四邊形周長(zhǎng)最小值問(wèn)題解析

1、四邊形周長(zhǎng)最小值問(wèn)題解析程峰【專(zhuān)題名稱(chēng)】初中數(shù)學(xué)教與學(xué)【專(zhuān)題號(hào)】G352【復(fù)印期號(hào)】2011年01期【原文出處】初中數(shù)學(xué)教與學(xué)（揚(yáng)州）2010年10期第2023頁(yè)【作者簡(jiǎn)介】程峰，江西省彭澤縣楊梓中學(xué)（332713）?！娟P(guān)鍵詞】EEUU筆者曾發(fā)表過(guò)線(xiàn)段長(zhǎng)度的最值問(wèn)題解析一文，其中舉了兩個(gè)例子，都是周長(zhǎng)的最大值問(wèn)題。本文專(zhuān)門(mén)討論四邊形周 長(zhǎng)最小值問(wèn)題。四邊形周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題主要有以下幾種情形：一、一邊長(zhǎng)確定例1已知拋物線(xiàn)y = ax2+fec+c與y軸交于 點(diǎn)4(0,3)，與力軸分別交于B(l,0),C(5,0)兩 點(diǎn)，如圖1所示.(1) 求此拋物線(xiàn)的解析式；(2) 若點(diǎn)。為線(xiàn)段04的一個(gè)三等分

2、點(diǎn)，求直 線(xiàn)OC的解析式；(3) 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自04的中點(diǎn)M出發(fā)，先到 達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為E)，再到達(dá)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸 上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，后到達(dá)點(diǎn)4,最后回到點(diǎn)M,求 使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并 求出這個(gè)最短總路程的長(zhǎng).解(l)/ = y(*-3)2-y；(2)當(dāng)D(0,l)時(shí)，直線(xiàn)DC為當(dāng)D(0,2)時(shí)，直線(xiàn)DC為/= -y*+2；(3)易知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)是四邊形MEF4,點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的最短路程就是四邊形MEFA周長(zhǎng)的最小 值.由于=寺，因此要求ME + EF+AF的和最小.如圖1所示，作點(diǎn)4（0,3）關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)4#（6,3），點(diǎn)M（0,*）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的

3、點(diǎn)W（o, - y），則 ME + EF + AF MAT最短,設(shè)直線(xiàn)AM 為 y二kx+b,則 f6A + 6=3, h 3 b = .直線(xiàn)AM為y =弓卞一 *直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)E（2,0）,與直線(xiàn)x = 3 交于點(diǎn)中弓）.故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路程是號(hào)+ y = 9.點(diǎn)評(píng)在一邊確定的情況下，要使四邊形的周 長(zhǎng)最小，應(yīng)通過(guò)作已知線(xiàn)段端點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，把另外 三條邊轉(zhuǎn)化到同一條線(xiàn)段上.二.相對(duì)兩邊確定如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A9B分別在x 軸、y軸的正半軸上,04 =3,0 =4,點(diǎn)為邊0B的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)E為邊04上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) COE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E

4、的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)為邊04 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F = 2,當(dāng)四 邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E,F的坐標(biāo)，并求出四邊形 CDEF周長(zhǎng)的最小值.（2010年 天津市）解析（1）略；(2)v CD= /13tEF=2,要使四邊形的周長(zhǎng)最小,就要使DE + CF的和最小，因此要設(shè)法 把0E.CF轉(zhuǎn)化到同一直線(xiàn)上，作點(diǎn)D關(guān)于洱軸對(duì) 稱(chēng)的點(diǎn)，把D沿x軸正方向平移2個(gè)單位到叭 連接 CD x 軸于點(diǎn) DE + CF = ZTF + CF 二 GT最短，如圖2所示.1 0(0,2八 0(0, 2,/r(22),又 C(3f4),/.直線(xiàn)C的解析式為y=6x- 14.CD J JcCzTG5=+=妙二四邊形C

5、OEF周長(zhǎng)的席小值為2+ 73Z點(diǎn)評(píng) 當(dāng)四邊形中相對(duì)兩邊的長(zhǎng)確定時(shí)，要使四邊形的周長(zhǎng)最小，仍然是通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)加平移，把另外兩邊轉(zhuǎn)化到同一直線(xiàn)上。例3 如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，RtAAOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(-2,0),O(0,0),B(0,4)，把 AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90,得到COD求(1)求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；求經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；(3)在中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取兩點(diǎn)E,F (點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方)，且EF=1,當(dāng)點(diǎn)E,F在何位置時(shí)，四邊形 ACEF勺周長(zhǎng)最小，并求出最小值。解(l)C(0,2),D(4.0”(2)y = -蘇丸 1+4；(3)由于AO2找上要使四邊形A

