《等比數(shù)列的綜合應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案2

1、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 2知能目標(biāo)解讀1. 進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式.2. 掌握數(shù)列求和的常用方法一一錯(cuò)位相減法.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和的理解及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用難點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為 q,求數(shù)列ab的前n項(xiàng)和，可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法方法如下：設(shè)S=aibi+a2b2+&b3+abn,當(dāng)q=i時(shí)，bn是常數(shù)列，S=bi(ai+a2+as+an)= n(切 a )；2當(dāng)qM 1 時(shí)，貝V qSn=qaibi +qa?b2+qa3b3+ +qanbn=aib2+a2b3+an-ibn

2、+anbn+i，所以 S-qS=(1- q)S=aibi+b(a2-ai)+b3(a3-a2)+ +bn (an-an-i)- anbn+i=aibi+d n、biq(i-q )i-q-an bn+1,所以 S=ab bdq(i-q ) a b .ab +a.昭ihni-q知能自主梳理1. 在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S=中，如果令A(yù)= a ，那么$=q t2. 若S表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S=Aqn-A(AM0, q m0且qM± i)，則數(shù)列an是3. 在等比數(shù)列an中，S為其前n項(xiàng)和.(i)當(dāng)q=-i且k為偶數(shù)時(shí)，S, Sk-S, Sk-Szk ( k Nk)； 當(dāng)qz-i或k為

3、奇數(shù)時(shí)，數(shù)列 S, Sk-S, S3k-S2k ( k Nk)答案i. a(i qn)Aqn-Aai(i -q)i-q2. 等比數(shù)列3. 不是等比數(shù)列是等比數(shù)列思路方法技巧命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1 等比數(shù)列an，已知ai=5, a9aio=ioo,求ai8；(2)在等比數(shù)列bn中，b4=3，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積； 在等比數(shù)列an中，a2=-2 , a5=54,求決.分析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積等于首末兩項(xiàng)的積，與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方.解析(1) / aiai8=a9aio,-眄辭。=i00 =20.(2) bib2b3b4b5b6b7=( bib7

4、)( b2b6)( b3bs) b4.2/ b 4=bib7=b2b6=b3b5,前七項(xiàng)之積為(3 2) 3 x 3=37=2i87.(3) 解法一:a8=a5q =a5 =54 x 54 =-i458.a22解法二：a5是a2與a8的等比中項(xiàng)， 542=a8X (-2).a8=-i458.說明本題的求解，主要應(yīng)用了等比數(shù)列的性質(zhì)，若m n, k, l N+且m+n=+l，則am-an=ak ai.由此可見，在等比數(shù)列問題中，合理應(yīng)用性質(zhì)，可使解法簡(jiǎn)捷變式應(yīng)用1 已知 an是等比數(shù)列，且 aiai0=243, a4+a?=84，求aii.解析t a4 a7=ai ai0, a4a7=243,a

5、4=81- a4=3，或'a=3a7=81 q= 1 或 q=3.3 aii =3q =3x ()=或aii=81 x 3 =6561.327命題方向與前n項(xiàng)和有關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì)問題例2各項(xiàng)都是正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an，前n項(xiàng)的和記為S，若Si0=10, SF70，則S。等于( )A.150B.-200C.150 或-200D.400 或-50答案A分析本題思路較為廣泛，可以運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程，確定基本量 ai, q后求解，也可以應(yīng)用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.解析解法一：設(shè)首項(xiàng)為ai，公比為q,由題意知qz土 1.io =106(1 -q )廠1-q由Q,“30 =70I

6、 a1(1-q )1 -q由以上兩式相除得q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入有=-10 ,1 -q:S0=a(1q40)T X(-15)=150.1 -q解法二：易知qz± 1,由s。，S20-S 0, Sr S20, S0-S0成公比為q1 0的等比數(shù)列，則S30=S 0+( S20- S 0)+( S30- $20)= S 0+q S 0+q S0,即 q20+q10-6=0，解得 q10=2或 q10=-3(舍去),S40 =S0+( S20-S°)+( S30- S20)+( S0-S3°)=10(1+2+2 等比數(shù)列an的

