、m of squares of deviations from meandeviations from mean，SSSS) )反映變異的大小反映變異的大小 20.0Y YiYiY 1. 1. 總變異總變異: : 所有測量值之間總所有測量值之間總的變異程度，的變異程度，計算公式計算公式22111122,1)iinnaaijijijijNiji jSSYYYCYCNS 總(2211,()()inaNijijiji jYYCNN校正系數(shù)校正系數(shù)：1N總 2 2組間變異：組間變異：各組均數(shù)與總均數(shù)的各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和，離均差平方和，計算公式為計算公式為21211()()inijjaaii

5、iiiYSSn YYCn組間1a組間SS組間反映了各組均數(shù) 的變異程度組間變異組間變異隨機誤差隨機誤差+ +處理因素效應處理因素效應 iY21121()(1)inaijiijaiiiSSYYnS 組 內(nèi)Na組內(nèi) 3組內(nèi)變異：在同一處理組內(nèi)，雖然每個受試對象接受的處理相同，但測量值仍各不相同，這種變異稱為組內(nèi)變異，也稱SS誤差。 用各組內(nèi)各測量值Yij與其所在組的均數(shù)差值的平方和來表示，反映隨機誤差的影響。計算公式為三種三種“變異變異”之間的關(guān)系之間的關(guān)系離均差平方和離均差平方和分解分解：Variation Due to Treatment SSBVariation Due to Random

6、Sampling SSWTotal Variation SSTCommonly referred to as:oSum of Squares Within, oroSum of Squares Error, oroWithin Groups VariationCommonly referred to as:oSum of Squares Among, oroSum of Squares Between, oroSum of Squares Model, oroAmong Groups Variation=+ 均方差，均方均方差，均方( (mean square，MS) ) ，1510,1021

7、5, 1215, 52122121122/22/12121121)(222)(FFFf16附表附表5 5 F F界值表（方差分析用，單側(cè)界值）界值表（方差分析用，單側(cè)界值）上行：上行：P P=0.05 =0.05 下行：下行：P P=0.01=0.01分母自由度分母自由度2 2分子的自由度，分子的自由度，1 11 12 23 34 45 56 6 1 1161161200200216216225225230230234234 405240524999499954035403562556255764576458595859 2 218.5118.5119.0019.0019.1619.1619.

8、2519.2519.3019.3019.3319.33 98.4998.4999.0099.0099.1799.1799.2599.2599.3099.3099.3399.33 25254.244.243.393.392.992.992.762.762.602.602.492.49 7.777.775.575.574.684.684.184.183.853.853.633.63 5171819第二節(jié)第二節(jié) 實例實例8.18.1的方差分析的方差分析20H0： 即即4個試驗組總體均數(shù)相等個試驗組總體均數(shù)相等 H1：4個試驗組總體均數(shù)個試驗組總體均數(shù)不全相等不全相等 檢驗水準檢驗水準 12340.0

9、5一、一、 建立檢驗假設建立檢驗假設21SiS1S2S3S4合計值5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 22二、二、 計算離均差平方、自由度、均方計算離均差平方、自由度、均方23三、計算三、計算F值值24四、下結(jié)論四、下結(jié)論 注意：當組數(shù)為注意：當組數(shù)為2時，完全隨機設計的方時，完全隨機設計的方差分析結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較的差分析結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較的t檢驗結(jié)果等檢驗結(jié)果等價，對同一資料價，對同一資料,有：有：tF25第三節(jié)第三節(jié) 平均值之間的多重比較平均值之間的多重比較不拒絕不拒絕H0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足不足 分析終止。分析終止。拒絕拒絕H0

10、，接受，接受H1, 表示總體均數(shù)不全相等表示總體均數(shù)不全相等哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩兩均數(shù)之間不等？哪兩兩均數(shù)之間不等？ 需要進一步作多重比較。需要進一步作多重比較。26控制累積控制累積類錯誤概率增大的方法類錯誤概率增大的方法采用采用Bonferroni法、法、SNK法和法和Tukey法等方法法等方法27累積累積類錯誤的概率為類錯誤的概率為 當有當有k個均數(shù)需作兩兩比較時，比較的次數(shù)共有個均數(shù)需作兩兩比較時，比較的次數(shù)共有c= k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2設每次檢驗所用設每次檢驗所用類錯誤的概率水準為類錯誤的概率水準為，累積，累積類錯誤的概率為類錯誤的概率為

