二次曲線中點弦性質(zhì)與蝴蝶定理

1、二次曲線中點弦性質(zhì)與蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理，它充分體現(xiàn)了蝴蝶生態(tài)美與“數(shù)學(xué)美”的一致性不少中數(shù)專著或雜志至今還頻繁討論本文揭示 了它與中點弦性質(zhì)的緊密聯(lián)系，并給出統(tǒng)一而簡明的證明，指出了一種 有用的特殊情形和一種推廣形式.引理：設(shè)兩條不同的二次曲線2 2S : F(x , y)=a11X + 2ai2xy + a22y + 2ai3x + 2a23y + a33=0(1)Sj： 仗，y) = bjjir3+ 2biaxy + b33ya+ 2b13x+ 2b33y+ b33= 0(2)有AB C、D 四個公共點，其中無三點共線，則過 A、B、C D 四 點的任意一條二次曲線 S

2、 必可唯一地表示成：鞏盂 y) +入諷石 y) = D(3)|其中 X =w時約定(石 y) = 0,就是曲線 S(證明略)定理 1 設(shè)三條不同的二次曲線(S、S、S2)有AB、C、D 四個公共 點，其中無三點共線；又直線 Lo被 S Si、S2各截得一弦若其中兩弦中 點重合，則第三弦中點亦重合.副 1證設(shè) S、Si的方程為(1)、(2),則 S2方程可表為.因直線 Lo(設(shè) 斜率為 k)關(guān)于二次曲線 S S、S2的共軛直徑分別為：L : (aiix + ai2y+ ai3)+ k(ai2x + a22y + a23)=f(x , y)=0Lp (bnx + b13y + b13) +k(b1

3、2+ b33+b2J) =(x, y) = 0La； f(xFy) +, y) = 0因 L、Li都通過 Lo被 S 與 Si所截得的弦 PQ 與 EF 的共同中點 O,顯 然 L2也必通過點 O,故 O 也是 Lo被 S2所截得的弦 GH 的中點.注 兩直線 AB 和 CD 或 AD 和 CB 或 AC 和 BD 都可看做二次曲線 Si的 特殊情形，甚至 E 和 F 重合于 O故本定理包括了蝴蝶定理眾多情形.定理 2 設(shè) AB/CD S 和 S 是過AB、C、D 四點的任意兩條二次曲 線.若平行于 AB 的任意直線與 S Si各有兩個交點，則夾在兩曲線之間 的兩線段相等.圍 2證設(shè) AB C

4、D 的中點分別為 M N,又 AB/ CD 故直線 MN 就是 AB 關(guān)于 S和 Si的共軛直徑， 故若平行于 AB 的任意直線被 S、 S 所截的弦 PQ EF 有共同中點 O,故有 PE=QF 命題得證.注由于 PQ 可為 AB 與 CD 之間任意平行弦，皆有 PE=QF 故夾在 S 和Si之間的兩曲邊區(qū)域i和厶2面積相等.i它酷似蝴蝶兩翼，不過并非 軸對稱，而是沿 AB 方向共軛.如果世上真有這樣的蝴蝶，飛行亦能平衡 自如.定理 i 還可推廣得到更一般的結(jié)論.E 3定理 3 若三條不同的二次曲線 S、S、S2有無三點共線的四個公共 點，沿某一確定方向的任意直線Lo被 S S、S2各截得一

5、弦 PQ EF、GH則三弦中點 O O、Q 之間有向線段之比為常數(shù).證 不妨取坐標(biāo)系使確定方向為x 軸.于是該方向(k=0)關(guān)于 S S、S2的共軛直徑分別為(參見定理 1):L : aiix + ai2y + ai3=0Li: biix + bi2y+ bi3=0L2: (aiix + ai2y + ai3)+ 入(biix + bi2y + bi3)=0設(shè)直線 Lo方程為 y=yo, PQ EF、GH 的中點為 0(xo, yo) , O(xi, yo), Q(X2,yo)，于是由直徑方程知：aiiXo+ ai2yo+ ai3=o, biiXi+ bi2yo+ bi3=o(aiiX2+ ai2yo+ ai3) + 入(biiX2+ bi2yo+ bi3)=o故 aII(X2 Xo)=入 bii(X2Xi) (4)_ Za. _即 OQ/O2O=a(a11工0時)(5)其中a=入 bii/a11是與 yo無關(guān)的常數(shù)(由 S、S、S2三曲線確定.當(dāng) aii=0時，L/ Lo 可知 Lo與 S 無兩個交點，故不在本命題討論之列).(5)式意即：在指定順序 O Q、O 之下，兩有向線段之比不因Lo平行移動而變化.推論 在定理 3 條件下，對任意直線 L0