6、CEF 的周長(zhǎng)遢小,只需要AE + CE的值最小(拋物線(xiàn)y =毎的對(duì)稱(chēng)軸為x = lt如圖3所示，把點(diǎn)A向上平移到幽(-2,1),則彳尸詁&作兒關(guān)于 對(duì)稱(chēng)釉x = l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,(4J)t連接A2CtA2C與 對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,E為所求.易求得直線(xiàn)A.C的解 析式為y- x +1-4當(dāng)“I時(shí)兒(1宀) 又t F = lt點(diǎn)F在點(diǎn)E的下方,A2C = W2 = 717= A2E + CE=A,E + CE = AF + CE. 所以當(dāng) %孑丨，叩弓）時(shí)，四邊形ACEF的周長(zhǎng)最小，最小值為1 +27T+ /17.三、三邊和確定第!邊的長(zhǎng)不確定例4如圖4,拋物線(xiàn)-x1 +2jc+3與龍軸交 于人上兩點(diǎn)

7、，直線(xiàn)創(chuàng)？的兩數(shù)表達(dá)式為-屆+ 3再，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸I與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)匚與玄軸 交于點(diǎn)E.求A B C三點(diǎn)的坐標(biāo)；，以點(diǎn)AMNB(2)若點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn) A B不重合)，以點(diǎn) A為圓心，以AP為半徑的圓弧與線(xiàn)段 AC交于點(diǎn) B為圓心，以BP為半徑的圓弧與線(xiàn)段 BC交于點(diǎn)N,分別連接AN,BM,MN求證：AN=BM在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形 的周長(zhǎng)是否有最小值，若有，求出該最小值。( 2010年濟(jì)南市。有改動(dòng))解析(1)片(-1,0)(3,0)(12療)；(2)在 RlACE：中，廠(chǎng)F Ltan Z. CAE =昶、:乙 C4E=6O.由拋物線(xiàn)的未席性知I是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，

8、A 4C = BC,a 磁為等邊三角形*二 AB = BC=AC = 4,乙ABC - ACB=60又t AMAP,BN = BPtA B/V = CM,代4/V = SM；二宀刖=腫，/. AM + B/V = 4P + /JP = 4/?=要使四邊形AMNB的周長(zhǎng)最小存只耍使MN最 小設(shè) 4P = m#(0m4)t|MCM =4 mCN = m.過(guò)點(diǎn)M作MF丄BC,垂足為點(diǎn)化則CF = yWC = y(4-/n).FN = CN- CF在RiAMA/F屮，由勾股定理得MN1 =就尸 +F/V2ir Jxi2 / 32工字(4“刖 +(Tm2)= 3nt2 - 12m + 16(0 m 4)

9、.當(dāng)罰二君=2時(shí)劌V%最小值4,故M/V冇最 小值2所以四邊形AMNB的最小值為4+4+2 = ia解析 作點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A，連接AC交y軸于點(diǎn)D,則四邊形ABCD勺周長(zhǎng)最?。ㄗC明略）易求得直線(xiàn)上的解折式為421當(dāng)0時(shí)廠(chǎng)牛點(diǎn)評(píng)當(dāng)相鄰兩邊的和確定時(shí)，要使四邊形的周長(zhǎng)最小，只要使另外兩條相鄰邊的和最小，為此用到一個(gè)常見(jiàn)的基本圖形，如圖6,點(diǎn)M,N是兩定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn) M關(guān)于直線(xiàn)I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接MN交直線(xiàn)I于點(diǎn)P,則 PM+PN=PM+PN=M最小。圖6小結(jié) 四邊形周長(zhǎng)最小值問(wèn)題常以平面直角坐標(biāo)系為背景，所求的四邊形常與拋物線(xiàn)、三角形、圓等圖形相結(jié)合?？疾?的知識(shí)點(diǎn)主要是點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、平移、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短以及一次函數(shù)、二次函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，考查的思想方法主要是方程與函數(shù)的 思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸思想等。ANU1DA20110328點(diǎn)評(píng)當(dāng)一邊長(zhǎng)確定，另兩邊的長(zhǎng)不確定，但其和確定時(shí)，要