導(dǎo)學(xué)單12-21(知識篇)

1、江蘇省海門實驗學(xué)校2013級高一年級雙休日導(dǎo)學(xué)單（三角恒等變換一一知識篇）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式2、能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正 切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系 3、能運用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換 .【知識網(wǎng)絡(luò)】13【要點梳理】要點一：兩角和、差的正、余弦、正切公式sin（ - 1 ）= ；cos（、£ 二）二 ；tan（二丨）= ；要點詮釋：1 公式的適用條件（定義域）：公式、對任意實數(shù) a , B都成立，這表明、是 R上的恒等式；公式中:J R,且1、1 - - k 二（k Z）22 正

2、向用公式、，能把和差角以二卜）的弦函數(shù)表示成單角 a , 3的弦函數(shù)；反向用，能把右邊結(jié)構(gòu)復(fù)雜的展開式化簡為和差角C【士戸）的弦函數(shù)公式正向用是用單角的正切值表示和差角 （二|；）的正切值化簡.要點二：二倍角公式1.在兩角和的三角函數(shù)公式S：. 一：，. 一：中，當(dāng)-時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式sin 2:S2 ： , C2 : , T2 ：:（S2：.）；tan2： -(T2-.).要點詮釋：ik i1在公式S2 -,C2-中，角a沒有限制，但公式t2- a中，只有當(dāng)禾口(k Z)422時才成立；2. 余弦的二倍角公式有三種：cos2> =cos2二 一sin2-： = 2cos2

3、 -1= 1 2sin2、；解題對應(yīng)根據(jù)不同函數(shù)名的需要，函數(shù)不同的形式，公式的雙向應(yīng)用分別起縮角升幕和擴角降幕的作用.Ot CL3. 二倍角公式不僅限于2 a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，'是一的二倍，243是的二倍等等，要熟悉這多種形式的兩個角相對二倍關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是2靈活運用這些公式的關(guān)鍵.要點三：二倍角公式的推論升幕公式：1 cos2： =2cos 二,1-cos2： =2sin :1降幕公式：sincos sin 2> ；221 -cos 2：si n ：221 cos2-：scos.2要點四：三角恒等變換的基本題型三角式的化簡、求值、證

4、明是三角恒等變換的基本題型：1 .三角函數(shù)式的化簡(1) 常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等.(2)化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).2三角函數(shù)的求值類型有三類(1) 給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換 消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；(2) 給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于"變角”，如.=(二'''J - : ,2(二

5、1'.-')( )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；(3) 給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及 函數(shù)的單調(diào)性求得角.3.三角等式的證明(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同 一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消 參法或分析法進(jìn)行證明.【典型例題】類型一：正用公式2-1,cos，求 COSC-)的值.34【思路點撥】因為不知道角：所在的象限，例1.已知:sin :-【解析】

6、由已知可求得 cos :-31分別討論求cos（：-）的值.215cos.4所以要對5 , sin ：二 1 -3'當(dāng)：.在第一象限而1在第二象限時,cos（：； I；） =cos： cos.亠sin ： sin :.512 ,15二（一一）34312當(dāng)一:i在第一象限而在第三象限時，肚 亦12屆cos(：-)()()3434當(dāng)在第二象限而1在第二象限時，1215)-4342 15 、.512COS(：£ .，)=(_ 2 15512當(dāng)在第二象限而1在第三象限時，R 亦 12J15cos(：)=()(- ) ()3434【總結(jié)升華】分類的原則是：(1)分類中的每一部分是相互獨

7、立的;215 - .5122 )一次分類按一個標(biāo)準(zhǔn)；(3) 分類討論要逐級進(jìn)行掌握分類的方法，領(lǐng)會其實質(zhì)，對于加深基礎(chǔ)知識的理解，提高分析問題、解決 問題的能力是十分重要的.舉一反三：、，a 1応【變式1】已知tan，求sin( )的值.2 2 6【解析】sin（:+） =sin 口 cos + cos。sin6 6 61 2 ： 1 2 ：'=、-3s in cos cossin 2 2 2 2 2 2 : 1 2 ： 1 2 -.3s in cos cos sin =22_22_222 a 2 acos sin2 2 3 tan-1_2 21 + 2 ： tan 2 23 4.31

8、 tan2a10 .2Jt3例2.已知-< :-<一兀0 ：COS（一 - -）44 ，44=3 , sin（?二 ）-，求 sin（-：；'）的5413值.【思路點撥】注意到更好地使用已知條件欲求【解析】T3 3()-()U - -)，應(yīng)把(),()看成整體，可以4 4244sin(圧亠)，只需求岀-cos(：) 2.4一叮 一 -: 0 ，sin(_ _ :)二2445:3 ； ：:. ， cos(?'亠.：:)= 124471冬4 sin(二-cos，(-八“)R n二')一(；)43 兀3-cos() cos(-) sin(二4 4412 3 5 z

