第三章傅里葉變換53550

1、第三章傅里葉變換本章要點本章要點: :1. 1. 利用傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的性質對周期信號的離散譜利用傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的性質對周期信號的離散譜進行分析進行分析2. 2. 利用傅里葉變換和傅里葉變換的性質對非周期信號的連續(xù)利用傅里葉變換和傅里葉變換的性質對非周期信號的連續(xù)譜進行分析譜進行分析3. 3. 利用卷積和卷積定理，進一步理解信號的時域和頻域特性利用卷積和卷積定理，進一步理解信號的時域和頻域特性間的內在關系間的內在關系4. 4. 靈活運用傅立葉變換的有關性質對信號進行正逆變換靈活運用傅立葉變換的有關性質對信號進行正逆變換5. 5. 掌握抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理掌握抽樣信號的傅

2、里葉變換和抽樣定理 3.1 3.1 引言引言l 信號的正交分解信號的正交分解l 完備正交集完備正交集信號的正交函數(shù)分解信號的正交函數(shù)分解二維空間二維空間: :矢量在直角坐標系中分解為兩矢量在直角坐標系中分解為兩個正交矢量的組合個正交矢量的組合, ,每一個正交矢量都是每一個正交矢量都是原矢量在正交坐標系上的投影原矢量在正交坐標系上的投影. .正交函數(shù)正交函數(shù): :在區(qū)間在區(qū)間(t(t1 1tttt2 2) )內用函數(shù)內用函數(shù)f2 2(t) (t) 近似表示近似表示f1 1(t).(t).212121)()()(0,)()(1.)()()(22211212212222121122212122121

3、21ttttttdttfdttftfcdcdcdttfctftttttcttttfctf應有最小的使內為最小在區(qū)間誤差數(shù)之間的方均使得實際函數(shù)與近似函選取0)()(:),(.,)()(, 02121212112ttdttftftttftfc內正交的條件在稱為正交的分量內不包含則若 正交條件正交條件 例題例題:page326 6-1 6-2:page326 6-1 6-2 正交函數(shù)集正交函數(shù)集.)()(0)()(,),(,)(),(),(212122121數(shù)集則此函數(shù)集稱為正交函即內滿足正交特性如在區(qū)間構成一函數(shù)集個函數(shù)ttiittjinkdttgjidttgtgtttgtgtgn)(1:)()

4、(1)()()(,)()()()()(:212121211221222212211ttrnrrttiittittiiinrrrnnkcdttfttdttgtfkdttgdttgtfcctgctgctgctgctfn項數(shù)的在最佳近似條件下給定滿足要求由最小方均誤差準則合近似個正交的函數(shù)的線性組任意函數(shù)由2121)()()(2)(1)()(121121221122ttnrrrnrrrttnrrrdttgctgctftfttdttgctftt212121)(1)()(1)(1221222ttnrrttiittiicdttfttdttgtfckdttg 歸一化正交函數(shù)集：歸一化正交函數(shù)集： 復變函數(shù)的

5、正交特性復變函數(shù)的正交特性.),()()()(0)()(),.,2 , 1)(21*2121函數(shù)集則此復變函數(shù)集為正交內在區(qū)間滿足復變函數(shù)集ttkdttgtgjidttgtgnrtgittiittjir完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 .0lim,)(1 )()(1)()(),()(),.(),(:21221221122121212121交函數(shù)集則此函數(shù)集稱為完備正有趨于無限大若令方均誤差為近似表示函數(shù)在如果用正交函數(shù)集定義一nttrnrrttrnrrrrrnnkcdttfttdttgctftttgctftttgtgtg.)(0)()()(0),(,)(),.,(),(:2121221交函數(shù)集則此

6、函數(shù)集成為完備正為任意正整數(shù)滿足條件即不存在有限能量函數(shù)之外如果在正交函數(shù)集定義二idttgtxdttxtxtgtgtgttittn10011001100)0()0()(0coscos)()0(0sinsin0sincos,2.),(,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 12112111111100111111tttttttttttnmtnmnmtdtmtnnmnmtdtmtntdtmtntttttntntttt在區(qū)間內滿足其中函數(shù)集內是完備正交三角函數(shù)集在區(qū)間)()(0)(,2.),(,.)2, 1, 0(1001111*11100nmnmtdteettttnettt