7、前n項(xiàng)和為S,若S5=10, S0=2O,則S5等于+2)=150.解法三：運(yùn)用性質(zhì) S+n=S+qmS求解， S>0=S20+q20S0=S0+q10S0+q20S0從而有 q20+q10-6=0，解得 q10=2或q10=-3(舍去).30亠S40=S?0+q Si0=70+8X 10=150.解法四：易知 qz 土 1 ,v=, . q +q -6=0 ,60S10"3 "10"1-q1 -q解得q10=2或q10=-3(舍去).，所以 $0=150.又=$0S40-30401 -q 1 -q說明 在與等比數(shù)列的和有關(guān)的問題中，合理應(yīng)用和的性質(zhì)， 可以

8、簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題的解 法二運(yùn)用了當(dāng)qz -1時(shí)，數(shù)列Sm SrSm, SSm,仍成等比數(shù)列，公比為 qm,解法三運(yùn)用了等比數(shù)列的性質(zhì)： Sm+rFSn+qfSi , 解法四運(yùn)用了等比數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)qz土 1時(shí)，S = ° SnBmn變式應(yīng)用答案30解析 an為等比數(shù)列,1-q 1 -qS5, S0-S5, S5-S0成等比數(shù)列,(So-S5) =S5(S5-So), 即 100=10(S5-20), 解得S5=30.探索延拓創(chuàng)新命題方向錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和例 3 求數(shù)列 1, 3a, 5a2, 7a3,，(2 n-1) an-1 的前 n項(xiàng)和(a 0).分析 由題設(shè)可知數(shù)列的通項(xiàng)公式為

9、 an=(2 n-1) an-1，數(shù)列的每一項(xiàng)可分成兩個(gè)因式， 前一個(gè)因式可構(gòu)成等差數(shù)列，后一個(gè)因式可構(gòu)成等比數(shù)列，故可選用錯(cuò)位相減法求和2解析當(dāng)a=1 時(shí)，S=1+3+5+ (2 n-1)= n 口 .(2n _1)： = n.2當(dāng)a* 1 時(shí)，有 S=1+3a+5a2+7a3+(2n-1) an-1，aS=a+3a2+5a2+7a4+(2 n-1) an，-得，S-aS=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2 n-1) an=1+心-(2 n-1) an,2a(1 a )1 -a:S1= 1 -(2n - 1)an + 2a(1 -an)*1 - a(1 -a)2q，說明一般來說，如果

10、數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為則求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和就可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.變式應(yīng)用3 求數(shù)列n 2n的前n項(xiàng)和S.解析I S=1 21+2 22+3 23+n 2n2S=1 22+2 23+(n-1) 2n+ n 2n+1-得-S=2+22+23+2n- n 2n+1n+1= 2(1 -2n)-21-2=2n+1-2- n 2n+1, S=( n-1)2 n+1+2.名師辨誤做答例4 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為$=an-1( az0)，則數(shù)列an是()A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列C.可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列D.可能是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列誤解A 由$=an-

11、1，得an=(a-1) an-1，則有=a-1(常數(shù))，故選 A.an +辨析錯(cuò)誤的原因在于：當(dāng)a=l時(shí)，an=0, 劉是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，這是沒有理解等比數(shù)列中/工0而造成的正解C由$=an-l，得an=（a-1） an-1.當(dāng)a=1時(shí)，an=0,數(shù)列an為等差數(shù)列；當(dāng)az 1時(shí)，=a-1 ,（不為零的常數(shù)），an 1an則數(shù)列an為等比數(shù)列，故選C.課堂鞏固訓(xùn)練、選擇題1. （2011 遼寧文，5）若等比數(shù)列an滿足anan+1 = 16n,則公比為（）A.2B.4C.8D.16答案B解析本題考查了靈活利用數(shù)列的特點(diǎn)來解題的能力n .an an+1 = 16，an-1n- 1an=

