2013屆高考數(shù)學(xué)專題突破：數(shù)學(xué)方法特殊解法(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考數(shù)學(xué)專題突破：數(shù)學(xué)方法（特殊解法）一知識探究：1換元法解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、

2、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（

3、r>0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和0,。2待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式

4、或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。3參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目

5、研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動與變化的思想，其觀點已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。4配方法配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變

6、形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題。二命題趨勢配方法、待定系數(shù)法、換元法、參數(shù)法是幾種常用的數(shù)學(xué)解題方法。這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，是解決問題的手段，它們不僅有明確的內(nèi)涵，而且具有可操作性，有實施的步驟和作法，事半功倍是它們共同的效果?？v觀近幾年高考命題的趨勢，在題目上還是很注意特殊解法應(yīng)

7、用，應(yīng)為他起到避繁就簡、避免分類討論、避免轉(zhuǎn)化等作用。預(yù)測2008年的高考命題趨勢為：（1）部分涉及函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)變形及求值、方程不等式的參數(shù)最值、解析幾何求值等知識點的題目會用到這幾種特殊解法；（2）這些解題方法都對應(yīng)更一般的解法，它們的規(guī)律不太容易把握，但它們在實際的考試中會節(jié)省大量的時間，為后面的題目奠定基礎(chǔ)；三例題點評1配方法典例解析例1（1）（07安徽文20）設(shè)函數(shù)，其中，將的最小值記為，求的表達(dá)式；解析： 。由于，故當(dāng)時，達(dá)到其最小值，即。（2）已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為（ ）(A)(B)(C)5(D)6分析：設(shè)長方體三條

8、棱長分別為x、y、z，則依條件得： 2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的對角線長為，因此需將對稱式寫成基本對稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式，完成這種組合的常用手段是配方法，故=6211=25。 ，應(yīng)選C。點評：本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2（1）設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足F1PF2=90°，則F1PF2的面積是（ ）(A)1(B)(C)2(D)分析：欲求(1)，

9、而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90°，得(2)，又根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4(3)，那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方，即可找到三個式子之間的關(guān)系.即，故 ， 選(A)。點評：配方法實現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化。（2）設(shè)方程xkx2=0的兩實根為p、q，若()+()7成立，求實數(shù)k的取值范圍。解析：方程xkx2=0的兩實根為p、q，由韋達(dá)定理得：pqk，pq2，()+()7，解得k或k。又 p、q為方程xkx2=0的兩實根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k。點評：關(guān)于實系數(shù)一元二

10、次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對“”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。2待定系數(shù)法典例解析例3設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線平行于x軸，離心率為，已知點P(0,5)到該雙曲線上的點的最近距離是2，求雙曲線方程。分析：由題意可設(shè)雙曲線方程為，a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成： (1),故只需求出a可求解。設(shè)雙曲線上點Q的坐標(biāo)為(x,y),則|PQ|=

11、(2)，點Q(x,y)在雙曲線上,(x,y)滿足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3)，此時|PQ|2表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解。由(3)式有(ya或y-a)。二次曲線的對稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域ya或y-a,因此,需對a4與a>4分類討論。(1)當(dāng)a4時，如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值，令，得a2=4。所求雙曲線方程為。(2)當(dāng)a>4時，如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值，令，得a2=49，所求雙曲線方程為。點評：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的，其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問題，由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關(guān)，因此需對字母

12、a的取值分類討論，從而得到兩個解，同學(xué)們在解答數(shù)習(xí)題時應(yīng)學(xué)會綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題。例4是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·22·3n(n1)(anbnc)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國高考題）分析：是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立。解析：假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：，解得，于是對n1、2、3，等式1·22

13、83;3n(n1)(3n11n10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設(shè)對nk時等式成立，即1·22·3k(k1)(3k11k10)；當(dāng)nk1時，1·22·3k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是說，等式對nk1也成立。綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。點評：建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以

14、按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列12n、12n求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得S1·22·3n(n1)(12n)2(12n)(12n)2×(3n11n10)，綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。3換元法典例解析例5（1）（06江蘇卷）設(shè)a為實數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（）設(shè)t，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)；（）求g(a)。解析：（）令要使有t意義，必須1+x0且1-x0，即-1x1，t0 t的取值范圍是由得m(t)=a(

15、)+t=（）由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論。（1）當(dāng)a>0時，函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段，由<0知m(t)在上單調(diào)遞增，g(a)=m(2)=a+2(2)當(dāng)a=0時，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)當(dāng)a<0時,函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則綜上有 點評：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。（2）設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和

16、最小值。解析：設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx，f(x)g(t)(t2a)（a>0），t-,，t-時，取最小值：2a2a，當(dāng)2a時，t，取最大值：2a2a；當(dāng)0<2a時，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為。點評：此題屬于局部換元法，設(shè)sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解

17、法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例6點P(x，y)在橢圓上移動時，求函數(shù)u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值。解析：點P(x,y)在橢圓上移動，可設(shè)，于是 = =令，|t|。 于是u=，(|t|) 當(dāng)t=,即時，u有最大值。=2k+(kZ)時，。4參數(shù)法典例解析例7過坐標(biāo)原點的直線l與橢

18、圓相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點F，求直線l的傾斜角。解析：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，直線l的方程為y=kx，將它代入橢圓方程整理得 (*)，由韋達(dá)定理,(1),(2)， 又F(1,0)且AFBF,，即， 將,代入上式整理得，將(1)式,(2)式代入，解得。故直線l的傾斜角為或。點評：本題設(shè)交點坐標(biāo)為參數(shù),“設(shè)而不求”,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為k的方程求解。例8實數(shù)a、b、c滿足abc1，求abc的最小值。分析：由abc1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)at，bt，ct，代入abc可求。解析：由abc1，設(shè)at，bt，ct，其中ttt0，abc（t）（t）(t)(ttt)tttttt，所以abc的最