正弦定理和余弦定理(教師版)(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正弦定理和余弦定理1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，解決不同的三角形問題2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.4 在ABC中，已知a、b和A時，解

2、的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解難點正本疑點清源1在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在銳角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換1 在ABC中，若A60

3、76;，a，則_.2 (2012·福建)已知ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_3 (2012·重慶)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos A，cos B，b3，則c_.4 (2011·課標全國)在ABC中，B60°，AC，則AB2BC的最大值為_5 已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為()A2 B8 C. D.題型一利用正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和邊c. 已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a1，b，

4、AC2B，則角A的大小為_題型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1)求角B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積 已知A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(2012·課標全國)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的

5、面積為，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當(dāng)cos A0時，0<A<，A，ABC為直角三角形；當(dāng)sin Asin B0時，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即

6、ABC為等腰三角形ABC為等腰三角形或直角三角形2.(2011·浙江)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)當(dāng)p，b1時，求a，c的值；(2)若角B為銳角，求p的取值范圍解(1)由題設(shè)并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因為0<cos B<1，所以p2，由題設(shè)知p>0，所以<p<.3.(2012·遼寧)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.角A，B，

7、C成等差數(shù)列(1)求cos B的值；(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sin Asin C的值題型四三角形形狀的判定典例：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，試判斷ABC的形狀 A級課時對點練(時間：40分鐘滿分：60分)一、選擇題(本題共5小題，每小題5分，共25分)1在ABC中，A60°，B75°，a10，則c () A5 B10 C. D5 解析：由正弦定理得： ， c. 答案：C2(2010·茂名調(diào)研)已知a，b，c是ABC三邊之長，若滿足等式(abc)(abc)ab，則角C的大小為()A60°

8、 B90° C120° D150°解析：由(abc)(abc)ab得(ab)2c2ab.c2a2b2aba2b22abcos C.cos C，C120°.答案：C3在ABC中，已知sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形解析：利用正弦定理、余弦定理把已知轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系，可得b2c2a2，因此A90°.答案：A4ABC中，AB，AC1，B30°，則ABC的面積等于()A. B. C.或 D.或解析：，sin C.0°C180°，C60°或12

9、0°.(1)當(dāng)C60°時，A90°，BC2，此時，SABC；(2)當(dāng)C120°時，A30°，SABC××1×sin 30°.答案：D5(2010·上海卷)若ABC的三個內(nèi)角滿足sin Asin Bsin C51113，則ABC()A一定是銳角三角形B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形解析：sin Asin Bsin Cabcabc51113設(shè)a5k，b11k，c13k，則cos C0，C為鈍角答案：C二、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)6在ABC

10、中，2bac，B30°，ABC的面積為，那么b等于_解析：由2bac，兩邊平方a2c24b22ac，又SABCacsin Bac，ac6，a2c24b212，b2a2c22accos B4b2126，b242.b1.答案：17(2010·廣東卷)已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a1，b，AC2B，則sin A_.解析：在ABC中，ABC180°，又AC2B，3B180°即B60°.由正弦定理，所以sin A.答案：8(2010·山東卷)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b2，sin Bc

11、os B，則角A的大小為_解析：sin Bcos Bsin，sin1，解得B.由正弦定理得sin A，即A.答案：三、解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)9(2010·重慶卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值解：(1)由余弦定理得cos A，又0A，故sin A.(2)原式.10已知平面四邊形ABCD中，BCD為正三角形，ABAD1，BAD，記四邊形的面積為S.(1)將S表示為的函數(shù)，(2)求S的最大值及此時的大小解：(1)在ABD中，由余弦定理得BD222cos ，又SSABDSBCDsin

12、 (22cos )sin .所以Ssin，(0，)(2)(0，)，.所以時，即時，S取得最大值，最大值為1.B級素能提升練(時間：30分鐘滿分：40分)一、選擇題(本題共2小題，每小題5分，共10分)1(2010·長春調(diào)研)銳角ABC中，若A2B，則的取值范圍是()A(1,2) B(1，)C(，2) D(，)解析：ABC為銳角三角形，且A2B，B.A2B，sin Asin 2B2sin Bcos B，2cos B(，)答案：D2在ABC中，如果lg alg clg sin Blg ，并且B為銳角，則ABC的形狀是()A等邊三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：由已知

13、得sin B，得B，由余弦定理知：b2a2c22accos B，b2a2(a)22·a·a·cos a2，ab，又ca，a2b2c2.ABC為等腰直角三角形答案：D二、填空題(本題共2小題，每小題5分，共10分)3在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S(a2b2c2)，則角C的度數(shù)是_解析：由S(a2b2c2)得absin C·2abcos C.tan C1.又0C，C45°.答案：45°4已知ABC三邊滿足a2b2c2ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_解析：a2b2c2ab，cos C，故C150°

14、為三角形的最大內(nèi)角答案：150°三、解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)5在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b.解：由余弦定理得：a2c2b22bc cos A又a2c22b，b0.所以b2c cos A2，又sin Acos C3cos Asin C，sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C，sin(AC)4cos Asin C，即sin B4cos Asin C.由正弦定理得sin Bsin C，故b4c cos A，由，解得b4.6在ABC中，角A、B、C所對邊長

15、分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2c2bca2和，求角A和tan B的值解：由b2c2bca2，得，即cos A，又0A，A.又，CABB，sinsin B，整理得cos B sin Bsin Bsin B. cos Bsin B，則tan B.答案要點梳理1.(1)sin Asin Bsin C (2)2Rsin A2Rsin B2Rsin C(3)2b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C基礎(chǔ)自測122.13.4.5.C題型分類·深度剖析例1解由正弦定理得，sin A.a>b，A60°或A120°.當(dāng)A60

16、6;時，C180°45°60°75°，c；當(dāng)A120°時，C180°45°120°15°，c.變式訓(xùn)練1例2解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：·，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.變式訓(xùn)練2解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又·3，bccos A3，bc5.SABCbcsi

17、n A×5×2.(2)由(1)知，bc5，又bc6，根據(jù)余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A361010×20，a2.例3解(1)由題設(shè)并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因為0<cos B<1，所以p2，由題設(shè)知p>0，所以<p<.變式訓(xùn)練3解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由s

18、in Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當(dāng)cos A0時，0<A<，A，ABC為直角三角形；當(dāng)sin Asin B0時，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形ABC為等腰三角形或直角三角形課時規(guī)范訓(xùn)練A組1D2.C3.B4.5.26.4或57解(1)b2a·sin B，由正弦定理知sin B2sin A·sin B.B是三角形的內(nèi)角，sin B>0，從而有sin A，A60°或120°，A是銳角，A60°.(2)10bcsin 60°，bc40，又72b2c22bccos