12、16anan 1an 1 anan1an .12=q = 16n =1616n -1 q=4.2.在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5-a4=576, a2-a1=9，貝U a1+a2+a3+a4+a5的值是()A.1061B.1023C.1024D.268答案 B解析由題意得 a4( q-1)=576 , a1(q-1)=9 ,3=q =64,. q=4,. a=3,a4ai- a1+a2+a3+a4+a5=53 (4 -1)=1023.413. 在等比數(shù)列 an中，a1=1,公比 | q| 豐 1,若 am=a1a2a3a4a5，則 m=(A.9B.10C.11D.12答案C解析t a1=1

13、, am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,m-1m-1又 am=a1q =q , qm-1=q10, m1=10 , n=11.、填空題4. 若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=2n+1+r，則r的值為.答案-2解析解法一：ai=S=4+r,a2=S-S=8+r-4- r=4,a3=S3-S2=16+r -8- r =8,又 an為等比數(shù)列，. 2-a 2=aia3, 16=8(4+ r), r=-2.解法二： Sn=2n+1+r=2 2n+r,數(shù)列an為等比數(shù)列， Sn=A qn- A=2 2n+r, r=-2.5. 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為S，若S+i, S, S+2成等差

14、數(shù)列，則q的值為答案-2解析/ Sn+i , S , S+2成等差數(shù)列， 2Sn=Sn+l+Sn+2-(Sn+1 - Sn) + ( S+2- S)=0 , an+i+ai+i+an+2=0,-2an+i =- an+2 ,=-2 ,an 2 an 1 q=-2.三、解答題6. (2011 重慶文，16)設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，ai=2, a3=a2+4.(1)求an的通項(xiàng)公式；設(shè) bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an+bn的前門項(xiàng)和Sn.分析(1)問設(shè)出公比q,由已知建立有關(guān)q的方程，求出公比q,寫出通項(xiàng)公式甲分組求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得 S.解析(1)設(shè)

15、等比數(shù)列an的公比為q, 由 a1=2, a3=a2+4得2q2=2q+4即 q - q-2=0，解得 q=2或 q=-1(舍), q=2n-1j -1 j an=a1 q =2 2 =2數(shù)列 bn=1+2( n-1)=2 n-1S=2(l -2n) +nx 1+ n(n -1) x 21-2n+12n+1 2=2 -2+ n - n+n=2 +n -2.點(diǎn)評(píng)此題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比數(shù)列的公比為正數(shù)，此題屬基礎(chǔ)保分題課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.已知等比數(shù)列 an中，an=2 x 3n-1，則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和為（A.3n-1B.

16、3(3 n-1)C. (9 n-1)D. 3 (9 n-1)44答案D解析t a2=6, q=9,.n2 =6(1 9n) = 3 (9 -1).1-942. (2010 遼寧文)設(shè)S為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知3S3=a4-2 , 3S=a3-2 ,則公比q=(A.3B.4C.5D.6答案B解析/3S=a4-2 , 3$=a3-2 ,3S3-3 S=a4-a3,3a3=a4- a3,二 4a3=a4,a =4,. q=4.a4a33. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和S= 2n-1+a,則a的值為()3A.-1B.- 1C. 1D. 13663答案B解析/ Sn= 1 2n-1+a= 1 2n+a,

17、36又 S=Aqn-A,.a=- 1 .是（）A.7B.8C.9D.10答案D解析因?yàn)?1+2+22+2n-1=2n =2n-1，所以 S.=21-1+22-1+ - +2n-1=2 n+1-n-2>1020 ,5.數(shù)列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,1+2+22+2n-1的前n項(xiàng)和S>1020，那么n的最小值所以n的最小值為10.A. 9B. 9C. 161689答案B解析q= 1 ,2s=1斑1-( - H212=2a1(1- 1 )：=7 ai=1,84 a1=4.7(1-1 )= 9.D. 278-$=41 6 =8尹(門126481-26.已知等比數(shù)列 an

