廣義積分習(xí)題課

1、第十一次習(xí)題課討論題解答 本次習(xí)題課主要討論廣義積分的計(jì)算及其收斂性判定。具體有三方面的內(nèi)容：一. 廣義積分計(jì)算二. 廣義積分的收斂性判定三. 三個(gè)重要的廣義積分兩點(diǎn)說明：（1）為了判斷廣義積分的收斂性，我們常常將被積函數(shù)作分解，使得廣義積分和的收斂性比較容易判斷。根據(jù)積分和的收斂性，我們可以確定積分的收斂性。具體有如下結(jié)論：（i） 如果積分和都收斂，則積分也收斂。（ii） 如果積分和一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，則積分發(fā)散。 （iii） 如果兩個(gè)積分都發(fā)散，則積分收斂性尚不能確定。此時(shí)只能說分解式不管用。例：廣義積分。（2）對(duì)于正常積分，積分存在意味著存在；反之不然。而對(duì)于廣義積分情形則剛好相反：廣義

2、積分存在（收斂）意味著存在（收斂），反之不然。一 計(jì)算下列廣義積分說明：以下廣義積分的收斂性不難證明，故略去。但同學(xué)們自己作為練習(xí)應(yīng)該考慮。題1. ，其中。解：對(duì)于，我們又等式，且，。受此啟發(fā)，我們作變換，于是，且。因此。解答完畢。注：值得注意的是，這個(gè)積分的值與上下限和無(wú)關(guān)。題2 解：注意時(shí)，由此可以判斷所求無(wú)窮積分收斂。為計(jì)算積分，可以利用有理函數(shù)積分法：，（較繁瑣）。另解：原式 = ，在其中無(wú)窮積分中引入積分變量代換： ，原式化為兩個(gè)普通積分的和，且都在區(qū)間上： 原式 = 。解答完畢。題3 ， 其中。 解：將積分分成兩個(gè)部分 和對(duì)積分作變換得 。于是。 解答完畢。（注：積分值與參數(shù)值無(wú)關(guān)

3、）題4 （有理函數(shù)積分或者變量代換）解法一： 。解法二：令（評(píng)：這變換有點(diǎn)怪異，很難想到。這樣的特別技巧并不是很多，我們最好都能記住），則，且 時(shí)，時(shí)，此外 ， 。解答完畢。二、判斷廣義積分的收斂性題1 解：該積分既有奇點(diǎn)，又是無(wú)窮區(qū)間上積分，是混合型的廣義積分。需要分別處理。在奇點(diǎn)附近 ，所以僅當(dāng)時(shí)收斂。以下考察無(wú)窮積分的收斂性。當(dāng)時(shí)，取充分小，使得，從而 收斂，而且，這說明收斂；當(dāng)時(shí)，由于 發(fā)散，所以發(fā)散。綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 積分收斂。解答完畢。題2，其中。解：當(dāng)被積函數(shù)沒有奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為奇點(diǎn)，這時(shí)（），可見當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積分收斂；為考察無(wú)窮積分 ，注意無(wú)論的符號(hào)如何，都有 （）。由此可見僅

4、當(dāng)時(shí)積分收斂。 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)， 積分收斂。解答完畢。題3. （第六章復(fù)習(xí)題題2（1），p.206）解：先考積分在奇點(diǎn)處的收斂性。我們將被積函數(shù)寫作。由此可見，積分在點(diǎn)處的收斂，當(dāng)且僅當(dāng)，即。我們?cè)賮砜紤]積分在無(wú)窮遠(yuǎn)處的收斂性。我們將被積函數(shù)寫作。顯然積分收斂，當(dāng)且僅當(dāng)而積分收斂，當(dāng)且僅當(dāng)。由此可知積分收斂，當(dāng)且僅當(dāng)。綜上所述，積分收斂，當(dāng)且僅當(dāng)。解答完畢。題4. 。（習(xí)題6.2題9（2），p.206）解：對(duì)積分作變量替換，我們得到 。由此可見，積分為條件收斂。解答完畢。注：對(duì)于無(wú)窮區(qū)間型的廣義積分而言，積分收斂，并不意味著被積函數(shù)有界，當(dāng)然更遑論被積函數(shù)有趨向于零的極限。題5. （第六

