圖像傅里葉變換

1、圖像傅里葉變換圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是 灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一 片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬 性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū) 域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅里葉變換在實(shí)際中有非常明顯的 物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅里葉變 換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅里葉變換是將 一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看， 傅里葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅里葉變換的物理 意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，

2、傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函 數(shù)。傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù) 空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣 用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f（x,y）來(lái)表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在 另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度?因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅里葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存 在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒(méi)有。傅里 葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域

3、點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的 大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高 頻部分相反）。一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該 點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率 圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中 暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰 域差異都不大，梯度相對(duì)較?。粗?，如果頻譜圖中亮的 點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊 像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的 頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心 除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它 可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一副 帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以 外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合 就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置 帶阻濾波器消除干擾。另外說(shuō)明以下幾點(diǎn)：1、圖像經(jīng)過(guò)二維傅里葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變 換系數(shù)短陣的中心附近（圖中陰影區(qū)）。若所用的二維傅里 葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號(hào)能量將集 中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。 這是由二維傅里葉變換本身性質(zhì) 決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)