9、 456( )=13 5 13565【總結(jié)升華】13：)sin()3 兀兀（1）解題中應(yīng)用了 （）-（）（二4 42-）式子的變換，體現(xiàn)了靈活解決問題的能力,應(yīng)著重體會，常見的變換技巧還有-（二,2 ：=（用、）-（：；'），2 ：=（:;亠）-（:-）,2a=(a +B)+g 等.（2）已知某一個（或兩個）角的三角函數(shù)值，求另一個相關(guān)角的三角函數(shù)值，基本的解題策略是從“角的關(guān)系式”入手切入或突破角的關(guān)系主要有互余（或互補）關(guān)系，和差（為特殊角）關(guān)系，倍半關(guān)系等對于比較復(fù)雜的問題，則需要兩種關(guān)系的混合運用舉一反三:【變式1】已知cos( )=-，且，求cos (2二+ ')的值

10、.5212JI3TJI2() (和差與倍半的綜合關(guān)系)121243T 且一，sin()2 12二二 2412'252 、丁cos2() = 2cos () _1 二121225【思路點撥】角的關(guān)系式:【解析】T cos（ ）12江1271二 sin 2() =2sin()cos( )-12 12 Jinn1212 cos (2d +)cos2( )一 = cos2( )-sin2()1212421212二工蘭）225253K250【變式2】已知sin(), cosj-232 )=-1口9，且二宀的值.【解析】角的關(guān)系式:0( + P2=(:')-(-)（和差與倍半的綜合關(guān)系）2

11、2:,02jrakPn,0 :42224anTtjip. <-p,< a -< n42242又 si n(a)2二,cos (P用一2322冋訂）sin4一5Ja + PPa coscos(222P a RP a=cos(： -/cos(孑- -) sin(： _-)sin(? _)1)邁心Z亙93932727 - 5、2 蟲 239于是有 cos(：-) = 2cos1 = 2() -1.227729類型二：逆用公式例3.求值：(1) 原式二 tan45 0tan15 0 二 ta n(45° 15°) =ta n60° = 一3 ；1 - t

12、an45 tan15tan 原式=sin23ocos8o sin(90o-23o)cos(90o 8o)(sin4 7o30 - cos4 7o30) -(sin23o cos8o - cos23o sin8o)(sin2 7o30 cos2 7o30 )(sin2 7o30 - cos2 7o30 )0 ；( 2) (sin23°cos8o sin67o cos98°)(sin-sin(23o -8o)(cos27o30 -sin2 7o30) 7o30 - cos47°30) 1 ta n 75【思路點撥】題目中涉及到的角并非特殊角，而從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)應(yīng)逆用和

13、角公式等先化簡再計算.(1)利用 tan45 =1 將 1 tan15 視為 tan 45 tan 15，將 1 - tan15 視為 1 - tan45 tan15 , 則式子恰為兩角和的正切【解析】二一sin 15 cos15 =sin30 =12【總結(jié)升華】(1)把式中某函數(shù)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換之后, 所謂“逆用公式”.再逆用兩角和(差)正(余)弦公式，二倍角公式等，即(2)輔助角公式:asin-"'bcos：=a2b2 sin( ?丨)，其中角在公式變形過程中自然確定舉一反三:【變式1】化簡:(1) 2cos15 2,3sin15 ；(2) 2cosx-2 3sin x ；(

14、3)2cosx ,2sin x.【解析】(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=4(*cos15#sin15)=4sin(3015 )=2、2 ；1 、3二二二4(-cosx sin x) =4(sin cosx-cos sin x) = 4sin(x);2 2666J2(2兀JTH2( cosx sin x) = 2(sin cosx cos sin x) = 2sin(x)22444【變式 2 】已知 si n(： - - )cos ： - cos(： - - )s in 二3，那么COQ的值為【解析】sinC - - )cos :_cos(： - - )sin:-sin(匚-_) -

15、： = sin( _ _ ) _ _ sincos2 - -1 -2sin27 .25例4.求值：卜卜兀 23(1) cos36 cos72 ； (2) coscoscos二7 771)【思路點撥】問題的特征是角存在倍角關(guān)系，且都是余弦的乘積方法是分子分母(分母視為 同乘以最小角的正弦.(1)原式=0 0 0sin 36 cos36 cos72sin 360【解析】1 si n72°cos7201 si n144°X = X2 sin 3604 sin 360、兀 24兀 24(2) 原式=coscoscos() = - coscoscos二77777724sin cosc

16、oscos-二7777nsin7.224sin cos cos : 777ji2si n7.8 sin 二 7it8si n71_8【總結(jié)升華】此種類型題比較特殊，特殊在：余弦相乘；后一個角是前一個角的2倍；最大角的2倍與最小角的和與差是 二三個條件缺一不可另外需要注意2的個數(shù)應(yīng)看到掌握了這些方法后可解決一類問題，若通過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個方法.舉一反三：【變式】求值：cos 20 cos40 cos80 .2sin 20 cos20 cos40 cos80 原式=【解析】2sin 20°2sin40° cos40° cos80&

