96空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算(一)

1、9.6空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算（一）教學(xué)目的：1. 掌握空間右手直角坐標(biāo)系的概念，會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體（正方體、長(zhǎng)方體）的頂點(diǎn) 坐標(biāo)；2. 掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；3. 會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直；4. 會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問題.空間右手直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算 空間向量的坐標(biāo)的確定及運(yùn)算.新授課.課時(shí)安排：1課時(shí).教學(xué)重點(diǎn)：教具：多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)難點(diǎn)： 授課類型： 內(nèi)容分析：本節(jié)有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：向量和點(diǎn)的直角坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算、夾角和距離公式.一小節(jié)，我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下，使向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化.掉基底，使空間一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)三維數(shù)組，這樣使向量運(yùn)算更加方便.上

2、一小節(jié)已學(xué)習(xí)向量運(yùn)算的基礎(chǔ)上，把向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化，對(duì) 學(xué)生已不會(huì)感到抽象和困難 .第2個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，我們給出空間解析幾何兩個(gè)最基本的公式： 夾角和距離公式.這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，作為向量坐標(biāo)計(jì)算的例題，還順便證明了直線與平面垂直 的“性質(zhì)定理”.過解一些立體幾何的應(yīng)用題，就可為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間解析幾何、 高維向量和矩陣打下基礎(chǔ).要求學(xué)生理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握兩點(diǎn)的距離公式握直線垂直于平面的性質(zhì)定理 .教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 面向量的坐標(biāo)表示分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)y，使得 a

3、= Xi + yj把（x,y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a =（x, y）其中X叫做a在X軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),特別地，i =(1,0) , j =(0,1) , 0=(0,0).2. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若 a Nxi, yJ , b =心22)，則 a +b =(Xi + x?, yi + y?) , a b =(為x?, % y?),兀a =(kx,勿).若 A(xi, yi), B(X2, y2)，則 AB =(X2 -Xi, y2 - yi )3. a / b( b 0 )的充要條件是 xiy2-X2yi=04平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量3=(捲，yj，

4、b =(x2, y2)，試用a和b的坐標(biāo)表示a b設(shè)i是X軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么a -xtyj , b = X2i + y2 j所以 a b =(X1 i + y1 j)(X2i + y2 j) = X1X2i 2 +X1y2i j + Xzyj j + %丫2 j2又 i J =1, j J =1, i ”j = j “i = 0 所以 a b = x1X2 + y1y2這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和5.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(1 )設(shè) a =(x, y)，則 | a |2 = X2 + y2 或 | a |= Jx2 + y2 .(2)如果表示向量

5、 a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(Xi, yj、(X2,y2)，那么| a 1=J(xi X2)2 +(yi y2)2 (平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 )6.向量垂直的判定：設(shè) (x1,y1)，b=(X2，y2)，則a丄bU Xi X2 + yi y2 = 07.兩向量夾角的余弦(0<£叭 + a2b2蘭兀) cos< a, b> =cos£= - - jj|a|Hb| JOPVbFb&空間向量的基本定理：若a,b,C是空間的一個(gè)基底,襯P是空間任意一向量，存在唯一444的實(shí)數(shù)組 X, y,z 使 P = xa + yb + ZC.二、講解新課：1

6、.間直角坐標(biāo)系：(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1,4 4 4用i, j,k表示；這個(gè)基底叫單位正交基底，z/pz/4 4 4(2)在空間選定一點(diǎn) 0和一個(gè)單位正交基底i, j,k，以點(diǎn)0為原點(diǎn)，分別以I, j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：X軸、y軸、Z軸，它們都叫坐標(biāo)軸.我們稱建立4 4 4了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 O-xyz，點(diǎn)0叫原點(diǎn)，向量i, j ,k都叫坐標(biāo)向量.通過每7兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面,zOx平面;(3)作空間直角坐標(biāo)系 O xyz時(shí)，一般使NxOy =135(或45 ),NyOz M ；(4)在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指

7、指向x軸的正方向，食指指向中指指向z軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系 角坐標(biāo)系.2.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：y軸的正方向，如果.定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量a，設(shè)1j,k為坐標(biāo)向量,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(ai,a2,a3)，使,I有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中的坐標(biāo),a = (ai, a2 ,a3).記作在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組TH 4(x, y,z),使OA =xi勺zk ,有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O -xyz中的坐標(biāo)，記作A(x, y,z

