2013高考數(shù)學(xué)二輪專題輔導(dǎo)與訓(xùn)練 專題四第3講空間向量與立體幾何課時訓(xùn)練提能

1、專題四 第3講空間向量與立體幾何課時訓(xùn)練提能限時45分鐘，滿分75分一、選擇題(每小題4分，共24分)1已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的單位法向量是A±(1,1,1)B±C± D±解析設(shè)平面ABC的法向量n(x，y，z)，則n，n，故n·0，n·0，即xy0，xz0，取x1，得yz1，即平面ABC的一個法向量是(1,1,1)，單位化得±.故選C.答案C2直線l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量為n(2，x2x，x)，若直線l平面，則x的值為A2 BC. D±解析線面平行

2、時，直線的方向向量垂直于平面的法向量，故x220，解得x±，故選D.答案D3平面，的法向量分別是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，則平面，所成銳角的余弦值是A. BC. D解析cosn1，n2，故平面，所成角的余弦值是.答案C4點M在z軸上，它與經(jīng)過坐標(biāo)原點且方向向量為s(1，1,1)的直線l的距離為，則點M的坐標(biāo)是A(0,0，±2) B(0,0，±3)C(0,0，±) D(0,0，±1)解析設(shè)M為(0,0，z)，直線l的一個單位方向向量為s0，故點M到直線l的距離d ，解得z±3.答案B5(2012·撫州一中月考)已

3、知直線l的方向向量為l，直線m的方向向量為m，若lb c(，R)，ma，ab，ac且a0，則直線m與直線lA共線 B相交C垂直 D不共面解析由ma且a0，可得：mta(tR)，所以m·lm·(bc)m·bm·cta·bta·c0，故m與l垂直，即直線m與直線l垂直答案C6正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為A. B.C. D.解析如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，則(1,1,0)，(0,1,1)，設(shè)平面ACD1的法向量為n(x，y，z)，則令z1，則y1，x1，n(1，1,1)又(0,0,1)，cos ，

4、n.所以BB1與平面ACD1所成角的余弦值為.答案D二、填空題(每小題5分，共15分)7(2012·長沙一中月考)已知a(2，1,1)，b(1，4，2)，c(11,5，)，若向量a、b、c共面，則_.解析由向量a、b、c共面可得：cxayb(x，yR)，故有，解得.答案18已知2ab(0，3，10)，c(1，2，2)，a·c4，|b|12，則b，c_.解析因為(2ab)·c0×1(3)×(2)(10)×(2)26，而(2ab)·c2a·cb·c8b·c，故b·c18.又|c|3，故co

5、sb，c，所以b，c.答案9如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，則點A到平面MBC的距離等于_解析取CD的中點O，連接OB、OM，則OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，則OM平面BCD，所以O(shè)MOB.以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由已知得OBOM，則各點坐標(biāo)分別為C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)所以(1，0)，(0，)，(0,0,2)設(shè)n(x，y，z)是平面MBC的法向量，由n，得xy0；由n，得yz0.令x，則y1，z1，所以n(，1,1)是平面MBC的一個法向量所以點A到平面MBC的距離為.

6、答案三、解答題(每小題12分，共36分)10如圖所示，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，F(xiàn)AFE，AEF45°.(1)求證：EF平面BCE；(2)設(shè)線段CD、AE的中點分別為P、M，求證：PM平面BCE.證明ABE是等腰直角三角形，ABAE，AEAB.又平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，AE平面ABCD，AEAD，即AD、AB、AE兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB1，則AE1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)(1)FAFE，AEF45°，A

7、FE90°，從而F，(0，1,1)，(1,0,0)，于是·0，·0，EFBE，EFBC.BE平面BCE，BC平面BCE，BCBEB，EF平面BCE.(2)M，P，從而.于是··00.PMEF，又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，PM平面BCE.11(2012·朝陽二模)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，EA平面ABCD，EFAB，AB4，AE2，EF1.(1)若點M在線段AC上，且滿足CMCA，求證：EM平面FBC；(2)求證：AF平面EBC；(3)求二面角AFBD的余弦值解析(1)證明過M作MNBC于N，連接FN

8、，則MNAB，又CMAC，所以MNAB.又EFAB且EFAB，所以EFMN，且EFMN，所以四邊形EFNM為平行四邊形，所以EMFN.又FN平面FBC，EM平面FBC，所以EM平面FBC.(2)證明因為EA平面ABCD，ABAD，故以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由已知可得，A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,2)顯然(1,0,2)，(0,4,0)，(4,0，2)則·0，·0，所以，.即AFBC，AFEB，故AF平面EBC.(3)因為EFAB，所以EF與AB確定平面EABF，由已知得，(0,

9、4,0)，(3,0，2)，(4,4,0)因為EA平面ABCD，所以EABC.由已知可得ABBC且EAABA，所以BC平面ABF，故是平面ABF的一個法向量設(shè)平面DFB的一個法向量是n(x，y，z)由得即令x2，則n(2,2,3)，所以cos，n.由題意知二面角AFBD銳角，故二面角AFBD的余弦值為.12(2012·西城二模)如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求證：ABDE；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；(3)線段EA上是否存在點F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，說明理由解析(

10、1)證明取AB中點O，連接EO，DO.因為EBEA，所以EOAB.因為四邊形ABCD為直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，所以四邊形OBCD為正方形，所以ABOD.所以AB平面EOD.所以ABED.(2)因為平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因為三角形EAB為等腰直角三角形，所以O(shè)AOBODOE，設(shè)OB1，所以O(shè)(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一個法向量為(0,1,0)設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為，所以sin ，即直線