圓的概念公式及推導(dǎo)

1、圓的定義幾何說：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長 稱為半徑。軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周， 簡稱圓。集合說：至V定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。圓的相關(guān)量圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓 的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有 另一個交點的角叫做圓周角。內(nèi)心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。 和三角形三邊都相切的圓叫做這個

2、三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。 這個扇形的半徑成為圓錐的母線。圓和圓的相關(guān)量字母表示方法圓一。 半徑一r 弧一 直徑一d扇形弧長/圓錐母線一I周長一C面積一S圓和其他圖形的位置關(guān)系圓和點的位置關(guān)系：以點P與圓0的為例（設(shè)P是一點，貝U PO是點到圓心的距離）， P 在O 0 夕卜，PO >r； P 在O 0 上, PO = r； P 在O 0 內(nèi)，PO vr。直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交；圓與直線有唯一公共 點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓

3、0為例（設(shè) 0P丄AB于P，貝U P0是AB到圓心的距離）：AB與O 0相離，P0 >r； AB與O 0相切， P0 = r ； AB 與O 0 相交，P0 v r。兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯 一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心 之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為 R和r,且R>r,圓心距為P :外離P >R+r ;外 切 P=R+r;相交 R-r v P v R+r;內(nèi)切 P=R-r;內(nèi)含 P v R-r。【圓的平面幾何性質(zhì)和定理】有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理圓的確定：不在同一直

4、線上的三個點確定一個圓。圓的對稱性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖 形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。逆定理：平分弦（不是直 徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么 他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點， 到

5、三角形三個頂點距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距 離相等。有關(guān)切線的性質(zhì)和定理圓的切線垂直于過切點的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓 的切線。切線判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。切線的長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等。有關(guān)圓的計算公式1.圓的周長C=2n r= n d 2.圓的面積S=n r23.扇形弧長l=n n r/1804.扇形面積S=nn r2/360=rl/25.

6、圓錐側(cè)面積S=n rl弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做 弦切角。如右圖所示，直線PT切圓0于點C, BC AC為圓0的弦，則有/ PCA=Z PBC（/ PCA 為弦切角）。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半（弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為 0,連接0C 0B,連接BA并延長交直線 T于點P。vZ TCB=90-Z 0CBvZ B0C=180-2Z 0CB此圖證明的是弦切角Z TCB , Z B0C=2/ TCA （定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半）vZ B0C=2/ CAB（圓心

7、角等于圓周角的兩倍）Z TCA=/ CAB （定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：AC是。0的弦，AB是。0的切線，A為切點，弧是弦切角Z BAC所夾的 弧.求證：（弦切角定理）證明：分三種情況：（1）圓心0在Z BAC的一邊 AC上v AC為直徑，AB切。0于A，弧 CmA弧 CAv為半圓，/ CAB=90= 玄CA所對的圓周角B點應(yīng)在A點左側(cè)（2）圓心0在/ BAC的內(nèi)部. 過A作直徑AD交。0于D,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點 E那么，連接EC ED EA 貝U有：/ CEDW CAD / DEAN DAB / CEA=/ CAB（弦切角定理）（3）圓心0在/ BAC的外

8、部， 過A作直徑AD交。O于D那么 / CDAy CAD=/ CAB+Z CAD=90 / CDA/ CAB（弦切角定理）弦切角推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等舉例：例1:如圖，在中，/C=90,以AB為弦的。O與AC相切于點 A,/ CBA=60AB=a 求 BC長.解：連結(jié)OA OB.在中,/ C=90 / BAC=30 BC=1/2a（ RT中30°角所對邊等于斜邊的一半）例1:如圖，在中，/ C=90,以AB為弦的O O與AC相切于點 A，/ CBA=60 , AB=a求 BC長.解：連結(jié)OA OB.在中,/ C=90 / BAC=30 BC=1/2a（ R