8、) , x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo).3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：4HH H(1)若 a=aaa3,b=(b,b2,b3)，則 a=at 中 6,療0?33+3 )xa -b =(a -b,，a2 -b2，a3 -b3),Aa =(Aai,Aa2,幾a3)(A R), a b =aibi azp +a3fc3,a/bu a, = kbi, a? = kb2, a3 =(k 匸 R),a 丄 bu aib +a2b2 +a3b =0 .(2)若 A(Xi,yi,Zi)，B(X2,y2,Z2)，貝y AB =(X2 -X, y2 -yi,Z2 -Zi).一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這

9、個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn) 的坐標(biāo).三、講解范例：.4 a4b44呻 扌 呻 T 斗 4例 1.知 a=(2, -3,5) , b=(,1,_4),求 a+b, ab , |a|, 8a,解: a +b =(2, 3,5) +(<,1,4) =(1,2,1) , a -b =(2, 3,5) -(,1,4) = (5, 4,9), 四、課堂練習(xí)：|：|=(22 +(3)2 +52 =7384 4a b=(2,-3,5) (-3,1T)=-29 .8a =8(2,-3,5) =(16,24,40)例2.求點(diǎn)A(2, -3, -1)關(guān)于xOy平面,zOx平面及原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn).解：

10、A(2, 3,1)在 xOy 平面上的射影 C(2, 20),在zOx平面上的射影為B(2,0, -1),點(diǎn)A(2, 3,1)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為 C'(2, 3,1),關(guān)于zOx平面及原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為B'(2,3,-1), A-2,3,1).例3 .在正方體 ABCD-AB1C1D1中，E,F分別是BB1, CD的中點(diǎn)，求證DjF丄平面ADE .證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè) 視 =1 , 訖 ,DD；=k ,444分別以i, j, k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz ,D工則 AD =(-1,0,0) , 0店=(0,舟,1), AD D1F

11、 =(1,0,0) (og,1) =0, DF 又=(0,1,-) , AE DF =(0,1,1) (0，丄，-1) = 0,2 2 2- DjF 丄 AE , ADnAE=A，所以，DF 丄平面 ADE .BEClE作平面垂直于z1.已知ABCD- A1B1C1D是棱長(zhǎng)為2的正方體，E、F分別是BB1和DC的中點(diǎn)，建立如圖所 示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo) 分析：要求點(diǎn)E的坐標(biāo)，過點(diǎn)E與x軸、y軸垂直的平面已存在，只要過軸交E點(diǎn)，此時(shí)|x|= | DA|,|y|= | DC |,|z|= |dE |，當(dāng)DA的方向與x軸正向相同時(shí)，x> 0,XV 0,同理確定y、z的符號(hào)，這

12、樣可求得點(diǎn)E的坐標(biāo).D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),八(2,0,2)反之解：C1(0,2,2), ,D1(0,0,2), E(2,2,1), F(0,1,0)-I4、彳呻2.已知 a = (2 , 3,5) , b = ( 3,1 , 4)，求 a + b ,ab ,81, a?b.解:a + b =( 2, 3,5 ) + (- 3,1 , 4) = ( 1,2,1 ),Bi(2,2,2)T a 8a = 8 (2, 3,5 ) = ( 16, 24,40 ),Ta?b =( 2, 3,5 ) ( 3,1 ， 4) = ( 5, 4,9 ),=(2,

13、3,5 )( 3,1 , 4) = 6+ ( 3) + ( 20) = 29.在正方體要 ABCD A1B1C1D中，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn),DF丄平面ADE3.求證：證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz，則AD±2,0,0), D1F =(0,1,-2),AD DjF =(2,0,0) (0,1,2) =0/. DF 丄 AD又 AE =(0,2,1),AE D1F =(0,2,1) (0,1,2) =22 =0 DF 丄 AE,又 ADA AE= A,； DF 丄平面 ADE 本例中坐標(biāo)系的選取具有一般性，在今后會(huì)常用到，這樣選取可以使正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)均為非負(fù)，且易確定. 原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,0), x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0), y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0), z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z). 要使一向量a= (x,y,z)與z軸垂直，只要z= 0即可.實(shí)上，要使向量a與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直，只要向量a的相應(yīng)坐標(biāo)為0.鞏固練習(xí)P39練習(xí) 1 6五、小結(jié)：1.空間右手直角坐標(biāo)系的概念，會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo)；2掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；3. 會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直；4. 會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問題 .5用向量坐標(biāo)法證明或計(jì)算幾何問題的基本步驟：建系設(shè)坐標(biāo) 7向量點(diǎn)的坐標(biāo)化