概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章作業(yè)題解

1、第四章作業(yè)題解甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一種零件 ，在一天內(nèi)生產(chǎn)的次品數(shù)分別記為X和Y.已知X,Y的概率分布如下表所示：X0123PY0123P0如果兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)量相同，問(wèn)哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件的質(zhì)量較好解： E(X) 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 1E(Y) 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 0.9因?yàn)?E(X) E(Y),即乙機(jī)床的平均次品數(shù)比甲機(jī)床少，所以乙機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好。袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5, 最大編號(hào)，求E(X).現(xiàn)從中任意抽取3個(gè)球，用X表示取出的3個(gè)球中的解：X的可能取值為3,4,5.因?yàn)镻(X 3)1C531100.1; P(X4)C

2、32C；3-0.3;10所以P(X 5)C：C536_100.6設(shè)隨機(jī)變量E(X)3 0.10.30.64.5X的概率分布PXkk 1(1 a)(k 0,1,2,L，其中a 0是個(gè)常數(shù)，求12 ,(1 x)E(X)解：E(X)kk1kg(7(1 a)2k 1kg a卜1，下面求哥級(jí)數(shù)kxk 1的和函數(shù)，1 (1 a)k1k 1易知哥級(jí)數(shù)的收斂半徑為Rkxk1(xk)(k 1k 1六)1 xx 1, a根據(jù)已知條件，a 0,因此0 1,所以有1 aE(X)a.a 17g(I a)2”(1a )21 a某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為p,現(xiàn)連續(xù)向目標(biāo)射擊，直到第一次命中目標(biāo)為止，求射擊次數(shù)的期望.解：

3、因?yàn)閄的可能取值為1,2,。依題意，知 X的分布律為P(X k) qk1p, q 1 p,k 1,2,L L所以 E(X) kqk 1pk 1p (qk)k 1叫 1qk) p*)(11q)2在射擊比賽中，每人射擊4次，每次一發(fā)子彈.規(guī)定4彈全未中得0分，只中1彈得15 分，中2彈得30分，中3彈得55分，中4彈得100分.某人每次射擊的命中率為，此人期 望能得到多少分解：設(shè)4次射擊中命中目標(biāo)的子彈數(shù)為X,得分為Y,則XB(4,因?yàn)?P(X 0) C00.60 0.440.0256_1_1_3_P(X 1) C；0.61 0.430.1536_2_22P(X2)C40.60.40.3456_

4、331P(X3)C40.60.40.3456P(X4)C40.640.400.1296所以Y的分布律為Y0153055100P故期望得分為E(Y) 0 0.0256 15 0.1536 30 0.3456 55 0.3456 100 0.1296設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為吃(島3k(k 1,2說(shuō)明x的期望不存在。解:級(jí)數(shù)k 1Xk Pk(1尸3 k2 ,發(fā)散,不符合離散型隨機(jī)變量期望定義的要1 k求,從而X的期望不存在.設(shè)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，在各交通崗遇到紅火T是相互獨(dú)立的 ，其概率均為.求途中遇到紅燈次數(shù)的期望解：設(shè)遇到紅燈次數(shù)為 X,依題意，知 XB(3,故 E(X) 3

5、 0.4 1.2設(shè)隨機(jī)變量X 勺概率密度函數(shù)為x, f (x)2x,0,x 1, 1x2, 其他求 E(X).解：E(X)xf (x)dx1x2dx021 x(2 x)dx(x2133x)2 1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f (x)ax, bxc,0,x 2, 2x4其他又 E(X)2,P1一 33，求吊數(shù)a,b, c的值.4解:f (x)dx 12axdx042 (bx c)dx ,得2a6b2c 1因?yàn)樗?E(X)xf (x)dx2xaxdx042x(bxc)dx856小a b 6c33E(X)P(1 X3)2axdx18 a332(bx56b3c)dxP(1 X3)解聯(lián)立方程，得33

6、-,得 一 a4216c 21_(1 x2),說(shuō)明X的期望不設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f (x)存在. X 2 x解:積分 xf(x)dx -dx 2dx,顯然，積分發(fā)散，根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)(1 X )0 1 x變量期望的定義，X的期望不存在.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)X(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的考生占考生總數(shù)的%.求考生外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.解：設(shè)X N( , 2),依題意得，E(X) 72又 P(X 96) 2.3% 0.023,則 P(X 96) 0,977(2)即有(也2)(2)所以竺2 2得12所以 X N(72,122)X 72