9、TA中30°角所對邊等于斜邊的一半）例2:如圖，AD是 ABC中/ BAC的平分線，經(jīng)過點 A的。O與BC切于點D,與AB, AC分別相交于E, F.求證：EF/ BC.證明：連DF.AD是/ BAC的平分線/ BAD=/ DAC/ EFD=/ BAD/ EFD=/ DACO O 切 BC于 D / FDC2 DAC/ EFD=Z FDCEF/ BC 例3:如圖， ABC內(nèi)接于O 0, AB是O O直徑，CD丄AB于D, MN切O O于C,求證：AC平分/ MCD BC平分/ NCD.證明： AB是O 0直徑/ ACB=90CD丄 AB/ ACD=/ B, MN切O 0于C/ MCA

10、M B,/ MCAM ACD即AC平分/ MCD同理：BC平分/ NCD.切線長定理從圓外一點引圓的兩條 切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切 線的夾角。如圖中，切線長 AC=AB / ABO=/ ACO=90BO=CO半 徑AO=AO公共邊 Rt ABO Rt ACO( H.L) AB=AC/ AOBK AOC/ OABK OAC切線長定理推論：圓的外接四邊形的兩組對邊的和相等切線長的概念. 如圖，P是O O外一點，PA PB是O O的兩條切線，我們把線段 PA PB叫做點P到O O的切線長. 引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長是兩個不同的概念， 切線是直線，不能度量；切線長是線段

11、的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和 切點，可以度量切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點 的連線平分兩條切線的夾角.推廣：連接BC, BC丄AO相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。(經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線,各弦被這點所分成的兩段的積相等)相交弦說明幾何語言：若弦AB CD交于點P則PA- PB=PC PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P,貝U PCA2=PA PB （相交弦定理推論）編輯本段如何證明證明：連結(jié) AC, BD,由圓周角定理

12、的推論，得/ A=Z D,Z C=Z B。（圓周角 推 論 2:同（等）弧所對圓周角相等 .） PA3A PDB 二 PA： PD= PC： PB, PA- PB= PC- PD注：其逆定理可作為證明圓的 內(nèi)接三角形 的方法P點若選在圓內(nèi)任意一點更具 一般性。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的 比例中項。是圓幕定理 的一種。幾何語言： PT切。O于點T，PBA是。O的割線 PT的平方=PAPB （切割線定理）推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相 等幾何語言： PBA PDC是O O 的割線 PD- PC=PA

13、 PB （切割線定理推論）（割線定理）由上可知:PT的平方=PA- PB=PC PD證明切割線定理證明：設(shè)ABP是O O的一條割線，PT是O O的一條切線，切點為 T,貝U PT²=PA PB 證明：連接AT, BT/ PTB=Z PAT（弦切角定理）/ P=Z P（公共角） PBT PTA（兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似）貝U PB: PT=PT： AP即：PT²=PB- PA相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）相交弦說明幾何語言：若弦AB CD交于點P則PA- PB=PC PD

14、（相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P,貝U PCA2=PA PB （相交弦定理推論）如何證明證明：連結(jié) AC, BD,由圓周角定理 的推論，得/ A=Z D,Z C=Z B。（圓周角 推 論 2:同（等）弧所對圓周角相等 .） PA3A PDB 二 PA： PD= PC： PB, PA- PB= PC- PD注：其逆定理可作為證明圓的 內(nèi)接三角形 的方法P點若選在圓內(nèi)任意一點更具 一般性。從圓外一點P引兩條割線證明：如圖直線 ABP和 CDP是自點P引的。O的兩條割線，則 PA- PB=PC PD證明

15、：連接AD BCvZ A和/ C都對弧BD由圓周角定理，得Z A=Z C又 vZ APD=/ CPB ADPA CBP AP:CP=DP:BP,也就是 AP- BP=CP DP101圓是定點的距離等于定長的點的集合102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合104同圓或等圓的半徑相等105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距

16、離相等的一條直線109定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧111推論1平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦 相等，所對的弦的弦心距相等115推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等116定理

17、 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等118推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角121直線L和O O相交d v r 直線L和O O相切d=r 直線L和O O相離d > r122切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心126切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積 相等131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項132切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項133推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點