17、#176;2sin 80° cos80°8sin 2002 2sin200_sin 160010 8 si n208類型三：變用公式例5.在AABC中，求值:【解析】 A B，tan A tan B tan 旦 tan C tan C tan 2 2 2 2 2 2A B 二 C 丄 A B，tan2 2 2 2n=tan(2C) = cot2原式 =tan tan 旦 tan C (tan A tan B)22 22 2(1®A tan 為A B、A B C A BA=tan tan tan tan2222ABCC=ta n tan tan cot (1-ta

18、ntan )22222 2,A B +A、 B=tan tan 1-ta ntan2 2 2 21例6.化簡：2cos2 :- -1(1) sin50 (13tan10 ) ； (2)H2兀2tan( )sin ()【思路點撥】(1)題中首先“化切為弦”(2)題初看有“化切為弦”同時用好“ 50 ”和“ 40 ”的互余關(guān)系，注意逆用和角公式化簡；“降幕”等諸多想法，但首先應(yīng)注意到()() 這個關(guān)44244系.【答案】(1)【解析】(1)原式=sin500(13sin10 )cos10cos10° 亠、3sin 10 0二 sin50 0= 2sin50 00cos10sin 30&#

19、176;cos100 cos30°si n100=2sin50 0si n800 cos100cos1000 0 0 sin 40 _ 2cos40 sin 40 cos100cos1000 二1cos10cos2：cos100(2) 原式=_2tan()sin 2()424cos2:n2si n(-：)4Ttcos( )4cos 2：兀2 二cos ()4ji2sin( )cos( )44cos2：cos2-nsin( -2：)2cos2:1【總結(jié)升華】(1) 三角變換所涉及的公式實際上正是研究了各種組合的角(如和差角，倍半角等)的三角函數(shù) 與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系因而具體運用時，

20、注意對問題所涉及的角度及角度關(guān)系進(jìn)行觀察.(2) 三角變換中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角變換中經(jīng)常用到降幕公式:2 一 1 cos2：. 2 -1 -cos2:cos, sin2 2舉一反三:【變式1】化簡:(1) tan15 cot15 ； (2)13；sin 10 sin 80"【答案】(1) 4 ( 2) 4 (3)3【解析】(3)1tan 100cos5(1)原式=s竺竺cos15* sin 15*2 2sin 15 cos 15cos15 sin15,3 cos10； -Jsin10；1(2) 原式=sin 10 °cos10"1s

21、in 100(3) 原式=000cos50cos10sin40cos 402 cos 600cos20亠=4 ;sin 304sin(3 -10),=4 ；-sin 202cos40 cos800sin 803【變式2】若cOS'f5sin 10"cos10*1 sin 100si n80°si n80°2cos30'cos10° _ 頁【答案】-2【解析】由cos二Cttan =2n且-（o,彳.asin2acos2例 7已知 sin（二sin80CLta n=2 -n（%），得 sin«2 >2si n2a a2sin

22、 cos2sin：sin(：-15sin :【思路點撥】 先分析所求式tan：cos*tan ： sin :cos :5求tanC；）-tan 一怡廠的值.tan2 E” tan(卅亠 I1)sinh cos",分子、分母均為已知條件中和差角的cos sin展開式的項.13【答案】137【解析】t sin(、； 7 ) = sin ： cos 亠cos： sin :sin(： - ) = si n ： cos - - cos ： sin :13解得 sin ： cos, cos ： sin :30_ sin ： cos ：13cos ： sintan :舉一反三:53015【變式1】

23、若tan、tan 1是方程x2 _3x _ 3 = 0的兩根，求 耳£1的值.cos(a - P)3【答案】-32tanx 亠 tan ： =3，因而應(yīng)將所求式轉(zhuǎn)化成已知的結(jié)構(gòu),tan ： tan 二 3.sin (a +B)si nacosE +cosasin Pcos(：；)【解析】由已知tan 二'tan :cos-：cos ： sin -：si n ：1 tan- ： ta n ：1(-3)類型四：三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用2 CO x 例&函數(shù)f(x)=6cos23cosx-3(0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示2高點，B、C為圖象與x軸的交點，且:ABC為正三角形(I)求，的值及函數(shù)f (x)的值域；8 f310 2(n)若 f (x0)',且x (求 f(x0 1)的值.53 3,A為圖象的最【答案】(I)410 23 3"總 3( n)7562 co x 【解析】(I)由已知可得：f(x) =6cos2-2 TT=3cos 3 x+、3sin ，x = 2 . 3sin(，x )3、3cos x-3(心 0)又由于正三角形 ABC的高為2 3 ,則BC=42 :所以，函數(shù)f (x)的周期T =4 2=8,即匚=8,©得所以,函數(shù)f(x)的值域為-2,3,2. 38U3