7、tjntjmtjn在區(qū)間內滿足其中內是完備正交函數(shù)集在區(qū)間復指數(shù)函數(shù)集3.2 3.2 周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù) 分析分析l 三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)l 指數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)l 函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系l 傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差 三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)的傅里葉級數(shù),.2 , 1sin)(2:cos)(2:)(1:2),sincos()(100100100111110111110ntdtntftbtdtntftadttftattnbtnaatftttntttntttnnn其中正弦分量幅度余弦分量幅度直流分量周期信號的另一種三角周期信號的另一種三角 函數(shù)正交集表示函數(shù)正

8、交集表示)sin()()cos()(1100110nnnnntnddtftncctf周期信號能夠進行傅里葉級數(shù)展開的一組充分條件：(1)在一周期內,信號是絕對可積的,即 等于有限值.(2)在一周期內,如果有間斷點存在,則間斷點的數(shù)目應是有限個.(3)在一周期內,極大值和極小值的數(shù)目應是有限個.100|)(|tttdttf 狄利克雷狄利克雷(dirichlet)條件條件 指數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)為所有的整數(shù)其中ndtetftfnfenftfttttjnnntjn10011)(1)()()(111請將三角函數(shù)表示的頻譜與指數(shù)函數(shù)表示的頻譜的對應關系找出!10011001100)0(

9、)0()(0coscos)()0(0sinsin0sincos,2.),(,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 112112111111100111111tttttttttttnmtnmnmtdtmtnnmnmtdtmtntdtmtntttttntntttt在區(qū)間內滿足其中函數(shù)集內是完備正交三角函數(shù)集在區(qū)間)()(0)(,2.),(,.)2, 1, 0(1001111*11100nmnmtdteettttnettttjntjmtjn在區(qū)間內滿足其中內是完備正交函數(shù)集在區(qū)間復指數(shù)函數(shù)集.|21)(21)(1)(2122012220212100恒表征了時頻域的能量守稱為帕塞

10、瓦爾方程周期信號的功率特性nnnnnnntttfccbaadttfttfp 帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理 函數(shù)的對稱性與傅里葉函數(shù)的對稱性與傅里葉 系數(shù)的關系系數(shù)的關系tnaatfbtdtntftatftfnnntn1102011cos)(0cos)(4:)()(:(1)1信號分解為系數(shù)為偶函數(shù))sin()()sin()(40:)()(:(2)11201101tnbtfdttntftbaatftfnntnn信號分解為系數(shù)為奇函數(shù)為所有的奇數(shù)信號分解為為奇數(shù)為偶數(shù)系數(shù)為半波對稱奇諧函數(shù)ntnbtnatfndttntftbdttntftanbaattftfnnntntnnn)sincos()()()c

11、os()(4)cos()(4)(0:)2()(: )(3)111201120110111類推:偶諧函數(shù)?為所有的偶數(shù)信號分解為為奇數(shù)為偶數(shù)系數(shù)為半波重疊偶諧函數(shù)ntnbtnaatfndttntftbdttntftanbaattftfnnntntnnn)sincos()()()cos()(4)cos()(4)(0:)2()(:)(4)1110201120110111 吉布斯吉布斯(gibbs)(gibbs)現(xiàn)象現(xiàn)象page99:用三角函數(shù)集取不同的有限項級數(shù)逼近原函數(shù)(對稱方波).原函數(shù)既是偶函數(shù)又是奇諧函數(shù),因此,傅里葉級數(shù)只存在奇次諧波的余弦項.分析結論:page100吉布斯現(xiàn)象:當選取的傅

12、里葉項數(shù)越多,合成波形中出現(xiàn)的峰起越靠近f(t)的不連續(xù)點。當項數(shù)n很大時,峰起值趨于一個常數(shù),約為總跳變值的9%,并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。無論n多大，這個超量不變。但是在不連續(xù)點附近波峰寬度趨近于零，所以波峰下面積也趨近于零，因而在能量的意義下部分和的波形收斂于原波形。.,. 3.)(. 21.21. 1:111系數(shù)之間關系形成周期信號單雙邊頻譜的附錄二之間的關系對稱性與級數(shù)所含分量級數(shù)系數(shù)中同理可得指數(shù)型傅里葉的來源和中三角型傅里葉級數(shù)系數(shù)回顧與思考tfttt3.3 3.3 典型周期信號的傅里典型周期信號的傅里葉級數(shù)葉級數(shù)l 周期矩形脈沖信號l 周期鋸齒脈沖信號l 周

13、期三角脈沖信號l 周期半波余弦信號l 周期全波余弦信號 周期矩形脈沖信號22 1t 1t)(tfe0t)2()2()2(0)2()(2,211tutuettetftt內一個周期 對應傅里葉級數(shù)對應傅里葉級數(shù))cos()2()(11111tnnsaetetfnntjnensatetf1)2()(11三角形式:指數(shù)形式:page106 不同脈寬下周期矩形信號的頻譜*零點,第一零點:*頻帶寬度b:與脈寬關系為反比關系:m22b2, 5,101te1, 5,101tepage105 不同t1下周期矩形信號的頻譜*譜線間隔:與周期關系為反比關系:112t1, 5,101te1,10,101te.|:|.