11、，則在對同一實驗資料進行，則在對同一實驗資料進行c次檢次檢驗時，在樣本彼此獨立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，驗時，在樣本彼此獨立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，其累積其累積類錯誤概率類錯誤概率與與c有下列關(guān)系：有下列關(guān)系：1(1)c (8.6)例如，設例如，設0.05，c=3(即即k=3)，其累積，其累積類錯誤類錯誤的概率為的概率為1(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.1432k28一、一、BonferroniBonferroni法法方法：采用方法：采用/c作為下結(jié)論時所采用的作為下結(jié)論時所采用的檢驗水準。檢驗水準。c為兩兩比較次數(shù)，為兩兩比較次數(shù)， 為累積為累積I類錯誤的概率。類錯誤

12、的概率。12,11ihiheYYYYtNaSMSnn組內(nèi)組內(nèi)（）29例例8-18-1四個均值的四個均值的BonferroniBonferroni法比較法比較 設設/c0.05/6=0.0083,由此由此t的臨的臨界值為界值為t（0.0083/2,20）=2.927118.528.0(:),244201122.3866(:C)0.072.9271,(:)1.3523.482.92713.402.92714.832.9.9271(:), (:),(:)1.432271.9271t A Bt At A Dt B Ct BtBDC D 同理只有有統(tǒng)計學意義，其他與其他各無統(tǒng)計組間差異學意義。30Bon

13、ferroniBonferroni法的適用性法的適用性 當當比較次數(shù)不多時比較次數(shù)不多時，Bonferroni法的效法的效果較好。果較好。 但當?shù)敱容^次數(shù)較多比較次數(shù)較多(例如在例如在10次以上次以上)時，時，則由于其檢驗水準選擇得過低，結(jié)論偏于保則由于其檢驗水準選擇得過低，結(jié)論偏于保守。守。31二、二、SNKSNK法法 SNK(student-Newman-Keuls)法又稱q檢驗，是根據(jù)q值的抽樣分布作出統(tǒng)計推論（例8-1）。1將各組的平均值按由大到小的順序排列由大到小的順序排列： 順序順序(1)(2)(3)(4) 平均值平均值28.018.718.514.8 原組號原組號BCAD2.

14、計算兩個平均值之間的差值及組間跨度差值及組間跨度k，見表8-3第(2)、 (3)兩列。3. 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量q值值4. 根據(jù)計算的q值及查附表6得到的q界值（p286），作出統(tǒng)計統(tǒng)計推斷推斷。32附表附表633第四節(jié)第四節(jié) 方差分析的假定條件和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方差分析的假定條件和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 一、方差分析的假定條件一、方差分析的假定條件（上述條件與兩均數(shù)比較的上述條件與兩均數(shù)比較的t檢檢驗的應用條件相同。）驗的應用條件相同。）1.各處理組樣本來自隨機、獨立的正態(tài)總體(D法、W法、卡方檢驗)；2.各處理組樣本的總體方差相等（不等會增加I型錯誤的概率，影響方差分析結(jié)果的判斷） 二、方差齊性檢驗二、方差齊性

15、檢驗1. Bartlett檢驗法2. Levene等3. 最大方差與最小方差之比3,初步認為方差齊同。343536 將原樣本觀察值作離均差變換，或離均差平方變換，然后執(zhí)行完全隨機設計的方差分析，其檢驗結(jié)果用于判斷方差是否齊性。 因為levene檢驗對原數(shù)據(jù)是否為正態(tài)不靈敏，所以比較穩(wěn)健。目前均推薦采用LEVENE方差齊性檢驗37 三、數(shù)據(jù)變換三、數(shù)據(jù)變換 改善數(shù)據(jù)的正態(tài)性或方差齊性。使之滿足方差分析的假定條件。1. 平方根反正弦變換適用于二項分布率（比例）數(shù)據(jù)。2. 平方根變換適用于泊松分布的計數(shù)資料3. 對數(shù)變換適用于對數(shù)正態(tài)分布資料XY11sinsin180XYXY或10log ( )XY38第五節(jié)第五節(jié) 完全隨機設計方法簡介完全隨機設計方法簡介1. 1. 編號：編號：120120名高血脂患者從名高血脂患者從1 1開始到開始到120120，見下面表第，見下面表第1 1行；行；2. 2. 取隨機數(shù)字：取隨機數(shù)字：從附表從附表1515中的任一行任中的任一行任一列開始，如第一列開始，如第5 5行第行第7 7列開始，依次列開始，依次讀取三位數(shù)作為一個隨機數(shù)錄于編號讀