7、 . .故所求的概率為P(60 X 84) P(|X 721 12) P(| 1)122 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826對(duì)習(xí)題 中的隨機(jī)變量X,計(jì)算E(X2)、E(5X2 4).解：E(X 2)020.4 12 0.3 22 0.2320.1 2_2_2_E(5X4)5E(X ) 4 52 414I量X勺概率密度函數(shù)為f(x)ex,x 0,0,X 0,分別計(jì)算Y 2X的期望和Y e 2X的期望_ ,1解：因?yàn)閄 E(),其中 1 ,所以 E(X) 1E(Y) E(2X) 2E(X) 2 1 2E(e 2X) e 2xf(x)dx e 2xe Xdxe 3xdx 1003對(duì)球的直

8、徑做近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間(a,b)內(nèi)，求球體積的均值3解：設(shè)球的直徑測(cè)量值為X .顯然X的概率密度函數(shù)為1f (x) b a0,其他,因此，球體積的均值為13E(V) E(6X)b,x3dxb a(a b)(a224b2)游客乘電梯從電視塔底層到頂層觀光,電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起運(yùn)行.設(shè)某一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X U0,60,求該游客等候時(shí)間的期望.解：用隨機(jī)變量Y表示游客的等候時(shí)間(單位:分鐘)，則Y g(X)淇函數(shù)關(guān)系為x,25 y g(x) ll5565x,X,X,25555,25,55,60.由于X U0,60,根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)

9、的期望公式，可得游客等候時(shí)間的期望為525E(Y) Eg(X)。(5 x)dx (2505x)dx556070(55 x)dx (65 x)dx25556設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x, y)212y , 0 y x 1,0,其他,求 E(X),E(Y),E(XY),E(X2 Y2).解：因?yàn)?，?dāng)0 x 1時(shí),1 時(shí)，fY(y)fx(x)f (x,y)dy12y2dy 4x3所以，E(X)xfX (x)dxE(Y)yfY(y)dyE(XY)f (x, y)dx10y4x3dx212y2 (1xyf (x, y)dxdy12y2dx 12y2(1 y)y)dy2 , dx

10、76; xy12y dy4 xx 3y 0dxI%E(X 2)2x fX (x)dx4x3dx4.17E(Y2)y2fY(y)dy12y2(1y)dy22E(X2 Y2)設(shè)隨機(jī)變量fx(X)2x,0,求 E(XY).解： E(X)E(Y)22E(X2) E(Y2)1615X與丫相互獨(dú)立，概率密度函數(shù)分別為0x1,和 其他，xf (x)dxyf (y)dy5 yye因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以fY(y)5 e0,5,5,1x 2xdx05 y I5 ye dy5 ye dyE(XY)4.18設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從圓域DE(.X2 Y2).解：根據(jù)二維隨機(jī)向量的計(jì)算公式:E( . X2 Y2)2

11、3'yd(y)E(X)E(Y)(x,y): x222x y f (x, y)dxdyx2此積分用極坐標(biāo)計(jì)算較為方便，于是有E( X2 Y2)1 2R2 0R 2r drd02R設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，并且均服從U (0,解：由于X服從U(0,),故其分布函數(shù)為6 4.R2上的均勻分布，求22x y ,y2 R2 Rdxdy,)，求 E(maxX,Y).0, x 0, xFX(x)-,0 x ，同理，丫服從U(0,)，故其分布函數(shù)為1, x .0, y 0,FY(y)y, 0 y，于是根據(jù)公式3.7.5, maxX,Y的分布函數(shù)為1, y0, z 0,2Fmax(Z),0 Z1, z

12、.,求到后得密度函數(shù)fmax (Z);max 0,2z2 ,0 z其他.111八561所以 E(Xi) 146662i _.+.2因此 E(maxX,Y尸 zfmax(z)dz 3民航機(jī)場(chǎng)的一輛送客汽車每次載 20名旅客自機(jī)場(chǎng)開出，沿途有10個(gè)車站.若到達(dá)一個(gè)車站 時(shí)沒(méi)有旅客下車，就不停車.設(shè)每名旅客在各個(gè)車站下車的概率是等可能的，求汽車的平均停車次數(shù).解：用隨機(jī)變量 X表示汽車的10個(gè)車站總的停車次數(shù)，并記Xi1,第i站有旅游下車,0,第i站無(wú)旅游下車,i 1,2,L ,10,顯然，Xi均服從兩點(diǎn)分布，且X X1 X2 L X10,于是有9 20PXi 0(布)20, PXi由此求得1 12