18、中，公比 q= 1，且 a1+a3+a5+ a99=60,則 a1+a2+a3+aeo=()2A.100B.90C.120D.30答案B解析I a2+a4+a6+ +aeo=a1q+a3q + a5q+ +a99q=q( a1+a3+a5+a99)=1 x 60= 302a計(jì)a2+a3+a1oo=(a計(jì)&+a5+a99)+( a2+a4+a6+a1oo)=60+30=90.7. 已知 2a=3, 2b=6, 2c=12，則 a, b, c（）B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列A.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列答案 A解析解法一：由已知得 a=

19、log 23, b=log 26=log 23+log 22, c=log 2l2=log 23+2log 22.b-a=c-b .解法二： 2a 2c=36=(2 b)2， a+c=2b，故選 A.8. (2011 四川文,9)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S,若 ai=1, an+i=3S(n> 1)，則a6=()4455A.3 X 4B.3 X 4 +1C.4D.4 +1答案 A解析該題考查已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和S與an+1的關(guān)系，求通項(xiàng)公式an.注意的問題是用an=S-S-1 時(shí)(n>2)的條件.an+1 =3Snan = 3Sn- 1-得 an+1 - an=3Sn-3 S- 1

20、 = 3an即 an+1=4an=4.（ n2）當(dāng) n=2時(shí)，a2=3a1=3, an 1=3工 =4a2an 1 an為從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，且公比 q=4,. a6=a2 q4=3 44.二、填空題9. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=3n+1+m則Q=.答案6解析t a1=S=9+m a2=S-S=27+m9- m-18,a3=S- Sz=81+m27- m-54,又 an為等比數(shù)列，2 2 a2=a1as,A 18 =54（9+m ,解得n=-3. a1=9+m=6.10.實(shí)數(shù)1 ,1,1成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)a2, 1, c2成等比數(shù)列，則ca ca2c2答案1或-1 + 1 =2ac=1a

21、c=-1解析由條件L，得1或,'a2c2=1a+c=2Ia+c=-2.a c=1 或 j .2 2 a c311.已知an是公比為q(qz 1)的等比數(shù)列，an>0 ,m=a+a6,k=a4+a7，則n與k的大小關(guān)系:答案mvk解析m-k=( a5+a6)-( a4+a?)=(a5- a4)-( a7- a6)=a4(q-1)- a6( q-1)=( q-1)( a4- a6)=(q-1) a4 (1- q2)=-a4(i+q)(i- q) 2<0( v an>0).m<k12. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S( n N+)，關(guān)于數(shù)列 an有下列三個(gè)命題： 若an既是

22、等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an=an ( n NL)； 若S=an2+bn(a、b R)，則an是等差數(shù)列； 若S=1-(-1) n，則an是等比數(shù)列.這些命題中，正確命題的序號(hào)是 .答案解析對(duì)于命題，易知它是各項(xiàng)不為零的常數(shù)數(shù)列，有an=an+1.對(duì)于命題，由s=an2+bn(a、b R)得an=b+毋(n-1) 2a,當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式.an為等差數(shù)列.對(duì)于命題，由S=1- (-1) n得an=2 (-1) n-1,當(dāng)n=1時(shí)也適合上式.故an為等比數(shù)列.三、解答題13. (2011 新課標(biāo)文，17)已知等比數(shù)列an中，a1=1，公比q=1 .33(1) Sn為 an的前n項(xiàng)和，證明：S=4_a ；I an2(2) 設(shè)bn=log 3a+log 3a2+log 3an,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.分析第一問先利用等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式求出an, S，再證明Sn=，第二I an2問將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.解析因?yàn)?an= 1 X ( 1 )n-1= 1 ,n所以$= _a2(2) bn=log 3ai+log 3a2+log 3an=-(1+2+ +n)=-n(n1) .2所以bn的通項(xiàng)公式為bn=- n(