14、 3.,:. 2.:. 1:趨于零總是一般隨或者收斂性分量基波整數(shù)倍的其他頻率不可能包含不是間距正好等于基波頻率相鄰譜線各譜線間呈等距分布諧波性布譜線沿頻率軸呈離散分離散性周期信號頻譜特點ncfnn 周期鋸齒脈沖信號)(tft02e21t21t2e.1.)sin(1) 1(.)4sin(41)3sin(31)2sin(21)sin()(1111111規(guī)律收斂諧波幅度以頻譜只含有正弦分量ntnnettttetfnn 對應傅里葉級數(shù)對應傅里葉級數(shù) 周期三角脈沖信號)(tfte21t1t21t1t0 對應傅里葉級數(shù)對應傅里葉級數(shù).1.,)cos()2(sin142.)5cos(51)3cos(31)

15、cos(42)(212122121212規(guī)律收斂諧波幅度以基波及奇次諧波分量頻譜只含有直流ntnnneettteetfn 周期半波余弦信號)(tft04tte.1.,2)cos()2cos() 1(12.)4cos(154)2cos(34)cos(2)(211112111規(guī)律收斂諧波幅度以量基波和偶次諧波頻率分頻譜只含有直流其中nttnnneettteetfn 對應傅里葉級數(shù)對應傅里葉級數(shù) 周期全波余弦信號)(tft02tte| )cos(|)(0tetf.1.;22)2cos() 14(1) 1(42.)3cos(354)2cos(154)cos(342)(2011100121111規(guī)律收斂

16、諧波幅度以的偶次諧波分量或者說直流分量及的基波和各次諧波分量頻譜包含直流分量及其中nttnneeteteteetfnn 對應傅里葉級數(shù)對應傅里葉級數(shù)3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換1, 5,101te1,50,101tedeftfdtetffdtetfnftttdtetftnfenftftjtjtttjntttttjnntjn)(21)()()()(lim)(lim0,)(1)()()(ftfs221111122111111111111并取極限兩邊同乘以deftfdtetfftjtj)(21)(:)()(:反變換正變換傅里葉變換定義傅里葉變換定義頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)f(f() )的物理意義的物

17、理意義周期離散頻譜在頻域周期離散信號在時域周期連續(xù)頻譜在頻域非周期離散信號在時域非周期連續(xù)在頻域頻譜非周期連續(xù)信號在時域非周期離散頻譜在頻域周期連續(xù)信號在時域非周期信號是連續(xù)的周期信號頻譜是離散的的情況下也稱頻譜與周期信號頻譜不混淆在度簡稱頻譜函數(shù)或頻譜密稱為頻譜密度函數(shù)具有密度的概念是單位頻帶的復振幅可見,:,:,:,:,:,:,:,:.,. 2.,.,)(,lim2limlim)(. 100fffftffnfnnt.,)(,)(,2)(,. 4).(2)(,)(21)(. 3的相對大小即比較各頻率分量性描述非周期信號頻譜特用改表示頻譜不能用復振幅直接則為無窮小量限值為有若振幅為期信號各頻率

18、分量的復而非周為有限值復振幅周期信號各頻率分量的積分連續(xù)和的的指數(shù)分量振幅為無限多個頻率為為表示非周期信號能分解ffdffedfdeftfntjtj充分條件必然有界則滿足絕對可積一旦積要在無限區(qū)間內絕對可即只不過周期為條件傅里葉級數(shù)的仍應滿足類似于里葉變換非周期信號是否存在傅傅里葉變換的存在性.)(,)(| )(|)(| )(|.)().,(.,:ftfdttfdtetfftfdirichlettj3.5 3.5 典型非周期信號的傅典型非周期信號的傅里葉變換里葉變換l單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號l雙邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號l矩形脈沖信號矩形脈沖信號l鐘形脈沖信號鐘形脈沖信號l符號函數(shù)符號函數(shù)l升余弦脈沖信號升余弦脈沖信號jatueftfat1)()()( 單邊指