5、章復(fù)習(xí)題題3，p.206）解：注意被積函數(shù)沒有有限奇點(diǎn)，而在時(shí) 單調(diào)減趨于0。根據(jù)Dirichlet判別法可知積分收斂。我們進(jìn)一步積分的絕對(duì)收斂性。注意當(dāng)時(shí)，。從而存在，使得時(shí)。于是 。由此可知積分發(fā)散。綜上可知原廣義積分條件收斂。解答完畢。題6. 討論如下廣義積分的絕對(duì)收斂性和條件收斂性, 其中。(i)(ii) (iii) 解：（i）由于被積函數(shù)為非負(fù)的，因此它收斂即為絕對(duì)收斂。當(dāng) 時(shí)， 根據(jù)不等式 ，可知積分收斂。當(dāng) 時(shí)，根據(jù)不等式可知積分發(fā)散。（ii）我們將積分的被積函數(shù)作如下表示，因?yàn)橛疫叺膬蓚€(gè)函數(shù)的收斂性比較容易判斷。不難看出廣義積分對(duì)任意均收斂。 再根據(jù)結(jié)論（i），我們可以斷言，積

6、分收斂，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。再來考慮絕對(duì)收斂性。當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式，我們可以斷言發(fā)散。當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式 ， 我們可以斷言收斂。于是積分條件收斂，當(dāng)且僅當(dāng)；積分絕對(duì)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)。（iii）注意對(duì)于任意，這表明點(diǎn)并不是被積函數(shù)的奇點(diǎn)。 因此積分與積分的收斂性相同，即積分條件收斂，當(dāng)且僅當(dāng)；積分絕對(duì)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)。解答完畢。三三個(gè)重要的廣義積分（1）計(jì)算Euler積分。（2）計(jì)算Froullani廣義積分（3）證明概率積分（也稱Euler-Poisson積分）。（證明有點(diǎn)長(zhǎng)，已超出要求，可略去。但證明不超出我們所學(xué)，也不難懂。）（1）. (課本第六章總復(fù)習(xí)題9，p.207 ) 計(jì)算Euler積分。 提示：用

7、配對(duì)法求積分值?？紤]另一個(gè)積分。解：易見是Euler積分的瑕點(diǎn)。這里我們略去證明收斂性的證明（不難），只專注如何求出積分的值。我們嘗試用配對(duì)法來求積分值。考慮相關(guān)積分。不難證明這兩個(gè)積分相等，即。于是我們有。對(duì)于積分，作變量替換得 。顯然。由此得 。于是。解答完畢。注：可利用上述Euler積分計(jì)算以下積分的值i) ii) iii) iv) （2） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且極限存在，記作。證明Froullani廣義積分，其中，為兩個(gè)正數(shù)。提示：將積分分成兩部分之和，這兩個(gè)部分分別為從到和到的積分。對(duì)于積分，考慮從到的積分，將被積函數(shù)拆開，并作適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q。對(duì)于積分可作類似處理。 證明：我們將積分分為兩

8、個(gè)部分，。考慮。對(duì)于任意，我們有 。而，。因此?？紤]。對(duì)于任意，我們類似有。而，。故。因此原積分為。證畢。注1：我們可以直接對(duì)積分作分拆，然后分別做變量替換。然后令和，得到相同的結(jié)論。這樣處理更簡(jiǎn)潔。注2：利用上述Froullani積分，同學(xué)們可以計(jì)算如下積分，其中，為兩個(gè)正數(shù)。i）ii）（3） 證明概率積分（也稱Euler-Poisson積分）。注1：根據(jù)概率積分公式，我們立刻得到。因?yàn)椤Ｗ?：下個(gè)學(xué)期我們將學(xué)習(xí)多重積分。屆時(shí)我們將用更簡(jiǎn)單的方法證明概率積分公式。提示： 回憶函數(shù)的定義： 。令，則 。因此我們有理由期待。 （注：第二個(gè)等式的成立是需要證明的）。由于積分不方便處理，所以我們考慮

9、它的截?cái)喾e分， 這里積分上限取為， 理由是這樣的截?cái)喾e分有一個(gè)較整齊的計(jì)算結(jié)果。于是我們有理由期待。（這不是證明，而是希望）。按以下步驟完成計(jì)算。Step1. 記。證明Step2. 記，并回憶公式，證明 (i) ; (ii) ; (iii) (注：公式(iii)稱作華萊士公式即Wallis公式) Step3. 證明。Step4. 證明，。Step5. 證明 ，。Step6. 由Step4,5可知 ，。由此證明 .Step7. 證明 。解： 定義。Step 1. 作變量代換得。 （1）Step2. 記. 注意還可以寫作?；貞涥P(guān)于積分公式，。 （2）由此得，。即式(i)成立。另一方面容易看出 ，。 因此。即式(ii)成立。將公式（2）代入式(ii)，我們就得到, 即式(iii)成立。Step3. 根據(jù)Wallis公式，我們立刻得到。Step4. 證明 ，。證：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立。考慮情形。易見所要證的不等式成立當(dāng)且僅當(dāng) ，。根據(jù)熟知的不等式 ，可知上述不等式成立。Step5. 證明 ，。證明: 顯然要證的不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)，。考慮函