13、0E(Xi) 120 0.8784,E(X) 10120 8.784.將一顆均勻白骰子連擲10次，求所得點(diǎn)數(shù)之和的期望解：設(shè)X表示第i次擲出的點(diǎn)數(shù)(i =1,2,，10),則擲10次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為 X10Xi O因?yàn)閄i的分布律為P(Xik)(k =1,2,，6),1010故 E(X)E(Xi)i 1-10 7 35.i i 22在習(xí)題中，若直到命中目標(biāo)n次為止，求射擊次數(shù)的期望.解：設(shè)Xk是從第k 1次命中目標(biāo)到第k次命中目標(biāo)之間的射擊次數(shù)，Xk的分布律為_m 1_P(Xk m) (1 p) p, m 1,2,L L ,k 1,2,L L記隨機(jī)變量X X1 X2 L Xn,并且注意到隨機(jī)變

14、量 X1,X2,L Xn概率分布相同，因此E(X) nE(XJ -P.求習(xí)題 中隨機(jī)變量X,Y的方差.解：由知 E(X) 1, E(Y) 0.9,由知 E(X2) 2又 E(Y2) 02 0.3 12 0.5 22 0.2 32 0 1.3故 Var(X) E(X2) (EX)22 12 1_2_22Var(Y) E(Y ) (EY) 1.3 0.90.49.求習(xí)題中隨機(jī)變量X的方差一 .oo2 1a 4 1c a 14斛：由知 E(X) 2 , E(X ) x f (x)dx o - x dx 2 - (4x x )dx .2故 Var(X) E(X2) (EX)2 3設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y

15、)的概率密度函數(shù)為1 xyf (x, y) 40,1 x 1, 1 y其他,1,求Var(X)和 Var(Y).解：因?yàn)?，?dāng) 1 x 1時(shí)，fX(x)f(x,y)dyxy.1-dy 42即 X U( 1,1)1)2;設(shè)隨機(jī)變量XN (0,4), YU (0,4),并且X與丫相互獨(dú)立，求Var(X Y)和1 1 八1所以 E(X) 丁廠 0, Var(X) 1 (1由對(duì)稱性得E(Y) 0, Var(Y)-3Var(2X 3Y).解：因?yàn)?X N(0,4), Y U(0,4) 1 ,24 所以 Var(X) 4, Var(Y) (4 0)2 123又X和丫相互獨(dú)立，故4 16Var(X Y) Va

16、r(X) Var(Y) 4 - - 334Var(2X 3Y) 4Var(X) 9Var(Y) 4 4 9 - 28. 3設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表：X Y-10101求 Cov(X,Y).解 容易求得X的概率分布為：PX 0 0.3, PX 1 0.7,Y 的概率分布為：PY 10.4, PY 00.2,PY10.4,XY的概率分布為：PXY 1 PX 1,Y1 0.3,PXY1PX1,Y10.3,PXY 0 PX 0,Y1 PX 0,Y0PX0,Y1PX1,Y 0 0.4.于是有E(X) 0 0.3 1 0.7 0.7,E(Y) ( 1) 0.4 0 0.2 1 0.4 0,

17、E(XY) ( 1) 0.3 0 0.4 1 0.3 0.Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0.設(shè)二維正態(tài)隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為1 工(x 4)2 (y 2)2"")2、3 ex,問(wèn)X與Y是否互不相關(guān)解：二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度的標(biāo)準(zhǔn)形式為:f(x, y)21112(1 2)e/2其中均為常數(shù)，且10，2 QI I 1,由此得到:(X,Y): N(4,231,0),因?yàn)?,所以X與Y互不相關(guān)。設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f (x, y)x y80,0 x 2,0y 2,求XY .其他,解：因?yàn)?，?dāng)0x 2時(shí),fX(X)f (x

18、, y)dy2x0所以 E(X)xf (x)dxxdx 1(443f)E(X2) x2f (x)dx1 dx (4是 Var(X) E(X2)(EX)2由對(duì)稱性得 E(Y) 76Var(Y)5小23(6)11361136又因?yàn)?E(XY)xyf (x, y)dxdy2dx00xy21 (x2 0 8)dx010(4 x x -)dx 4332(Xi學(xué)376136_4 7所以 COV(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 3 6故 XYCOV(X,Y)1/36Var(X)Var(Y) (11/36) (11/36)111設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)八 0,e (x y) e0 x,0 y, 其他，fx(x)ey y 0,0,其他顯然,f (x, y)fX(x)fY(y),所以X與Y相互獨(dú)立，從而互不相關(guān)。設(shè) Var(X)25,Var(Y) 36,XY 0.4，求Var(X Y)和Var(X Y).解：由COV(X,Y)XY,Var(X)Var(Y)COV(X,Y)xy ,Var(X)Var(Y) 0.425 36 12因?yàn)閂ar(XY)Var(X)Var(Y)2COV(X,Y)所以Var(XY)25 362 128